Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

ϕ
0
(π, λ, t
0
)|
λ=ξ
n
(t
0
)
= θ(π, λ, t
0
)|
λ=ξ
n
(t
0
)
(1.3.11)
tenglik hosil bo‘ladi. Vronskiy ayniyatidan foydalanib, ushbu
θ(π, λ, t
0
)ϕ
0
(π, λ, t
0
)|
λ=ξ
n
(t
0
)
= 1
tenglikni olamiz. Shu yerda (1.3.11) ni inobatga olsak,
θ(π, λ, t
0
)|
λ=ξ
n
(t
0
)
= ±1 va ϕ
0
(π, λ, t
0
)|
λ=ξ
n
(t
0
)
= ±1
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Demak, ∆(ξ
n
(t
0
)) = ±2 bo‘ladi, bunga muvofiq ξ
n
(t
0
) =
λ
2n−1
yoki ξ
n
(t
0
) = λ
2n
tenglik o‘rinli.
Lemma 1.3.5. Agar [λ
2n−1
, λ
2n
] lakuna yopiq bo‘lmasa, ya’ni λ
2n−1
< λ
2n
bo‘lsa, u holda ξ
n
(t) funksiyaning qiymatlar to‘plami [λ
2n−1
, λ
2n
] kesmadan iborat
bo‘ladi.
Isbot. 1) Agar ξ
n
(t) xos qiymat lakunaning chetida bo‘lmasa, ya’ni ξ
n
(t) ∈
(λ
2n−1
, λ
2n
) bo‘lsa, bu holda oldingi lemmaga muvofiq ˙ξ
n
(t) 6= 0 bo‘ladi. Demak,
61

˙ξ
n
(t) 6= 0 bo‘lgani uchun ξ
n
(t) nuqta biror tomonga harakat qilib, lakuna chetiga
keladi, lakuna chetiga kelmaguncha orqasiga qaytmaydi, chunki qaytish nuqtasida
tezlik albatta nol bo‘ladi.
2) Agar ξ
n
(t
0
) nuqta lakunaning chetida bo‘lsa, masalan ξ
n
(t
0
) = λ
2n−1
bo‘lsa, bu holda ˙ξ
n
(t
0
) = 0 bo‘ladi. Lemma 1.3.2 dagi (1.3.7) ayniyatdan t
bo‘yicha hosila olib, (1.3.9) ayniyatdan foydalansak, ushbu
¨
ϕ(π, λ, t) = ˙
ϕ
0
(π, λ, t) − ˙θ(π, λ, t) = −2[λ − q(t)]ϕ(π, λ, t) − 2θ
0
(π, λ, t)
tenglik kelib chiqadi. Bunga asosan
¨
ϕ(π, λ, t
0
)|
λ=ξ
n
(t
0
)
= −2θ
0
(π, λ, t
0
)|
λ=ξ
n
(t
0
)
.
(1.3.12)
Lakunaning bitta chetida ϕ(π, λ, t) va θ
0
(π, λ, t) birdaniga nolga aylana ol-
maydi. Bu fikr ushbu
∆
2
(λ) − 4 = [θ(π, λ, t) − ϕ
0
(π, λ, t)]
2
+ 4θ
0
(π, λ, t)ϕ(π, λ, t)
ayniyatdan kelib chiqadi. Demak, (1.3.12) ga binoan ¨
ϕ(π, λ, t
0
)|
λ=ξ
n
(t
0
)
6= 0
bo‘ladi. Bu esa, ξ
n
(t) xos qiymat lakunaning chetida turib qolmasligini, ya’ni
lakunaning chetiga kelib shu zahotiyoq orqasiga qaytib ketishini bildiradi.
Natija 1.3.1. Lakunalar uzunliklari uchun, ushbu
λ
2n
− λ
2n−1
= max
t∈[0,π]
ξ
n
(t) − min
t∈[0,π]
ξ
n
(t)
tenglik bajariladi.
4-§. G. Borg teoremasi va uning umumlashmasi
Quyidagi
−y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ R
(1.4.1)
Xill tenglamasini qaraylik. Bu yerda q(x) koeffitsiyent π davrli, haqiqiy, uzluk-
siz funksiya, λ ∈ C - kompleks parametr.
(1.4.1) differensial tenglamaning c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0 va s(0, λ) = 0,
s
0
(0, λ) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini mos ravishda
c(x, λ) va s(x, λ) orqali belgilaylik. U holda quyidagi



−y
00
+ q(x)y = λy, 0 ≤ x ≤ π,
y(0) = y(π),
y
0
(0) = y
0
(π)
(1.4.2)
davriy va



−y
00
+ q(x)y = λy, 0 ≤ x ≤ π,
y(0) = −y(π),
y
0
(0) = −y
0
(π)
(1.4.3)
62

yarimdavriy chegaraviy masalalarning xos qiymatlari mos ravishda ∆(λ) − 2 = 0
va ∆(λ) + 2 = 0 tenglamalarning ildizlari bilan ustma-ust tushushi yuqorida
ko‘rsatilgan edi. Bu yerda ∆(λ) = c(π, λ) + s
0
(π, λ).
1946-yilda shved matematigi G.Borg [37] tomonidan quyidagi ajoyib teorema
isbot qilingan. 1977-yilda X.Xoxshtadt [344] bu teoremani sodda isbotini topishga
muvaffaq bo‘ldi.
Teorema 1.4.1. (G.Borg, [37]).
π
2
soni Xill tenglamasi q(x) potensialining
davri bo‘lishi uchun ∆(λ) + 2 = 0 tenglamaning barcha ildizlari, ya’ni (1.4.3)
yarimdavriy chegaraviy masalaning barcha xos qiymatlari ikki karrali bo‘lishi
zarur va yetarlidir.
Isbot. (Zaruriyligi). Faraz qilaylik
π
2
soni Xill tenglamasi q(x) potensialin-
ing davri, ya’ni q(x +
π
2
) = q(x) bo‘lsin. Agar (1.4.1) tenglamaning
y (x +
π
2
) = ρ · y(x)
(1.4.4)
shartni qanoatlantiruvchi nolmas yechimini izlasak, u holda ρ = ρ(λ) ga nisbatan
ρ
2
− δ(λ)ρ + 1 = 0
(1.4.5)
kvadrat tenglama hosil bo‘ladi. Bu yerda ushbu
δ(λ) = c(
π
2
, λ) + s
0
(
π
2
, λ)
funksiya (1.4.1) tenglamaning
π
2
davrga mos keluvchi Lyapunov funksiyasi. (1.4.4)
shartdan foydalanib, ushbu
y(x + π) = ρ
2
y(x)
tenglikni topamiz. Bundan esa
ρ
4
− ∆(λ)ρ
2
+ 1 = 0
(1.4.6)
kelib chiqadi. (1.4.5) va (1.4.6) tenglamalardan
δ(λ) = ρ +
1
ρ
, ∆(λ) = ρ
2
+
1
ρ
2
kelib chiqadi. Oxirgi ikki tenglikdan ushbu
∆(λ) + 2 = δ
2
(λ)
bog‘lanish kelib chiqadi. Bu bog‘lanish ∆(λ)+2 = 0 tenglamaning barcha ildizlari
ikki karrali ekanligini ko‘rsatadi.
(Yetarliligi). Faraz qilaylik, ushbu ∆(λ) + 2 butun funksiyaning barcha
nollari ikki karrali bo‘lsin. U holda
F (x, λ) =
s(x, λ) + s(x + π, λ)
p
∆(λ) + 2
63

ham har bir tayinlangan x da λ o‘zgaruvchiga nisbatan butun funksiya bo‘lishini
ko‘rsatamiz. Buning uchun
s(x + π, λ) = s(π, λ)c(x, λ) + s
0
(π, λ)s(x, λ)
tenglikdan foydalanib, F (x, λ) funksiyani quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
F (x, λ) =
s(π, λ)
p
∆(λ) + 2
c(x, λ) +
s
0
(π, λ) + 1
p
∆(λ) + 2
s(x, λ).
(1.4.7)
Yuqoridagi teorema 1.2.3 dan ma’lumki, agar λ soni ∆(λ)+2 = 0 tenglaman-
ing ikki karrali ildizi bo‘lsa, u holda s(π, λ) = 0 va s
0
(π, λ) + 1 = 0 tengliklar
bajariladi. Demak, (1.4.7) tenglikdan har bir tayinlangan x da F (x, λ) ning λ
o‘zgaruvchiga nisbatan butun funksiya ekanligi kelib chiqadi.
Endi ushbu
F (−
π
2
, λ) =
s
¡
π
2
, λ
¢
+ s
¡
−
π
2
, λ
¢
p
∆(λ) + 2
funksiyaning yetarli katta λ larda asimptotikasini o‘rganamiz.
c(x, λ) va s(x, λ) yechimlarning (1.1.8) asimptotikalaridan foydalanib,
quyidagi
s
³π
2
, λ
´
+ s
³
−
π
2
, λ
´
= −
1
2k
2



π
2
Z
0
q(t)dt +
−
π
2
Z
0
q(t)dt


 cos
kπ
2
+
+
1
2k
2
π
2
Z
0
q(t) cos k(2t −
π
2
)dt +
1
2k
2
−
π
2
Z
0
q(t) cos k(2t +
π
2
)dt + O
µ
e
π
2
|Imk|
k
3
¶
,
∆(λ) = 2 cos kπ +
1
k


π
Z
0
q(t)dt

 sin kπ + O
µ
e
π|Imk|
k
2
¶
baholarni topamiz.
Hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida
π
Z
0
q(t)dt = 0
deb olish mumkin. Bundan foydalanib, quyidagi
−
π
2
Z
0
q(t)dt =
π
2
Z
0
q(t)dt,
64

s
³π
2
, λ
´
+ s
³
−
π
2
, λ
´
= −
1
k
2



π
2
Z
0
q(t)dt


 cos
kπ
2
+ o
µ
e
π
2
|Imk|
k
2
¶
,
∆(λ) + 2 = 4 cos
2
kπ
2
+ O
µ
e
π|Imk|
k
2
¶
tengliklarni topamiz. Bu asimptotikalardan
lim
|λ|→∞
F (−
π
2
, λ) = 0
ekanligi kelib chiqadi. Bundan F (−
π
2
, λ) butun funksiyaning chegaralanganligi va
Liuvill teoremasiga asosan F (−
π
2
, λ) ≡ 0 ekanligi kelib chiqadi. Bu o‘z navbatida
quyidagilarni keltirib chiqaradi:
s
³π
2
, λ
´
+ s
³
−
π
2
, λ
´
≡ 0,
−
1
k
2



π
2
Z
0
q(t)dt


 cos
kπ
2
+ o
µ
e
π
2
|Imk|
k
2
¶
≡ 0.
Oxirgi tenglikka muvofiq
π
2
Z
0
q(t)dt ≡ 0.
(1.4.8)
Agar biz q(x) potensial o‘rniga q(x + τ ) potensialni olsak, u holda (1.4.8)
tenglik
π
2
Z
0
q(t + τ )dt = 0,
ya’ni
π
2
+τ
Z
τ
q(t)dt = 0
ko‘rinishni oladi. Oxirgi ayniyatning ikkala tarafidan τ o‘zgaruvchi bo‘yicha hosila
olsak, quyidagi
q
³π
2
+ τ
´
= q(τ ), τ ∈ R
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu esa
π
2
soni q(x) potensialning davri ekanini ko‘rsatadi.
65

Izoh. Borg teoremasini lakunalar tilida ham bayon qilish mumkin:
π
2
soni
Xill tenglamasi q(x) potensialining davri bo‘lishi uchun Xill tenglamasi barcha
toq nomerli lakunalarining yo‘qolishi (yopilishi) zarur va yetarlidir.
Yuqorida bayon qilingan G.Borg teoremasi 1984-yilda X.Xoxshtadt [345]
tomonidan umumlashtirildi.
Teorema 1.4.2. (X.Xoxshtadt, [345]).
π
n
soni Xill tenglamasi π davrli
q(x) potensialining davri bo‘lishi uchun nomerlari n ga karrali bo‘lmagan barcha
lakunalarning yopilishi zarur va yetarli. Bu yerda n ≥ 2 natural son.
Isbot. (Zaruriyligi). Dastlab
π
n
soni q(x) potensialning davri bo‘lsin deb faraz
qilamiz, ya’ni
q
³
x +
π
n
´
= q(x), x ∈ R.
(1.4.9)
U holda (1.4.1) tenglamaning
y
³
x +
π
n
´
= ρ y(x), x ∈ R
(1.4.10)
shartni qanoatlantiruvchi y(x) yechimini topish bilan shug‘ullanamiz. Buning
uchun (1.4.1) tenglamaning
y(x) = a
1
c(x, λ) + a
2
s(x, λ)
(1.4.11)
umumiy yechimini (1.4.10) shartga qo‘yib,
a
1
c
³
x +
π
n
, λ
´
+ a
2
s
³
x +
π
n
, λ
´
= ρ[a
1
c(x, λ) + a
2
s(x, λ)]
(1.4.12)
topamiz. Bu tenglikda qatnashayotgan c
¡
x +
π
n
, λ
¢
va s
¡
x +
π
n
, λ
¢
funksiyalar
ham (1.4.1) tenglamaning yechimlari bo‘ladi, chunki q
¡
x +
π
n
¢
= q(x). Shuning
uchun
c
¡
x +
π
n
, λ
¢
= c
¡
π
n
, λ
¢
c(x, λ) + c
0
¡
π
n
, λ
¢
s(x, λ),
s
¡
x +
π
n
, λ
¢
= s
¡
π
n
, λ
¢
c(x, λ) + s
0
¡
π
n
, λ
¢
s(x, λ)
(1.4.12)
tengliklar o‘rinli. (1.4.13) tengliklarni (1.4.12) tenglamaning chap tamoniga qo‘yib
a
1
£
c
¡
π
n
, λ
¢
c(x, λ) + c
0
¡
π
n
, λ
¢
s(x, λ)
¤
+
+a
2
£
s
¡
π
n
, λ
¢
c(x, λ) + s
0
¡
π
n
, λ
¢
s(x, λ)
¤
=
= ρ[a
1
c(x, λ) + a
2
s(x, λ)],
£
a
1
c
¡
π
n
, λ
¢
+ a
2
s
¡
π
n
, λ
¢
− ρ a
1
¤
c(x, λ)+
+
£
a
1
c
0
¡
π
n
, λ
¢
+ a
2
s
0
¡
π
n
, λ
¢
− ρ a
2
¤
s(x, λ) = 0
tenglikni hosil qilamiz. Oxirgi tenglikda c (x, λ) va s (x, λ) yechimlarning chiziqli
erkliligini e’tiborga olsak, undan
½
a
1
£
c
¡
π
n
, λ
¢
− ρ
¤
+ a
2
s
¡
π
n
, λ
¢
= 0
a
1
c
0
¡
π
n
, λ
¢
+ a
2
£
s
0
¡
π
n
, λ
¢
− ρ
¤
= 0
(1.4.14)
66

tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu sistema a
1
, a
2
larga nisbatan nolmas
yechimga ega bo‘lishi uchun
¯
¯
¯
¯
c
¡
π
n
, λ
¢
− ρ
s
¡
π
n
, λ
¢
c
0
¡
π
n
, λ
¢
s
0
¡
π
n
, λ
¢
− ρ
¯
¯
¯
¯ = 0
bo‘lishi zarur va yetarli. Bundan ρ ga nisbatan ushbu
ρ
2
− δ (λ) ρ + 1 = 0
(1.4.15)
kvadrat tenglamani keltirib chiqaramiz. Bu yerda
δ (λ) = c
³π
n
, λ
´
+ s
0
³π
n
, λ
´
(1.4.16)
(1.4.1) tenglamaning
π
n
, n ≥ 2 davrga mos keluvchi Lyapunov funksiyasi,
ya’ni Xill diskriminanti. (1.4.15) kvadrat tenglamani yechib
ρ
1,2
(λ) =
1
2
h
δ (λ) ±
p
δ
2
(λ) − 4
i
(1.4.17)
ekanligini topamiz. Bu ildizlar
ρ
1
(λ) ρ
2
(λ) = 1, ρ
1
(λ) + ρ
2
(λ) = δ (λ) , ρ
1
(λ) − ρ
2
(λ) =
p
δ
2
(λ) − 4
(1.4.18)
tengliklarni qanoatlantiradi.
Agar δ
2
(λ) − 4 6= 0 bo‘lsa, u holda (1.4.15) kvadrat tenglama har hil ρ
1
, ρ
2
nolmas ildazlarga ega bo‘ladi. Shuning uchun (1.4.1) tenglamaning ikkita nolmas
chiziqli erkli yechimlari mavjud bo‘lib, ular
y
1
³
x +
π
n
, λ
´
= ρ
1
y
1
(x, λ) ,
y
2
³
x +
π
n
, λ
´
= ρ
2
y
2
(x, λ)
(1.4.19)
shartlarni qanoatlantiradi.
Endi (1.4.14) sistemada a
1
= 1 deb olib,
a
2
=
ρ − c
¡
π
n
, λ
¢
s
¡
π
n
, λ
¢
=
s
0
¡
π
n
, λ
¢
− c
¡
π
n
, λ
¢
±
p
δ (λ) − 4
2s
¡
π
n
, λ
¢
bo‘lishini topamiz. a
1
va a
2
ning bu qiymatlarini (1.4.11) tenglikka qo‘yib, (1.4.1)
tenglamaning
y
1,2
(x, λ) = c (x, λ) + ω
1,2
(λ) s (x, λ)
(1.4.20)
Floke yechimlarini topamiz. Bu yerda
ω
1,2
(λ) =
s
0
¡
π
n
, λ
¢
− c
¡
π
n
, λ
¢
±
p
δ (λ) − 4
2s
¡
π
n
, λ
¢
funksiyalar (1.4.1) tenglamaning
π
n
davrga mos keluvchi Veyl-Titchmarsh
funksiyalaridir.
67

y
1
(x, λ) va y
2
(x, λ) funksiyalar (1.4.1) tenglamaning chiziqli erkli yechimlari
bo‘ladi, chunki
W {y
1
(x, λ) , y
2
(x, λ)} =
p
δ
2
(λ) − 4
s
¡
π
n
, λ
¢ .
Endi, (1.4.19) tengliklarni qanoatlantiruvchi y
1
(x, λ) va y
2
(x, λ) yechimlar ρ
1
va ρ
2
larning qanday qiymatlarida (1.4.1) tenglamaning π davrli, yoki π-antidavrli
yechimlariga aylanadi degan tabiiy savolga javob berishga harakat qilamiz.
1) Agar ρ
1
(λ) = exp
©
2kπ
n
i
ª
va ρ
2
(λ) = exp
©
−2kπ
n
i
ª
deb tanlab olsak, u
holda δ (λ) = ρ
1
(λ) + ρ
2
(