Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

q(x) − q(0)] cos kx + o
µ
e
|τ |x
k
¶
,(|k| → ∞),
x
Z
0
q(t) cos k(2t − x)dt =
1
2k
[q(x) + q(0)] sin kx + o
µ
e
|τ |x
k
¶
,(|k| → ∞)
33

asimptotikalarni topamiz. Bu asimptotikalarni (1.1.8) ga qo‘ysak, (1.1.11)-
(1.1.14) asimptotikalar kelib chiqadi.
Teorema 1.1.3. Agar q(x) ∈ C
1
[0, π],
√
λ ≡ k = σ + iτ bo‘lsa, u holda
quyidagi
c(x, λ) = cos kx +
1
2k
a(x) sin kx +
1
4k
2
·
q(x) − q(0) −
1
2
a
2
(x)
¸
cos kx−
−
1
4k
2
x
Z
0
q
0
(t) cos k(2t − x)dt + O
µ
e
|τ |x
k
3
¶
,(|k| → ∞),
s(x, λ) =
1
k
sin kx −
1
2k
2
a(x) cos kx +
1
4k
3
·
q(x) + q(0) −
1
2
a
2
(x)
¸
sin kx−
−
1
4k
3
x
Z
0
q
0
(t) sin k(2t − x)dt + O
µ
e
|τ |x
k
4
¶
,(|k| → ∞),
c
0
(x, λ) = −k sin kx +
1
2
a(x) cos kx +
1
4k
·
q(x) + q(0) +
1
2
a
2
(x)
¸
sin kx−
−
1
4k
x
Z
0
q
0
(t) sin k(2t − x)dt + O
µ
e
|τ |x
k
2
¶
,(|k| → ∞),
s
0
(x, λ) = cos kx +
1
2k
a(x) sin kx −
1
4k
2
·
q(x) − q(0) +
1
2
a
2
(x)
¸
cos kx+
+
1
4k
2
x
Z
0
q
0
(t) cos k(2t − x)dt + O
µ
e
|τ |x
k
3
¶
,(|k| → ∞),
asimptotikalar o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda
a(x) =
x
Z
0
q(t)dt.
Isbot. Quyidagi
c(x, λ) = cos kx +
1
2k
a(x) sin kx +
1
k
2
A
1
(x, λ),
s(x, λ) =
1
k
sin kx −
1
2k
2
a(x) cos kx +
1
k
3
B
1
(x, λ),
|A
1
(x, λ)| ≤ Ce
|τ |x
, |B
1
(x, λ)| ≤ Ce
|τ |x
34

ifodalarni (1.1.2), (1.1.3) tengliklarning o‘ng tomoniga qo‘ysak, teoremada keltir-
ilgan asimptotikalar kelib chiqadi.
Natija 1.1.1. Agar (1.1.1) Xill tenglamasining q(x) ∈ C
1
[0, π] potensiali
ushbu
a(π) =
π
Z
0
q(t)dt = 0
shartni qanoatlantirsa, u holda c(π, λ), s(π, λ), c
0
(π, λ), s
0
(π, λ) funksiyalar
quyidagi asimptotikalarni qanoatlantiradi:
c(π, λ) = cos kπ + O
µ
e
|τ |π
k
2
¶
,(|k| → ∞),
s(π, λ) =
1
k
sin kx +
1
2k
2
q(0) sin kx + O
µ
e
|τ |π
k
3
¶
,(|k| → ∞),
c
0
(π, λ) = −k sin kπ +
1
2k
q(0) sin kπ + O
µ
e
|τ |π
k
¶
,(|k| → ∞),
s
0
(π, λ) = cos kx + O
µ
e
|τ |π
k
2
¶
,(|k| → ∞).
Natija 1.1.2. Agar (1.1.1) Xill tenglamasining q(x) ∈ C
1
[0, π] potensiali
ushbu
a(π) =
π
Z
0
q(t)dt = 0
shartni qanoatlantirsa, u holda c(π, λ), s(π, λ), c
0
(π, λ), s
0
(π, λ) funksiyalar uchun
quyidagi asimptotikalar o‘rinli:
c(π, λ) = cos kπ −
1
4k
2
π
Z
0
q
0
(t) cos k(2t − π)dt + O
µ
e
|τ |π
k
3
¶
,(|k| → ∞),
s(π, λ) =
1
k
sin kπ+
1
2k
3
q(0) sin kπ−
1
4k
3
π
Z
0
q
0
(t) cos k(2t − π)dt+O
µ
e
|τ |π
k
4
¶
,(|k| → ∞),
c
0
(π, λ) = −k sin kπ+
1
2k
q(0) sin kπ−
1
4k
π
Z
0
q
0
(t) sin k(2t − π)dt+O
µ
e
|τ |π
k
2
¶
,(|k| → ∞),
s
0
(π, λ) = cos kπ +
1
4k
2
π
Z
0
q
0
(t) cos k(2t − π)dt + O
µ
e
|τ |π
k
3
¶
,(|k| → ∞).
35

2-§. Davriy va yarimdavriy chegaraviy masalalar
Quyidagi
−y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ R
(1.2.1)
Xill tenglamasini qaraylik. Bu yerda q(x) koeffitsiyent π davrli haqiqiy uzluksiz
funksiya, λ ∈ C - kompleks parametr.
(1.2.1) differensial tenglamaning
c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0 va s(0, λ) = 0, s
0
(0, λ) = 1
(1.2.2)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini mos ravishda c(x, λ) va
s(x, λ) orqali belgilaymiz. q(x) funksiyaning davriyligidan foydalanib quyidagi
tasdiqni isbotlash mumkin.
Lemma 1.2.1. Quyidagi tengliklar o‘rinli:
c(x + π, λ) = c(π, λ)c(x, λ) + c
0
(π, λ)s(x, λ),
s(x + π, λ) = s(π, λ)c(x, λ) + s
0
(π, λ)s(x, λ).
Isbot. Berilgan q(x) potensial π davrli funksiya bo‘lgani uchun c(x + π, λ)
va s(x + π, λ) ham (1.2.1) tenglamaning yechimlari bo‘ladi. Shuning uchun
c(x + π, λ) = A
0
c(x, λ) + A
1
s(x, λ),
s(x + π, λ) = B
0
c(x, λ) + B
1
s(x, λ)
bo‘ladi. (1.2.2) boshlang‘ich shartlardan
A
0
= c(π, λ), A
1
= c
0
(π, λ), B
0
= s(π, λ), B
1
= s
0
(π, λ)
kelib chiqadi.
Ta’rif 1.2.1. Agar (1.2.1) differensial tenglama ushbu
y(0) = y(π), y
0
(0) = y
0
(π)
(1.2.3)
chegaraviy shart bilan birga qaralsa, unga davriy chegaraviy masala deyiladi.
Agar (1.2.1) differensial tenglama ushbu
y(0) = −y(π), y
0
(0) = −y
0
(π)
(1.2.4)
chegaraviy shart bilan birga qaralsa, unga yarimdavriy chegaraviy masala deyi-
ladi.
Teorema 1.2.1. (1.2.1)+(1.2.3) davriy ((1.2.1)+(1.2.4) yarimdavriy) chegar-
aviy masalaning xos qiymatlari haqiqiy bo‘lib, ular ushbu
∆(λ) − 2 = 0, (∆(λ) + 2 = 0)
(1.2.5)
36

tenglamaning ildizlari bilan ustma-ust tushadi. Bu yerda
∆(λ) = c(π, λ) + s
0
(π, λ).
(1.2.6)
Bunga Lyapunov funksiyasi yoki Xill diskriminanti deyiladi.
Isbot. Dastlab (1.2.1)+(1.2.3) davriy chegaraviy masala xos qiymatlarin-
ing haqiqiyligini ko‘rsatamiz. Agar (1.2.1)+(1.2.3) davriy chegaraviy masalaning
λ xos qiymatiga mos keluvchi xos funksiya y(x) bo‘lsa, u holda y(x) ham xos
funksiya bo‘lib, unga ¯
λ xos qiymat mos keladi. Quyidagi
(λ − ¯
λ)
π
Z
0
|y(x)|
2
dx =(λ − ¯
λ)
π
Z
0
y(x)¯
y(x)dx =
π
Z
0
[(λy)¯
y − y(¯
λ¯
y)]dx =
=
π
Z
0
[¯
y(−y
00
+ q(x)y) − y(−¯
y
00
+ q(x)¯
y)]dx =
π
Z
0
[¯
y
00
(x)y(x) − y
00
(x)¯
y(x)]dx =
=
π
Z
0
(¯
y
0
y − y
0
¯
y)
0
dx = (¯
y
0
y − y
0
¯
y)|
x=π
x=0
= 0
tenglikdan ¯
λ = λ, ya’ni λ haqiqiy son ekanligi kelib chiqadi.
Endi, (1.2.1)+(1.2.3) davriy chegaraviy masalaning xos qiymatlari ∆(λ) −
2
=
0 tenglamaning ildizlaridan iborat bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning
uchun (1.2.1)+(1.2.3) chegaraviy masalaning λ xos qiymatiga mos keluvchi
xos funksiyani y(x) orqali belgilaymiz. O‘z navbatida y(x) funksiya (1.2.1)
tenglamaning yechimi bo‘lgani uchun
y(x) = c
1
c(x, λ) + c
2
s(x, λ)
(1.2.7)
o‘rinli. Bu yerda c
j
= const, j = 1, 2. (1.2.7) ifodani (1.2.3) chegaraviy shartlarga
qo‘yib, ushbu
½
c
1
[c(π, λ) − 1] + c
2
s(π, λ) = 0,
c
1
c
0
(π, λ) + c
2
[s
0
(π, λ) − 1] = 0
(1.2.8)
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu sistema noldan farqli yechimga ega
bo‘lishi uchun quyidagi
¯
¯
¯
¯
c(π, λ) − 1 s(π, λ)
c
0
(π, λ)
s
0
(π, λ) − 1
¯
¯
¯
¯ = 0
(1.2.9)
shartning bajarilishi zarur va yetarlidir. Bundan
c(π, λ)s
0
(π, λ) − c(π, λ) − s
0
(π, λ) + 1 − c
0
(π, λ)s(π, λ) = 0,
ya’ni ∆(λ) − 2 = 0 kelib chiqadi.
37

(1.2.1)+(1.2.4) yarimdavriy chegaraviy masala xos qiymatlarining haqiqiyli-
gi va ular ∆(λ) + 2 = 0 tenglamanig ildizlari bilan ustma-ust tushishi xuddi
yuqoridagiday ko‘rsatiladi.
Natija 1.2.1. ∆(λ) ± 2 = 0 tenglamaning ildizlari haqiqiy.
Misol 1. (1.2.1) tenglamada q(x) ≡ 0 bo‘lsa, u holda c(x, λ) = cos
√
λx,
s(x, λ) =
sin
√
λx
√
λ
bo‘ladi. Bundan ∆(λ) = 2 cos
√
λπ kelib chiqadi.
Endi ∆(λ) − 2 = 0 tenglamaning ildizlarini, ya’ni (1.2.1)+(1.2.3) davriy
chegaraviy masalaning xos qiymatlarini topamiz:
2 cos
√
λπ − 2 = 0,
cos
√
λπ = 1, λ = (2n)
2
,
n = 0, 1, 2, ...
.
Qaralayotgan q(x) ≡ 0 holda (1.2.1)+(1.2.3) davriy chegaraviy masalaning
birinchi λ
0
= 0 xos qiymati oddiy, qolgan barcha xos qiymatlari ikki karrali:
λ
4n−1
= λ
4n
= (2n)
2
, n = 1, 2, ... . Haqiqatan ham
˙
∆(λ) = −
π sin
√
λπ
√
λ
,
˙
∆(0) = −lim
λ→0
π sin
√
λπ
√
λ
= −π
2
6= 0,
˙
∆((2n)
2
) = −
π sin 2πn
2n
= 0.
Bu xos qiymatlarga quyidagi
y
0
(x) =
1
√
π
, y
4n−1
(x) =
r
2
π
cos 2nx, y
4n
(x) =
r
2
π
sin 2nx
ortonormallangan xos funksiyalar mos keladi.
Yarimdavriy chegaraviy masalaning xos qiymatlarini ∆(λ) + 2 = 0
tenglamadan topamiz:
2 cos
√
λπ + 2 = 0,
cos
√
λπ = −1, λ = (2n + 1)
2
, n = 0, 1, 2, ... .
Bu holda, ya’ni q(x) ≡ 0 bo‘lganda, (1.2.1)+(1.2.4) yarimdavriy chegaraviy
masalaning barcha xos qiymatlari ikki karrali bo‘ladi: λ
4n+1
= λ
4n+2
= (2n + 1)
2
,
n = 0, 1, 2, ... . Haqiqatan ham,
˙
∆((2n + 1)
2
) =
lim
λ→(2n+1)
2
˙
∆(λ) =
lim
λ→(2n+1)
2
−π sin
√
λπ
√
λ
= −π
sin(2n + 1)π
2n + 1
= 0.
Bu holda ∆(λ) Lyapunov funksiyasining ushbu
∆(λ) =
½
2 cos
√
λπ , λ ≥ 0,
2ch
p
|λ|π , λ < 0
ko‘rinishidan foydalanib, uning grafigini chizish mumkin:
38

Rasm 1:
A.B.Hasanov [328] kitobining I qismidagi 31-36 betlarida c(x, λ) va s(x , λ)
yechimlarning x o‘zgaruvchining har bir tayinlangan qiymatida λ bo‘yicha butun
funksiya bo‘lishi ko‘rsatilgan edi. Endi biz c(π, λ), s(π , λ) funksiyalarning va o‘z
navbatida Lyapunovning ∆(λ) = c(π, λ)+s
0
(π, λ) funksiyasining
1
2
tartibli butun
funksiya ekanligini ko‘rsatamiz.
Lemma 1.2.2. Lyapunovning ∆(λ) funksiyasi
1
2
tartibli butun funksiya
bo‘ladi, ya’ni shunday c
1
> 0 va c
2
> 0 o‘zgarmas sonlari topiladiki, bunda
¯
¯
¯∆(λ)e
−c
1
√
λ
¯
¯
¯ funksiya chegaralangan va
¯
¯
¯∆(λ)e
−c
2
√
λ
¯
¯
¯ → ∞, λ → −∞
bo‘ladi.
Isbot. Quyidagi
y
0
(x) = cos k x,
y
n
(x) =
x
Z
0
sin k(x − t)
k
q(t)y
n−1
(t)dt, n = 1, 2, ...
tengliklar yordamida tuzilgan {y
n
(x)}
∞
n=0
funksiyalar ketma-ketligini qaraylik. Bu
yerda 0 ≤ x ≤ π va k =
√
λ.
Ushbu
|y
0
(x)| = |cos kx| ≤ ch|k|x ≤ e
|k|x
tengsizlik bajarilishi ravshan. Bundan foydalanib y
1
(x) ni baholaymiz:
|y
1
(x)| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
Z
0
sin k(x − t)
k
q(t)y
0
(t)dt
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
x
Z
0
e
|k|(x−t)
|q(t)|
|k|
e
|k|t
dt ≤
e
|k|x
|k|
x
Z
0
|q(t)|dt.
Matematik induksiya usulidan foydalanib, ushbu
|y
n
(x)| ≤
e
|k|x
n!|k|
n


x
Z
0
|q(t)|dt


n
, n = 1, 2, ...
39

tengsizliklar o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin. Bu baholashlardan y
n
(x)
funksiyaning λ = k
2
o‘zgaruvchiga nisbatan
1
2
tartibdagi butun funksiya bo‘lishi
kelib chiqadi. Ushbu
y(x) =
∞
X
n=0
y
n
(x)
funksional qatorning tekis yaqinlashuvchiligidan y(x) ning ham λ o‘zgaruvchiga
nisbatan butun funksiya bo‘lishi kelib chiqadi. y
n
(x) ketma-ketlikning aniqlan-
ishiga ko‘ra
y
0
(0) = 1, y
0
0
(0) = 0, y
n
(0) = y
0
n
(0) = 0, n = 1, 2, ...
bo‘lgani uchun y(x) funksiya ushbu
y(0) = 1, y
0
(0) = 0
boshlang‘ich shartlarni va
y
00
+ k
2
y =
∞
X
n=0
£
y
00
n
(x) + k
2
y
n
(x)
¤
=
∞
X
n=1
q(x)y
n−1
(x) = q(x)y
Xill tenglamasini qanoatlantiradi. Koshining yagonalik teoremasiga asosan
y(x) = c(x, λ) bo‘ladi. Demak, c(x, λ) yechim uchun ushbu
|c(x, λ)| ≤ e
|k|x
∞
X
n=0
1
n!

 1
|k|
x
Z
0
|q(t)|dt


n
= exp



|k|x +
1
|k|
x
Z
0
|q(t)|dt



baholash o‘rinli. Bu tengsizlikda x = π deb olsak,
|c(π, λ)| ≤ exp



p
|λ|π +
1
p
|λ|
π
Z
0
|q(t)|dt



hosil bo‘ladi. Oxirgi tengsizlikdan c(π, λ) ning tartibi
1
2
dan oshmaydigan butun
funksiyaligi kelib chiqadi.
Endi y
0
(x) =
sin k x
k
deb olib, yuqoridagi mulohazani yurgizib, Xill
tenglamasining
s(x, λ) =
∞
X
n=0
y
n
(x), s(0, λ) = 0, s
0
(0, λ) = 1
yechimiga ega bo‘lamiz. Bundan s
0
(π, λ) ning
1
2
tartibli butun funksiya ekanligi
kelib chiqadi. Bu fikrning to‘g‘riligini ko‘rsatish uchun, avvalo ushbu
s
0
(x, λ) =
∞
X
n=0
y
0
n
(x)
40

qatorning umumiy hadini baholaymiz:
|y
0
0
(x)| ≤ |cos kx| ≤ e
|k|x
,
|y
0
1
(x)| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
Z
0
cos k(x − t)q(t)y
0
(t)dt
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
e
|k|x
|k|
x
Z
0
|q(t)|dt,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|y
0
n
(x)| ≤
e
|k|x
n!|k|
n


x
Z
0
|q(t)|dt


n
, n = 1, 2, ... .
Bu tengsizliklardan foydalanib, quyidagi baholashni topamiz: