Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

ω
2
/ω
1
) 6= 0). Bu holda ω
1
–
haqiqiy va ω
2
– sof mavhum sonlar.
Shuni alohida eslatib o‘tish joizki, koeffitsiyentlari elliptik funksiyalardan ib-
orat bo‘lgan chiziqli oddiy differensial tenglamalar C.Hermite, G.H.Halfen va
boshqa matematiklarning ishlarida o‘rganilgan. Bu ishlarda asosan bir jinsli dif-
ferensial tenglamaning chiziqli erkli yechimlarini topish algoritmlari keltirilgan.
Koeffitsiyenti elliptik funksiyadan iborat bo‘lgan ushbu
−y
00
+ n(n + 1)γ(x)y = λy, x ∈ R
ko‘rinishdagi Lame tenglamasi 1940-yilda E.Ayns tomonidan o‘rganilgan. Ayn-
sning asosiy natijasi q(x) = n(n + 1)γ(x) Lame potensialining chekli zonali ekan-
ligini ko‘rsatishdan iborat. Ammo E.Ayns bu ishida Lame operatorining spektral
funksiyasini tuzish bilan shug‘ullanmagan.
1963-yilda X.Xoxshtadt Xill operatori spektrining tuzilishini o‘rganish jaray-
onida q(x) davriy potensialning silliqligi bilan lakunalar γ
n
= λ
+
n
− λ
−
n
uzunlik-
larining nolga intilish tartibi orasidagi to‘g‘ri bog‘lanishni topdi.
1965-yilda N.I.Axiezerning ishidan bexabar ravishda X.Xoxshtadt davriy
chekli zonali potensiallarni o‘rgana boshlagan. X.Xoxshtadt tomonidan turli yil-
larda olingan natijalarni bitta teorema ko‘rinishida bayon qilamiz.
Teorema (X.Xoxshtadt). 1) Agar q(x) ∈ C
m
(R), ya’ni q(x) − m marta
uzluksiz differensiallanuvchi, haqiqiy πdavrli funksiya bo‘lsa, u holda
γ
n
= λ
+
n
− λ
−
n
= o
µ
1
k
m−1
¶
,
bo‘ladi.
2) Agar H operator spektridagi barcha chekli lakunalar yopilsa, ya’ni γ
n
=
0, n ≥ 1 bo‘lsa, u holda q(x) = const bo‘ladi.
3) Agar H operator spektrida faqat bitta chekli lakuna yopilmasa, ya’ni γ
1
6=
0, γ
n
= 0, n ≥ 2 bo‘lsa, u holda q(x) elliptik funksiyadan iborat bo‘ladi.
4) Agar uzluksiz q(x) funksiya chekli zonali potensial, ya’ni n ning biror N
qiymatidan boshlab γ
n
= 0, n ≥ N bo‘lsa, u holda q(x) ∈ C
∞
(R) , ya’ni cheksiz
differensiallanuvchi funksiya bo‘ladi.
5)
π
n
, n ≥ 2 soni q(x) potensialning davri bo‘lishi uchun H operator spek-
tridagi nomerlari n ga karrali bo‘lmagan barcha lakunalarning yopilishi zarur va
yetarli.
17

6) (22) davriy chegaraviy masalaning λ
0
- eng kichik xos qiymatidan boshqa
barcha xos qiymatlari ikki karrali bo‘lishi uchun ushbu
q(x) = λ
0
+ I
0
(x) + I
2
(x)
(25)
tenglikning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli. Bu yerda
q(x) = a
0
+
∞
X
n=1
(a
n
cos 2nx + b
n
sin 2nx),
a
0
=
1
π
π
Z
0
q(x)dx,
a
n
=
2
π
π
Z
0
q(x) cos 2nxdx, b
n
=
2
π
π
Z
0
q(x) sin 2nxdx, (26)
I(x) =
∞
X
n=0
a
2n+1
sin 2(2n + 1)x − b
2n+1
cos 2(2n + 1)x
2(2n + 1)
.
7) (23) antidavriy chegaraviy masalaning λ
1
va λ
2
xos qiymatlaridan boshqa bar-
cha xos qiymatlari ikki karrali bo‘lishi uchun q(x) potensial quyidagi tenglikni
qanoatlantirishi zarur va yetarli:
2(λ
1
+ λ
2
)I(x) +
2
3
I
3
(x) + I
4
(x) = 2q
e
(x)I(x) −
x+
π
2
Z
x
q
e
(x) I
0
(x)dx.
(27)
Bu yerda q
e
(x) = q(x) − I
0
(x).
Xill
operatorining
q(x)
potensiali
o‘zining
spektral
berilganlari
{λ
+
n−1
, λ
−
n
, ξ
n
, σ
n
= ±1, n ≥ 1} orqali yagona aniqlanishi ilk bor 1970-
yilda I.V.Stankevich tomonidan ko‘rsatilgan.
V.A.Marchenkoning 1977-yildagi monografiyasida [186] quyidagi tasdiqlar is-
botlangan.
Teorema. (1975-yil, V.A.Marchenko). Xill operatorining potensiali q(x) ∈
˜
W
k
2
[0, π] bo‘lishi uchun,
P
n≥1
n
2k
γ
2
n
sonli qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur
va yetarli.
Bu teoremadan, xususan, X.Xoxshtadt teoremasi to‘rtinchi bandining umum-
lashmasi, ya’ni Xill operatori lakunalarining uzunliklari ushbu
γ
n
= λ
+
n
− λ
−
n
= O
µ
1
n
k+1
¶
, ∀ k ≥ 0
bahoni qanoatlantirsa, u holda q(x) cheksiz differensiallanuvchi funksiya bo‘lishi
kelib chiqadi.
Teorema. (1975-yil, V.A.Marchenko). Ushbu
0 = λ
+
0
< λ
−
1
≤ λ
+
1
< λ
−
2
≤ λ
+
2
< ...
18

sonlar ketma-ketligi haqiqiy davriy q(x + π) = q(x), q(x) ∈ W
n
2
(0, π) koeffit-
siyentli (22) davriy va (23) antidavriy chegaraviy masalalarning spektrlaridan
iborat bo‘lishi uchun quyidagi
∞
X
k=1
(k
n+1
h
k
)
2
< ∞,
q
λ
−
k
= z(kπ − 0),
q
λ
+
k
= z(kπ + 0)
shartlarni qanoatlantiruvchi h
k
≥ 0, k ≥ 1 sonlar ketma-ketligining mavjud
bo‘lishi zarur va yetarli. Bu yerda z(θ) funksiya ushbu
{θ : Imθ > 0}\
∞
[
k=1
{θ : Reθ = kπ, 0 ≤ Imθ ≤ h
k
}
sohani yuqori yarim tekislikka konform akslantiradi.
Agar biz ushbu
H(t)y = −y
00
+ q(x + t)y = λy, x ∈ R, t ∈ R
siljigan argumentli Xill tenglamasiga qaraydigan bo‘lsak, uning spektri t
parametrga bo‘g‘liq bo‘lmaydi, ya’ni σ (H(t)) = σ (H(0)) bo‘ladi, ammo un-
ing spektral parametrlari t parametrga bog‘liq bo‘ladi: ξ
n
(t), σ
n
(t), n ≥ 1. Bu
spektral parametrlar quyidagi differensial tenglamalar sistemasini qanoatlantira-
di:
dξ
n
dt
= 2(−1)
n−1
σ
n
(t)
p
(ξ
n
− λ
−
n
)(λ
+
n
− ξ
n
)×
×
v
u
u
t(ξ
n
− λ
+
0
)
∞
Y
k=1
k6=n
(λ
−
k
− ξ
n
)(λ
+
k
− ξ
n
)
(ξ
k
− ξ
n
)
2
,
n ≥ 1.
(28)
Bu differensial tenglamalar sisitemasi chekli zonali potensiallar holida 1975-
yilda B.A.Dubrovin tomonidan, davriy potensiallar holida 1977-yilda E.Trubovis
tomonidan va cheksiz zonali deyarli davriy potensiallar holida B.M.Levitan
tomonidan keltirib chiqarilgan.
Dubrovin-Trubovis tenglamalar sistemasi (28) va ushbu
q(t) = λ
+
0
+
∞
X
n=1
(λ
+
n
+ λ
−
n
− 2ξ
n
(t))
(29)
izlar formulasi birgalikda Xill operatori uchun qo‘yilgan teskari masalani yechish
usulini beradi.
1977-yilda E.Trubovis Xill operatori uchun qo‘yilgan teskari spektral
masalani o‘rganish jarayonida q(x) potensialning haqiqiy analitikligi va lakunalar
uzunliklari γ
n
= λ
+
n
−λ
−
n
ning eksponensial kamayishi orasidagi bog‘lanishini top-
gan.
19

Teorema. (1977-yil, E.Trubovis). Haqiqiy qiymatli, π davrli, q(x) potensial
analitik bo‘lishi uchun unga mos keluvchi lakunalar uzunliklari eksponensial rav-
ishda nolga intilishi zarur va yetarli, ya’ni shunday a > 0 va b > 0 sonlar topilib
γ
n
= λ
+
n
− λ
−
n
≤ be
−an
, n ≥ 1, (γ
n
= O(e
−an
)) bahoning o‘rinli bo‘lishi zarur va
yetarli.
Aniq bitta davriy potensial uchun masalan, q(x) = 2a cos 2x, a 6= 0 Matye
potensiali uchun quyidagi savollarning tug‘ilishi tabiiy:
1) n-spektral lakuna yopiqmi, ya’ni γ
n
= λ
+
n
− λ
−
n
= 0 tenglik bajariladimi,
ya’ni λ
+
n
va λ
−
n
xos qiymatlar ikki karralimi?
2) Agar γ
n
6= 0, n ≥ 1 bo‘lsa, u holda Matye tenglamasining lakunalari
uzunliklaridan tuzilgan γ
n
ketma-ketlikning asimptotikasi qanaqa?
Matye potensiali uchun birinchi savolga E.Ayns javob bergan.
Teorema. (1922-yil, E.Ayns). Agar a 6= 0 bo‘lsa, u holda Matye tenglamasi
uchun qo‘yilgan davriy va yarimdavriy chegaraviy masalalarning barcha xos qiy-
matlari oddiy, ya’ni karrasiz bo‘ladi.
Demak, Matye potensiali holida H operatorning barcha chekli spektral laku-
nalari ochiq, ya’ni γ
n
= λ
+
n
− λ
−
n
6= 0, n ≥ 1 bo‘lar ekan.
Matye potensiali holida H operator spektridagi lakunalar uzunliklari γ
n
=
λ
+
n
− λ
−
n
uchun asimptotik formula ilk bor, o‘zgarmas ko‘paytuvchi aniqligida,
1981-yilda E.Xarrel tomonidan olingan. Shu yilning o‘zida J.Avron va B.Saymon
bu asimptotik formulani boshqa usulda keltirib chiqarishga va o‘zgarmas
ko‘paytuvchining aniq qiymatini topishga muvaffaq bo‘ldilar.
Teorema. (1981-yil, J.Avron, B.Saymon). Matye tenglamasi lakunalarining
uzunliklari uchun quyidagi
γ
m
= λ
+
m
− λ
−
m
=
8a
m
4
m
[(m − 1)!]
2
·
1 + O
µ
a
2
m
2
¶¸
(30)
asimptotik formula o‘rinli.
1984-yilda X.Xoxshtadt yuqorida zikr qilingan asimptotik formulani nisbatan
sodda usulda keltirib chiqardi. 2012-yilda B.Anatarchi va P.Djakov tomonidan
Matye tenglamasi lakunalari uzunliklarining asimptotikasi yana bitta hadga
aniqlashtirildi:
γ
m
= λ
+
m
− λ
−
m
=
8a
m
4
m
[(m − 1)!]
2
·
1 −
a
2
4m
3
+ O
µ
a
2
m
4
¶¸
.
(31)
Biz beshinchi bobda Matye tenglamasining lakunalari uzunliklarining asimp-
totikasini X.Xoxshtadt usulida o‘rganish bilan cheklanamiz.
Shuni alohida qayd qilish lozimki, ushbu
y
00
+ λ
2
q(x)y = 0, q(x + T ) = q(x), q(x) ∈ C[0, T ]
(32)
20

ko‘rinishdagi tenglama n-lakunasining uzunligi ∆
n
uchun quyidagi asimptotikalar
o‘rinli:
1) Agar q(x) > 0 va q(x) ∈ C
m
(R) bo‘lsa, u holda ∆
n
= O(n
−m−1
), n → ∞
asimptotika o‘rinli.
2) Agar q(x) > 0 va q(x) ∈ C
∞
(R) bo‘lsa, u holda ∆
n
= O(n
−∞
), n → ∞
asimptotika o‘rinli.
3) Agar q(z) funksiya haqiqiy o‘qning biror atrofida golomorf bo‘lsa, u holda
∆
n
ketma-ketlik eksponensial ravishda nolga intiladi, ya’ni
∆
n
=
2
α
exp
½
−
nπβ
α
¾½
1 + O
µ
1
n
¶¾
, n → ∞
asimptotik formula o‘rinli. Bu yerda
α =
T
Z
0
p
q(x)dx,
β =
z
0
Z
¯
z
0
p
q(t)dt > 0.
(32)
ko‘rinishdagi
tenglama
uchun
keltirilgan
yuqoridagi
tasdiqlar
M.V.Fedoryukning monografiyasida isbotlangan.
Yarim o‘qda berilgan Xill operatori uchun teskari spektral masala butun
o‘qdagi teskari masaladan ancha farq qiladi. Bu holda, Xill operatorining poten-
sialini tiklash bilan birgalikda chegaraviy shartni ham topish talab qilinadi.
Bu masala ilk bor chekli zonali juft potensiallar holida 1961-yilda N.I.Axiezer
tomonidan, chekli zonali davriy potensiallar holida 1985-yilda X.Xoxshtadt va
V.Goldberg tomonidan, umumiy chekli zonali potensiallar holida 1988-yilda
B.M.Levitan va A.V.Savin tomonidan o‘rganilgan.
Chekli zonali potensialli Shturm-Liuvill operatori uchun chegaraviy shartni
spektral berilganlar orqali topish formulasi ilk bor B.M.Levitan va A.V.Savin
maqolasida keltirib chiqarilgan.
Yarim o‘qda berilgan Xill operatori uchun to‘g‘ri va teskari spektral masalalar
qo‘llanmaning oltinchi bobida o‘rganilgan.
Endi teskari spektral masalalarning ayrim tatbiqlariga to‘xtalamiz.
1967-yilda K.Gardner, J.Grin, M.Kruskal, R.Miura zamonaviy matematik
fizikaning asosiy tenglamalaridan biri bo‘lgan ushbu
q
t
= q
xxx
− 6qq
x
,
q(x, 0) = q
0
(x), x ∈ R
nochiziqli Korteveg-de Friz tenglamasiga qo‘yilgan Koshi masalasining yechimi-
ni tez kamayuvchi funksiyalar sinfida topishga muvaffaq bo‘ldilar. Bunda ular
butun o‘qda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun L.D.Faddeyev tomonidan
o‘rganilgan sochilish nazariyasining to‘g‘ri va teskari masalalarini yechish usulidan
21

foydalandilar. Natijada Shturm-Liuvill operatori uchun qo‘yilgan to‘g‘ri va teskari
masalalarni o‘rganishga bo‘lgan qiziqish yanada ortdi va nochiziqli evolyutsion
tenglamalarni yechishda teskari masalalar usuli kashf qilindi.
1974-yilda S.P.Novikov tomonidan Korteveg-de Friz tenglamasining va bu
tenglama yuqori tartibdagi umumlashmalarining har bir statsionar davriy yechimi
chekli zonali potensial bo‘lishi va u kvazidavriy funksiya ekanligi ko‘rsatilgan.
N.I.Axiezerning 1961-yildagi maqolasining asosiy g‘oyasidan foydalanib 1975-
yilda A.R.Its va V.B.Matveyev chekli zonali potensiallar uchun oshkor formula
topishga muvaffaq bo‘ldilar.
Umumiy holda Xill operatori uchun teskari masala I.V.Stankevich,
V.A.Marchenko, I.V.Ostrovskiy, X.P.Mak-Kin, E.Trubovislar tomonidan batafsil
o‘rganilgan.
S.P.Novikov, B.A.Dubrovin, V.B.Matveyev, A.R.Its, V.A.Marchenko, P.Laks,
X.P.Mak-Kin, E.Trubovis, B.M.Levitanlar Korteveg-de Friz tenglamasining
yechimini chekli zonali, davriy va cheksiz zonali deyarli davriy funksiyalar sin-
fida topishga muvaffaq bo‘ldilar.
Moslangan manbali Korteveg-de Friz tenglamasi uchun Koshi masalasi tez
kamayuvchi funksiyalar sinfida ilk bor 1988-yilda V.K.Melnikov, zinasimon
funksiyalar sinfida 2001-yilda G‘.O‘.O‘razboyev, kompleks qiymatli tez kamayu-
vchi funksiyalar sinfida 2007-yilda U.A.Xaitmetov, davriy funksiyalar sinfida esa
2010-yilda A.B.Yaxshimuratov tomonidan yechilgan.
Mazkur kitobning sakkizinchi bobida teskari masalalar usuli yordamida
Korteveg-de Friz tenglamasi va uning yuqori tartibdagi umumlashmalari uchun
qo‘yilgan Koshi masalasining yechimi davriy funksiyalar sinfida topilgan.
Ushbu monografiyani yozishda E.Ch.Titchmarshning "Разложения по
собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями
второго порядка"(том II, 1961), B.M.Levitanning "Обратные задачи Штурма-
Лиувилля"(1984), V.A. Marchenkoning "Операторы Штурма-Лиувилля и
их приложения"(1977), W.Magnus, W.Winklerlarning “Hill’s equation”(1966),
M.S.P.Easthamning “The spectral theory of periodic differential equations”
(1973) kitoblaridan hamda muallifning 1994-2012-yillar davomida UrDU “Fizika-
matematika” fakulteti talabalari va magistrantlariga maxsus kurs va tanlov fan-
laridan o‘qigan ma‘ruzalaridan foydalanildi.
Bu kitobning asosiy maqsadi oliy o‘quv yurtlarida matematika, tatbiqiy
matematika va informatika, mexanika va fizika bakalavr yo‘nalishlari bo‘yicha
tahsil olayotgan talabalarda “Xill operatori spektral nazariyasining to‘g‘ri va
teskari spektral masalalari”ga bo‘lgan qiziqishni oshirishdan iborat.
Mazkur kitobni yozilishida bergan qimmatli maslahatlari uchun O‘zRFA
akademiklari Sh.A.Alimov va M.S.Salohiddinovlarga, professorlar R.R.Ashurov
22

va A.Sh.Qo‘chqorovlarga hamda kitob matnini tahrir qilishda bergan yor-
damlari uchun “Amaliy matematika va matematik fizika” kafedrasida ishlayot-
gan barcha shogirdlarimga va kitob matnini terishda bergan yordamlari uchun
A.A.Reyimberganov va M.M.Ro’zmetovlarga samimiy minnatdorchilik bildira-
man. Kitobxonlarning kitob to‘g‘risidagi tanqidiy fikr va mulohazalarini mam-
nuniyat bilan qabul qilaman.
[e-mail]
Muallif
23

KIRISH
1. Elliptik membrananing tebranishi. 1868-yilda Matye tomonidan el-
liptik membrananing tebranishini o‘rganish jarayoni ushbu
y
00
+ (a + 2q cos 2x)y = 0, x ∈ R
(33)
oddiy differensial tenglamaga keltirildi. Bu yerda a = const, q = const. Bu
tenglama hozirgi kunda Matye tenglamasi nomi bilan mashhur.
Faraz qilaylik XOY tekislikda joylashgan ellips shaklidagi membrana p chas-
tota bilan tebransin. U holda bu jarayonni ifodalovchi tenglama
∂
2
V
∂ x
2
+
∂
2
V
∂ y
2
=
1
c
2
∂
2
V
∂ t
2
(34)
ko‘rinishda bo‘lishi matematik fizika kursidan ma’lum. Agar (2) tenglamada
V = W (x, y) e
−ipt
almashtirish bajarsak, quyidagi
∂
2
W
∂ x
2
+
∂
2
W
∂ y
2
= −χ
2
W ,
(35)
χ =
p
c
ikki o‘lchamli to‘lqin tarqalish jarayonini ifodalovchi tenglama hosil bo‘ladi.
Ushbu
½
x = c · chξ · cos η,
y = c · shξ · sin η
(36)
elliptik koordinata almashtirish formulalarini qaraylik. Bu koordinatalar sis-
temasida ξ = const egri chiziq ellipsni, η = const egri chiziq esa giperbolani
ifodalaydi hamda ularning fokuslari (±c, 0) nuqtalarda joylashgan bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, agar ξ = ξ
0
deb olsak, u holda (x, y) nuqtalar ushbu
x
2
c
2
ch
2
ξ
0
+
y
2
c
2
sh
2
ξ
0
= 1
tenglamani, agar η = η
0
deb olsak, quyidagi
x
2
c
2
cos
2
η
0
−
y
2
c
2
sin
2
η
0
= 1
tenglamani qanoatlantiradi.
24

Endi (3) tenglamada (4) formuladan foydalanib, o‘zgaruvchilarni almashtirish
amalini bajaramiz:
∂
2
W
∂ξ
2
+
∂
2
W
∂η
2
=
∂
2
W
∂ x
2
(µ
∂ x
∂ξ
¶
2
+
µ
∂ x
∂η
¶
2
)
+
∂
2
W
∂ y
2
(µ
∂ y
∂ξ
¶
2
+
µ
∂ y
∂η
¶
2
)
+
+2
∂
2
W
∂ ξ ∂ η
½
∂ x