Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

π, λ) → +∞, (λ → −∞). Bunga asosan biror
˜
η ∈ (−∞, λ
0
) son uchun c
0
(π, ˜
η) > 0 bo‘ladi. c
0
(π, λ
0
+ 0) < 0 bo‘lgani uchun
c
0
(π, λ) = 0 tenglama [˜
η, λ
0
] kesmada biror η
0
ildizga ega bo‘ladi. Bitta laqunada
ko‘pi bilan bitta xos qiymat bo‘lganligi uchun η
0
- Neyman masalasining trivial
lakunadagi yagona xos qiymati bo‘ladi.
Teorema
1.3.2.
(Xos
funksiyalarning
nollari
haqida).
Agar
ϕ
0
(x), ϕ
1
(x), ..., ϕ
2n−1
(x), ϕ
2n
(x), ... funksiyalar davriy chegaraviy masalan-
ing mos ravishda ushbu λ
0
< λ
3
≤ λ
4
< ... < λ
4n−1
≤ λ
4n
< ... xos qiymatlariga
mos keluvchi xos funksiyalari va ψ
1
(x), ψ
2
(x), ..., ψ
2n−1
(x), ψ
2n
(x), ...
funksiyalar
yarimdavriy
chegaraviy
masalaning
mos
ravishda
ushbu
λ
1
≤ λ
2
< ... < λ
4n−3
≤ λ
4n−2
< ... xos qiymatlariga mos keluvchi xos
funksiyalari bo‘lsa, u holda
1) ϕ
0
(x) 6= 0, x ∈ [0, π];
2) ϕ
2n−1
(x) va ϕ
2n
(x) funksiyalar [0, π) oraliqda 2n ta nolga ega;
3) ψ
2n−1
(x) va ψ
2n
(x) funksiyalar [0, π) oraliqda 2n − 1 ta nolga ega.
Bu yerda n = 1, 2, ... .
Isbot. Davriy chegaraviy shartlardan ϕ
n
(x) funksiyaning [0, π) oraliqdagi
nollarining soni juft bo‘lishi kelib chiqadi. ϕ
n
(x) funksiyaning [0, π) oraliqdagi nol-
larining soni toq deb faraz qilaylik. Agar ϕ
n
(0) 6= 0 bo‘lsa, u holda ϕ
n
(0) va ϕ
n
(π)
qarama-qarshi ishorali bo‘ladi va ziddiyat hosil bo‘ladi, chunki ϕ
n
(π) = ϕ
n
(0).
Agar ϕ
n
(0) = 0 bo‘lsa, u holda ϕ
n
(x) funksiyaning (0, π) intervaldagi nollarin-
ing soni juft bo‘ladi. Bu holda ϕ
0
n
(0) va ϕ
0
n
(π) qarama-qarshi ishorali bo‘ladi va
ziddiyat hosil bo‘ladi, chunki ϕ
0
n
(π) = ϕ
0
n
(0). Xuddi shunday qilib, yarimdavriy
chegaraviy shartlardan, ψ
n
(x) funksiyaning [0, π) oraliqdagi nollarining soni toq
bo‘lishi keltirib chiqariladi.
(0, π) oraliqda s(x, ξ
1
) funksiya nolga ega bo‘lmagani va λ
0
< ξ
1
bo‘lgani
uchun, Shturm teoremasiga asosan, ϕ
0
(x) funksiya (0, π) oraliqda ko‘pi bilan
bitta nolga ega bo‘ladi. ϕ
0
(x) funksiyaning (0, π) oraliqdagi nollarining soni juft
bo‘lgani uchun ϕ
0
(x) funksiya (0, π) oraliqda nolga ega bo‘lmaydi. Endi ϕ
n
(0) 6=
0 va ϕ
n
(π) 6= 0 ekanligini ko‘rsatamiz. Agar ϕ
n
(0) = 0 bo‘lsa, u holda davriy
chegaraviy shartlarga ko‘ra ϕ
n
(π) = 0 bo‘ladi. Bundan ϕ
0
(x) Dirixle chegaraviy
masalasining xos funksiyasi ekanligi kelib chiqadi. Bunga ko‘ra, λ
0
son Dirixle
56

chegaraviy masalasining xos qiymati bo‘ladi. Bu esa ξ
1
son Dirixle chegaraviy
masalasining eng kichik xos qiymati ekanligiga ziddir. Demak, ϕ
0
(x) funksiya
[0, π] kesmada nolga ega emas.
Endi ϕ
2n−1
(x) funksiyani qaraymiz. Bu xos funksiya λ
4n−1
xos qiymatga mos
keladi. Bunda ξ
2n−1
< λ
4n−1
≤ ξ
2n
. Ushbu s(x, ξ
2n−1
) funksiya [0, π) oraliqda
2n − 1 ta nolga, s(x, ξ
2n
) funksiya esa [0, π) oraliqda 2n ta nolga ega. Shuning
uchun, Shturm teoremasiga asosan, ϕ
2n−1
(x) funksiya [0, π) oraliqda 2n − 1 dan
kam bo‘lmagan va 2n dan ko‘p bo‘lmagan nollarga ega. Agar ϕ
2n−1
(x) funksiya
nollarining soni juft bo‘lishini hisobga olsak, [0, π) oraliqda uning 2n ta noli bor
ekanligi kelib chiqadi. ϕ
2n
(x), ψ
2n−1
(x) va ψ
2n
(x) funksiyalar uchun ham teore-
maning ikkinchi va uchinchi bandlari shu tarzda isbotlanadi.
Endi (1.3.1) tenglamada q(x) ni q(x + t) ga almashtirib quyidagi
−y
00
+ q(x + t)y = λy, x ∈ R
(1.3.4)
siljigan argumentli Xill tenglamasini qaraymiz. Bu yerda t haqiqiy parametr.
θ(x, λ, t) va ϕ(x, λ, t) orqali (1.3.4) tenglamaning ushbu
θ(0, λ, t) = 1, θ
0
(0, λ, t) = 0, ϕ(0, λ, t) = 0,
ϕ
0
(0, λ, t) = 1
(1.3.5)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini belgilaymiz. U holda Lya-
punov funksiyasi
∆(λ, t) = θ(π, λ, t) + ϕ
0
(π, λ, t)
tenglik yordamida aniqlanadi.
Lemma 1.3.1. (1.3.4) tenglamaning (1.3.5) boshlang‘ich shartlarni qanoat-
lantiruvchi yechimlari uchun ushbu
θ(x, λ, t) = s
0
(t, λ)c(x + t, λ) − c
0
(t, λ)s(x + t, λ),
ϕ(x, λ, t) = −s(t, λ)c(x + t, λ) + c(t, λ)s(x + t, λ)
(1.3.6)
tengliklar o‘rinli.
Isbot. c(x + t, λ) va s(x + t, λ) funksiyalar (1.3.4) Xill tenglamasi yechim-
larining fundamental sistemasini tashkil qilgani uchun
θ(x, λ, t) = A
1
c(x + t, λ) + A
2
s(x + t, λ),
ϕ(x, λ, t) = B
1
c(x + t, λ) + B
2
s(x + t, λ).
(1.3.5) boshlang‘ich shartlardan foydalanib, ushbu
A
1
= s
0
(t, λ), A
2
= −c
0
(t, λ), B
1
= −s(t, λ), B
2
= c(t, λ)
tengliklarni topamiz. Bundan (1.3.6) ayniyatlar kelib chiqadi.
Teorema 1.3.3. (1.3.4) siljigan argumentli Xill tenglamasining Lyapunov
funksiyasi t parametrga bog‘liq emas, ya’ni ∆(λ, t) = ∆(λ).
57

Isbot. Lemma 1.2.1 va lemma 1.3.1 lardan
θ(π, λ, t) = s
0
(t, λ)c(t + π, λ) − c
0
(t, λ)s(t + π, λ) =
= s
0
(t, λ)[c(π, λ)c(t, λ) + c
0
(π, λ)s(t, λ)]−
−c
0
(t, λ)[s(π, λ)c(t, λ) + s
0
(π, λ)s(t, λ)]
va
ϕ
0
(π, λ, t) = −s(t, λ)c
0
(t + π, λ) + c(t, λ)s
0
(t + π, λ) =
= −s(t, λ)[c(π, λ)c
0
(t, λ) + c
0
(π, λ)s
0
(t, λ)]+
+c(t, λ)[s(π, λ)c
0
(t, λ) + s
0
(π, λ)s
0
(t, λ)]
tengliklar kelib chiqadi. Bulardan foydalanib, ∆(λ, t) ning qiymatini hisoblaymiz:
∆(λ, t) = θ(π, λ, t) + ϕ
0
(π, λ, t) = s
0
(λ, t)[c(π, λ)c(t, λ) + c
0
(π, λ)s(t, λ)]−
−c
0
(t, λ)[s(π, λ)c(t, λ) + s
0
(π, λ)s(t, λ)]−
−s(t, λ)[c(π, λ)c
0
(t, λ) + c
0
(π, λ)s
0
(t, λ)]+
+c(t, λ)[s(π, λ)c
0
(t, λ) + s
0
(π, λ)s
0
(t, λ)] =
= c(π, λ)[c(t, λ)s
0
(t, λ) − s(t, λ)c
0
(t, λ)]+
+s
0
(π, λ)[c(t, λ)s
0
(t, λ) − s(t, λ)c
0
(t, λ)] = c(π, λ) + s
0
(π, λ) = ∆( λ) .
Shunday qilib, Xill tenglamasida q(x) potensial o‘rniga q(x + t), t ∈ R olin-
sa, u holda ∆(λ, t) = ∆(λ) bo‘lar ekan. Bundan, esa (1.3.4) Xill tenglamasi-
ga qo‘yilgan davriy va yarimdavriy chegaraviy masalalarning xos qiymatlari
t parametrga bog‘liq bo‘lmasligi, ya’ni λ
k
(t) = λ
k
, k ≥ 0 ekanligi kelib
chiqadi. Ammo, (1.3.4) tenglamaga qo‘yilgan davriy va yarimdavriy chegaraviy
masalalarning xos funksiyalari mos ravishda ϕ
k
(x + t) va ψ
k
(x + t) ko‘rinishda
bo‘ladi va ular L
2
(0, π) fazoda to‘la sistemani tashkil qiladi. O‘z navbatida (1.3.4)
tenglamaga qo‘yilgan Dirixle va Neyman chegaraviy masalalarining xos qiymat-
lari mos ravishda ξ
k
= ξ
k
(t), k = 1, 2, ... va η
k
= η
k
(t), k = 0, 1, 2, ... t ∈ R
parametrga bog‘liq bo‘lib, ular o‘z lakunalarida o‘zgaradi.
Teorema 1.3.4. Agar t parametr 0 ≤ t ≤ π oraliqda o‘zgarsa, u holda (1.3.4)
tenglamaga qo‘yilgan Dirixle va Neyman chegaraviy masalasining ξ
k
(t) va η
k
(t)
xos qiymatlari o‘zlarining lakunalarini to‘la to‘ldiradi. Bu yerda k = 1, 2, ... .
Isbot. Biz yuqorida ξ
k
(t) va η
k
(t) lar o‘z lakunalaridan tashqariga chiqmaslig-
ini isbotlagan edik. ξ
k
(t) - uzluksiz funksiya bo‘lgani uchun, lakunaning chetki
nuqtasi uning qiymatidan iborat bo‘lishini ko‘rsatish yetarli.
Yarimdavriy masalaning ψ
2k+1
(x) xos funksiyaning biror nolini x
0
orqali bel-
gilaylik. t = x
0
bo‘lsin. U holda yarimdavriy chegaraviy shartlarga ko‘ra
ψ
2k+1
(x
0
+ π) = −ψ
2k+1
(x
0
) = 0
58

bo‘ladi. Bunga ko‘ra ψ
2k+1
(x + x
0
) funksiya ushbu
−y
00
+ q(x + x
0
)y = λy, 0 < x < π
Shturm-Liuvill tenglamasi uchun qo‘yilgan Dirixle masalasining xos funksiyasi
bo‘ladi. ψ
2k+1
(x) funksiya (x
0
, x
0
+ π) oraliqda 2k ta nolga ega. Bundan
ξ
2k+1
(x
0
) = λ
4k+1
kelib chiqadi.
Xuddi shuningdek, ψ
2k+2
(x) funksiyani qarab, ξ
2k+1
(t) ning qiymati λ
4k+2
ga
erishishini ko‘rsatish mumkin. ξ
2k+2
(t) uchun ham yuqoridagi mulohaza o‘rinli.
η
k
(t) − hol ham xuddi shunday mulohaza yurgizish bilan isbotlanadi. Am-
mo, bu holda t sifatida ϕ
0
k
(x) ning biror nolini olish lozim bo‘ladi.
Eslatma. Ushbu η
0
(t) funksiya chekli quyi chegaraga ega, ya’ni
inf
0≤t≤π
η
0
(t) = M > −∞, η
0
(t
0
) = M, t
0
∈ [0, π]
bo‘lib, u (−∞, λ
0
] trivial lakunani to‘la to‘ldirmaydi.
q(x + t) potensialli (1.3.4) Xill tenglamasiga qo‘yilgan Dirixle va Neyman
chegaraviy masalalarining mos ravishda ξ
k
(t), k = 1, 2, ... va η
k
= η
k
(t),
k = 0, 1, 2, ... xos qiymatlarini t ∈ R parametrga bog‘liqligini yanada chuqur-
roq o‘rganish maqsadida (1.3.1) Xill tenglamasi lakunalarini quyidagicha belgilab
olamiz:
(−∞,λ
0
), (λ
2n−1
, λ
2n
), n = 1, 2, ... .
Agar t parametr siljitilsa, umuman olganda ξ
k
(t) nuqta ham [λ
2n−1
, λ
2n
]
kesmada siljiydi. Bu nuqta harakatlanib, lakunaning chetiga kelganidagina
harakat yo‘nalishini o‘zgartirishini, va hech bir nuqtada to‘xtab qolmasligini
ko‘rsatamiz.
Lemma 1.3.2. Quyidagi tengliklar o‘rinli:
˙
ϕ(π,λ, t) = ϕ
0
(π,λ, t) − θ(π,λ, t),
(1.3.7)
˙θ
0
(π,λ, t) = [λ − q(t)][ϕ
0
(π,λ, t) − θ(π,λ, t)],
(1.3.8)
˙
ϕ
0
(π,λ, t) − ˙θ(π,λ, t) = −2[λ − q(t)]ϕ(π,λ, t) − 2θ
0
(π,λ, t).
(1.3.9)
Bu yerda shtrix orqali x bo‘yicha xususiy hosila, nuqta orqali esa t bo‘yicha
xususiy hosila belgilangan.
Isbot. Yozuvlarni qisqa yozish maqsadida vaqtincha (x): = c(x,λ) va
s(x): = s(x,λ) belgilashlarni kiritib olamiz. c(x+t) va s(x+t) funksiyalar (1.3.4)
differensial tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo‘lganligi tufayli θ(x, λ, t) va
ϕ(x, λ, t) yechimlar ular orqali chiziqli ifodalanadi:
θ(x, λ, t) = s
0
(t)c(x + t) − c
0
(t)s(x + t),
ϕ(x, λ, t) = −s(t)c(x + t) + c(t)s(x + t).
59

Bulardan x bo‘yicha hosila olsak, ushbu
θ
0
(x, λ, t) = s
0
(t)c
0
(x + t) − c
0
(t)s
0
(x + t),
ϕ
0
(x, λ, t) = −s(t)c
0
(x + t) + c(t)s
0
(x + t)
ayniyatlar kelib chiqadi. Bu yerda x = π deb olib, ushbu
c(t + π) = c(π)c(t) + c
0
(π)s(t),
s(t + π) = s(π)c(t) + s
0
(π)s(t)
formulalardan foydalansak, quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
θ(π, λ, t) = s
0
(t)[c(π)c(t) + c
0
(π)s(t)] − c
0
(t)[s(π)c(t) + s
0
(π)s(t)],
ϕ(π, λ, t) = −s(t)[c(π)c(t) + c
0
(π)s(t)] + c(t)[s(π)c(t) + s
0
(π)s(t)],
θ
0
(π, λ, t) = s
0
(t)[c(π)c
0
(t) + c
0
(π)s
0
(t)] − c
0
(t)[s(π)c
0
(t) + s
0
(π)s
0
(t)],
ϕ
0
(π, λ, t) = −s(t)[c(π)c
0
(t) + c
0
(π)s
0
(t)] + c(t)[s(π)c
0
(t) + s
0
(π)s
0
(t)].
Bu ifodalarni (1.3.7)-(1.3.9) tengliklarga to‘g‘ridan to‘g‘ri qo‘yib, (1.3.7)-
(1.3.9) tengliklarning to‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilish qiyinchilik
tug‘dirmaydi.
Lemma 1.3.3. Agar ξ
n
(t) xos qiymat t parametrga bog‘liq bo‘lmasa, u holda
uning lakunasi yopiq bo‘ladi, ya’ni λ
2n−1
= λ
2n
bo‘ladi.
Isbot. ξ
n
(t) funksiya lemmaning shartiga ko‘ra t ga bog‘liq bo‘lmagani uchun
uni ayrim joylarda ξ
n
orqali belgilaymiz. ξ
n
xos qiymat ushbu ϕ(π, λ, t) = 0
tenglamaning ildizi bo‘ladi. Endi ϕ(π, λ, t) funksiya uchun olingan quyidagi yoy-
ilmadan foydalanamiz [328, 90-91 bet]:
ϕ(π, λ, t) = π
∞
Y
k=1
ξ
k
(t) − λ
k
2
.
Bu ifodadan t bo‘yicha hosila olib, so‘ngra λ = ξ
n
desak,
˙
ϕ(π, λ, t)|
λ=ξ
n
= π
∞
Y
m=1
˙ξ
m
(t)
m
2
∞
Y
k=1,
k6=m
ξ
k
(t) − λ
k
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
λ=ξ
n
= π
˙ξ
n
(t)
n
2
∞
Y
k=1,
k6=m
ξ
k
(t) − ξ
n
(t)
k
2
= 0,
ya’ni ˙
ϕ(π, λ, t)|
λ=ξ
n
= 0 tenglik kelib chiqadi. Buni oldingi lemmadagi (1.3.7)
ayniyatga qo‘ysak, ushbu
ϕ
0
(π, λ, t)|
λ=ξ
n
= θ(π, λ, t)|
λ=ξ
n
(1.3.10)
ayniyat hosil bo‘ladi. Bundan t bo‘yicha hosila olsak, ushbu
˙
ϕ
0
(π, λ, t)
¯
¯
λ=ξ
n
= ˙θ(π, λ, t)
¯
¯
¯
λ=ξ
n
60

tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikni oldingi lemmadagi (1.3.9) ayniyatga qo‘ysak,
hamda ϕ(π, λ, t)|
λ=ξ
n
= 0 ekanligidan foydalansak,
θ
0
(π, λ, t)|
λ=ξ
n
= 0
tenglikka ega bo‘lamiz. Vronskiy ayniyatidan foydalanib, ushbu
θ(π, λ, t)ϕ
0
(π, λ, t)|
λ=ξ
n
= 1
tenglikni olamiz. Shu yerda (1.3.10) ayniyatni inobatga olsak,
θ(π, λ, t)|
λ=ξ
n
= ±1 va ϕ
0
(π, λ, t)|
λ=ξ
n
= ±1
o‘rinli bo‘ladi. Demak, λ = ξ
n
bo‘lganida
ϕ(π, λ, t) = 0, θ
0
(π, λ, t) = 0, θ(π, λ, t) = ±1, ϕ
0
(π, λ, t) = ±1
tengliklar bajarilar ekan. Bu tengliklarga muvofiq, λ = ξ
n
qiymat yoki davriy
masalaning, yoki yarimdavriy masalaning ikki karrali xos qiymati bo‘ladi. Bu esa
λ
2n−1
= λ
2n
bo‘lgandagina o‘rinli.
Izoh 1.3.1. ξ
n
(t), n = 1, 2, ... xos qiymat t parametrga biror (t
1
, t
2
) oraliqda
bog‘liq bo‘lmasa ham lemma 1.3.3 o‘z kuchini saqlaydi, ya’ni bu holda ham uning
lakunasi yopiq bo‘ladi.
Lemma1.3.4. Agar ˙ξ
n
(t
0
) = 0 bo‘lsa, yoki ξ
n
(t
0
) = λ
2n−1
yoki ξ
n
(t
0
) = λ
2n
bo‘ladi.
Isbot. Oldingi lemma isbotidagi kabi ˙
ϕ(π, λ, t
0
)|
λ=ξ
n
(t
0
)
= 0 tenglik to‘g‘riligi
ko‘rsatiladi. Buni lemma 1.3.2 dagi (1.3.7) ayniyatga qo‘ysak, ushbu