Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

t) ∈ (−∞, λ
0
]
bajarilishi kelib chiqadi.
Bizga ma’lumki ξ
j
(t) va ξ
j
(0), j ≥ 1 lar mos ravishda ϕ(π, λ, t) = 0 va
s(π, λ) = 0 tenglamalarning ildizlari bilan ustma-ust tushadi. ϕ(π, λ, t) va s(π, λ)
funksiyalar λ o‘zgaruvchiga nisbatan
1
2
tartibli butun funksiyalar bo‘lib, bir xil
nollarga ega. Shuning uchun ular bir-biridan o‘zgarmas ko‘paytuvchiga farq qiladi,
ya’ni ϕ(π, λ, t) = c(t)s(π, λ). Bu tenglikda ushbu
ϕ(π, λ, t) =
sin
√
λπ
√
λ
+ O
µ
1
λ
¶
,
asimptotikadan foydalanib, c(t) = 1, ya’ni ϕ(π, λ, t) = s(π, λ) tenglikni topamiz.
Oxirgi tenglikka quyidagi
ϕ(π, λ, t) =
sin
√
λπ
√
λ
·
1 +
q(t)
2λ
+ O
µ
1
λ
√
λ
¶¸
asimptotikani qo‘llaymiz:
sin
√
λπ
√
λ
·
1 +
q(t)
2λ
+ O
µ
1
λ
√
λ
¶¸
=
sin
√
λπ
√
λ
·
1 +
q(0)
2λ
+ O
µ
1
λ
√
λ
¶¸
.
Bundan
q(t) = q(0), ∀ t ∈ R
tenglik kelib chiqadi. Ushbu
π
R
0
q(t)dt = 0 shartdan foydalanib, q(0) = 0, ya’ni
q(t) ≡ 0, ∀ t ∈ R tenglikka ega bo‘lamiz.
Teorema 1.5.2. (X. Xoxshtadt, [340]). Agar Xill tenglamasining chekli
lakunalaridan faqat bittasi ochiq bo‘lsa, u holda uning q(x) potensiali elliptik
funksiyadan iborat bo‘ladi.
Isbot. Teorema shartiga ko‘ra biz qarayotgan Xill tenglamasining lakunalari
(−∞, λ
0
) va (λ
0
1
, λ
0
2
), turg‘unlik intervallari esa [λ
0
, λ
0
1
] ∪ [λ
0
2
, ∞) to‘plamdan
tashkil topgan. Bu holda ϕ (π, λ, t) , θ (π, λ, t) va s (π, λ), c (π, λ) funksiyalar
quyidagi tengliklarni qanoatlantirishini ko‘rsatish mumkin:
ϕ(π, λ, t) = S(π, λ)
ξ(t) − λ
ξ − λ
,
(1.5.4)
θ(π, λ, t) = C
0
(π, λ)
(η
0
(t) − λ) (η
1
(t) − λ)
(η
0
− λ) (η
1
− λ)
.
(1.5.5)
Bu yerda ξ(t), ξ = ξ(0) ∈ (λ
0
1
, λ
0
2
); η
1
(t), η
1
= η
1
(0) ∈ (λ
0
1
, λ
0
2
), η
0
= η
0
(0) ∈
(−∞, λ
0
).
75

(1.5.4) tenglikning ikkala tarafini t o‘zgaruvchiga nisbatan differensiallab
˙
ϕ(π, λ, t) = S(π, λ)
˙ξ(t)
ξ − λ
bo‘lishini topamiz. (1.3.8) tenglikdan foydalanib, yuqoridagi tenglikni ushbu
ϕ
0
(π, λ, t) − θ(π, λ, t) = S(π, λ)
˙ξ(t)
ξ − λ
(1.5.6)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglikni t bo‘yicha differensiallab
˙
ϕ
0
(π, λ, t) − ˙θ(π, λ, t) = S(π, λ)
¨
ξ(t)
ξ − λ
tenglikni hosil qilamiz. (1.3.10) tenglikga asosan
−2[λ − q(t)]ϕ(π, λ, t) − 2θ
0
(π, λ, t) = s(π, λ)
¨
ξ(t)
ξ − λ
tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglikni (1.5.4) tenglikdan foydalanib, quyidagicha
yozish mumkin:
−2[λ − q(t)]s(π, λ)
ξ(t) − λ
ξ − λ
− 2θ
0
(π, λ, t) = s(π, λ)
¨
ξ(t)
ξ − λ
(1.5.7)
(1.5.6) tenglikdan
ϕ
0
(π, λ, t) − θ(π, λ, t) = O(λ
−
3
2
)
(1.5.8)
baholashni topamiz. Bu baholashdan, esa q (t) funksiyaning absolyut uzluksizligi
kelib chiqadi (Teorema 1.5.3 isbotining oxirgi qismiga qarang).
Shuning uchun ϕ (x, λ, t) va s (x, λ) yechimlarning asimptotikalaridan va
q (0) = q (π),
π
R
0
q (z) dz = 0 shartlardan foydalanib, quyidagi
s (π, λ) =
sin
√
λπ
√
λ
+
sin
√
λπ
2λ
3
2
q (0) + O
µ
1
λ
2
¶
,
ϕ (π, λ, t) =
sin
√
λπ
√
λ
+
sin
√
λπ
2λ
3
2
q (t) + O
µ
1
λ
2
¶
,
(1.5.9)
ξ (t) − λ
ξ − λ
= 1 −
ξ (t) − ξ
λ
+ O
µ
1
λ
2
¶
baholarni olamiz. Bu baholarni (1.5.4) tenglikga qo‘yib, ushbu
sin
√
λπ
√
λ
+
sin
√
λπ
2λ
3
2
q (t) + O
µ
1
λ
2
¶
=
"
sin
√
λπ
√
λ
+
sin
√
λπ
2λ
3
2
q (0) + O
µ
1
λ
2
¶#
×
76

×
·
1 −
ξ (t) − ξ
λ
+ O
µ
1
λ
2
¶¸
asimptotik tenglikni topamiz. Bundan
ξ (t) − ξ = −
1
2
[q (t) − q (0)]
(1.5.10)
formula kelib chiqadi.
Endi (1.5.7) tenglikda (1.5.10) formuladan va quyidagi
s (π, λ) =
sin
√
λπ
√
λ
+
sin
√
λπ
2λ
3
2
q (0) −
cos
√
λπ
8λ
2
π
Z
0
q
2
(z) dz+
+
sin
√
λπ
8λ
5
2
£
3q
2
(0) − q
00
(0)
¤
+ ....
θ
0
(π, λ, t) = −
√
λ sin
√
λπ +
sin
√
λπ
2
√
λ
q (t) +
cos
√
λπ
8λ
π
Z
0
q
2
(z) dz+
+
sin
√
λπ
8λ
3
2
£
q
2
(t) − q
00
(t)
¤
+ ....
1
λ − q (t)
=
1
λ
−
q (t)
λ
2
+ O
µ
1
λ
3
¶
,
ξ (t) − ξ
ξ − λ
= 1 −
ξ (t) − ξ
λ
+
[ξ (t) − ξ]ξ
λ
2
+ O
µ
1
λ
3
¶
,
¨
ξ(t)
ξ − λ
= −
¨
ξ(t)
λ
+
¨
ξ(t)ξ
λ
2
+ O
µ
1
λ
3
¶
,
¨
ξ(t)
(ξ − λ) (λ − q (t))
= −
¨
ξ(t)
λ
2
+ O
µ
1
λ
3
¶
asimptotik yoyilmalardan foydalanib, ushbu
q
00
(t) = 3q
2
(t) − [2q (0) + 4ξ]q (t) +
£
q
00
(0) + 4ξq (0) − q
2
(0)
¤
(1.5.11)
differensial tenglamani keltirib chiqaramiz. Bizga differensial tenglamalar kursi-
dan ma’lumki, (1.5.11) tenglamaning yechimi elliptik funksiyadan iborat bo‘ladi.
Teorema 1.5.3. (X. Xoxshtadt, [340]). Agar Xill tenglamasining chekli
lakunalaridan faqat cheklitasi ochiq bo‘lsa, u holda uning q (x) potensiali cheksiz
differensiallanuvchi funksiya bo‘ladi.
Isbot. Shuni aytish joizki, agar Xill tenglamasining barcha lakunalari yopil-
sa, ya’ni yo‘qolsa, u holda mos ξ
j
(t),j ≥ 1 lar t parametrga bog‘liq bo‘lmaydi.
77

Teoremani shartiga ko‘ra, aynan shuning uchun ham ξ
j
(t) larning faqat chek-
litasi t ga bog‘liq bo‘ladi va ularni ξ
j
(t), j = 1, N bilan, t = 0 dagilarini
esa ξ
j
, j = 1, N bilan belgilaymiz. U holda ξ
j
(t), j = 1, N va ξ
j
, j = 1, N
lar mos ravishda ϕ (π, λ, t) = 0 va s (π, λ) = 0 tenglamalarning ildizlari-
dan iborat bo‘ladi. Chunki ξ
j
(t) lar siljigan argumentli (1.3.4) Xill tenglamasi-
ga qo‘yilgan Dirixle (y (0, t) = 0, y (π, t) = 0) chegaraviy masalasining xos qiy-
matlaridan iborat. ϕ (x, λ, t) esa (1.3.4) siljigan argumentli Xill tenglamasining
y (0, λ, t) = 0, y
0
(π, λ, t) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi.
s (x, λ) esa (1.5.1)+(1.5.2) Xill tenglamasining s (0, λ) = 0, s
0
(0, λ) = 1 bosh-
lang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi. Endi f (λ) va g (λ) funksiyalarni
quyidagicha aniqlaymiz:
f (λ) = ϕ (π, λ, t) ·
N
Y
j=1
(λ − ξ
j
),
g (λ) = s (π, λ) ·
N
Y
j=1
(λ − ξ
j
(t)).
Bunda f (λ) va g (λ)funksiyalar λ ning
1
2
tartibli butun funksiyalari bo‘lib, ular
bir xil nollarga ega. Adamar teoremasiga asosan λ ga bog‘liq bo‘lmagan, ammo
t ga bog‘liq bo‘lgan shunday M(t) mavjud bo‘lib, ular
f (λ) = M (t)g(λ)
(1.5.12)
tenglikni qanoatlantiradi. λ haqiqiy bo‘lib, λ → ∞da s(π, λ) va ϕ(π, λ, t)
funksiyalar
s(π, λ) =
sin
√
λπ
√
λ
+ O
µ
1
λ
¶
, ϕ(π, λ, t) =
sin
√
λπ
√
λ
+ O
µ
1
λ
¶
asimptotikalarni qanoatlantiradi. Bundan, esa M(t) = 1 va f (λ)=g (λ) ekani
kelib chiqadi. Natijada biz, ushbu
ϕ(π, λ, t) = s(π, λ)h(λ, t)
(1.5.13)
tenglikga ega bo‘lamiz. Bu yerda
h(λ, t) =
N
Y
j=1
λ − ξ
j
(t)
λ − ξ
j
.
Yuqoridagi tenglikni t bo‘yicha differensiyallab, (1.3.8) tenglikdan foydalansak
ϕ
0
(π, λ, t) − θ(π, λ, t) = s(π, λ)
∂h(λ, t)
∂t
78

tenglik kelib chiqadi. Bundan t = 0 da
s
0
(π, λ) − c(π, λ) = s(π, λ)
∂h(λ, t)
∂t
¯
¯
¯
¯
t=0
bo‘lishini topamiz . Oxirgi tenglikda λ haqiqiy bo‘lib, λ → ∞ da
s
0
(π, λ) − c(π, λ) = O
µ
λ
−3
/
2
¶
(1.5.14)
bahoga ega bo‘lamiz. Endi c(x, λ) va s(x, λ) yechimlarning quyidagi
c(x, λ) = cos
√
λx +
1
√
λ
x
R
0
sin{(x − t)
√
λ}q(t) cos
√
λtdt+
+
1
λ
x
R
0
sin{(x − t)
√
λ}q(t)
t
R
0
sin{(t − u)
√
λ}q(u) cos
√
λududt + O
µ
λ
−3
/
2
¶
,
s(x, λ) =
sin
√
λx
√
λ
+
1
√
λ
x
R
0
sin{(x − t)
√
λ}q(t) sin
√
λtdt+
+
1
λ
3
/
2
x
R
0
sin{(x − t)
√
λ}q(t)
t
R
0
sin{(t − u)
√
λ}q(u) sin
√
λududt + O
¡
λ
−2
¢
s
0
(x, λ) = cos
√
λx +
1
√
λ
x
R
0
cos{(x − t)
√
λ}q(t) sin
√
λtdt+
+
1
λ
x
R
0
cos{(x − t)
√
λ}q(t)
t
R
0
sin{(t − u)
√
λ}q(u) sin
√
λududt + O
µ
λ
−3
/
2
¶
asimptotikalaridan foydalanib, (1.5.14) baholashni ushbu
π
Z
0
sin{(2t − π)
√
λ}q(t)dt+
+
1
√
λ
π
Z
0
q(t)
t
Z
0
sin{(t + u − π)
√
λ} sin{(t−u)
√
λ}q(u)dudt = O
µ
1
λ
¶
(1.5.15)
ko‘rinishda yozish mumkin. Hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida
π
Z
0
q(x)dx = 0
shartni bajarilishini talab qilamiz va
Q(x) =
x
Z
0
q(t)dt
79

belgilashni kiritib olamiz. (1.5.15) tenglikning chap tomonidagi ikkinchi integral-
da bo‘laklab integrallash va integrallash tartibini almashtirish amallaridan foy-
dalanish natijasida, uni
−
π
Z
0
q(t)
t
Z
0
Q(u) sin{(2u − π)
√
λ}dudt =
π
Z
0
Q
2
(u) sin{(2u − π)
√
λ}du
ko‘rinishda yozish mumkin. Bunga asosan (1.5.15) tenglik
π
Z
0
©
q(t) + Q
2
(t)
ª
sin{(2t − π)
√
λ}dt = O
µ
1
λ
¶
ko‘rinishni oladi. Bu tenglikda λ = n
2
deb olsak
π
Z
0
©
q(t) + Q
2
(t)
ª
sin{(2t − π)n}dt = O
µ
1
n
2
¶
bahoga ega bo‘lamiz. Bu yerda ushbu
sin{(2t − π)n} = (−1)
n
sin 2nt
formuladan foydalansak, oxirgi tenglik quyidagi ko‘rinishni oladi:
π
Z
0
©
q(t) + Q
2
(t)
ª
sin 2ntdt = O
µ
1
n
2
¶
.
(1.5.16)
Endi q(x) funksiyaning absolyut uzluksizligini ko‘rsatish uchun lemma 1.5.1
ga murojaat qilamiz. (1.5.16) bahoga asosan q(x) + Q
2
(x) funksiya yuqorida-
gi lemma 1.5.1 ning shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun q(x) + Q
2
(x)
funksiya absolyut uzluksiz bo‘ladi. Bundan, esa q(x) funksiyaning absolyut uzluk-
sizligi kelib chiqadi, chuki Q(x)-absolyut uzluksiz funksiya.
Endi, quyidagi lemma 1.5.2 dan foydalanishimiz mumkin.
Lemma 1.5.2. Agar q(x) funksiya [0, π] oraliqda absolyut uzluksiz bo‘lsa,
u holda Xill tenglamasining c(x, λ) va s(x, λ) yechimlari uchun haqiqiy λ larda
quyidagi asimptotikalar o‘rinli:
c(x, λ) = cos
√
λx +
1
2
√
λ
Q(x) sin
√
λx+
+
1
4λ
½
q(x) − q(0) −
1
2
Q
2
(x)
¾
cos
√
λx + O
Ã
1
λ
3
/
2
!
,
80

s(x, λ) =
sin
√
λx
√
λ
−
1
2λ
Q(x) cos
√
λx+
+
1
4
√
λ
3
½
q(x) + q(0) −
1
2
Q
2
(x)
¾
sin
√
λx + O
µ
1
λ
2
¶
(1.5.17)
Endi s(x, λ) yechimning (1.5.17) asimptotikasidan va q(π) = q(0), Q(π) = 0
shartlardan foydalanib s(π, λ) funksiya uchun
s(π, λ) =
sin π
√
λ
√
λ
+ q(0)
sin
√
λπ
2
√
λ
3
+ O
µ
1
λ
2
¶
(1.5.18)
asimptotikani topamiz. Shunga o‘xshash asimptotik formula ϕ(π, λ, t) uchun ham
o‘rinli ekanini ko‘satish mumkin:
ϕ(π, λ, t) =
sin π
√
λ
√
λ
+ q(t)
sin
√
λπ
2λ
3
/
2
+ O
µ
1
λ
2
¶
.
(1.5.19)
(1.5.18) va (1.5.19) asimptotikalarni (1.5.4) tenglikka qo‘yib, h(λ, t)
funksiyani λ
−1
ning darajalari bo‘yicha qatorga yoyib, ushbu
sin π
√
λ
√
λ
+ q(t)
sin
√
λπ
2
√
λ
3
+ O
µ
1
λ
2
¶
=
(
sin π
√
λ
√
λ
+ q(0)
sin
√
λπ
2
√
λ
3
+ O
µ
1
λ
2
¶)
×
×
(
1 −
1
λ
N
X
j=1
(ξ
j
(t) − ξ
j
) + O
µ
1
λ
2
¶)
tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan
q(t) − q(0) = −2
N
X
j=1
(ξ
j
(t) − ξ
j
)
(1.5.20)
tenglik kelib chiqadi.
(1.3.7) tenglikka ko‘ra ϕ(π, λ, t) funksiya t bo‘yicha ikki marta differensial-
lanuvchi bo‘ladi. (1.5.13) tenglikka ko‘ra h(λ, t) va ξ
j
(t), j = 1, N lar uchun
ham yuqoridagi fikir o‘rinlidir. Bundan (1.5.20) tenglikka asosan q
00
(t) mavjud
ekanligini aytish mumkin. Endi, yana
−y
00
+ q(x + t)y = λy
Xill tenglamasiga qaytadigan bo‘lsak, uning barcha yechimlari x bo‘yicha to‘rt
marta differensiallanuvchidir. Bundan esa, yana shuni aytish mumkinki ϕ(π, λ, t),
t bo‘yicha to‘rt marta differnsiallanuvchi bo‘ladi. Shuningdek yuqoridagiday
mulohaza yuritib (1.5.20) tenglikdan q
(4)
(t)-to‘rtinchi hosilaning mavjudligini
ko‘rsatish mumkin. Bu jarayonni cheksiz davom qildirib q(t) ning cheksiz dif-
ferensiallanuvchiligiga ishonch hosil qilamiz. ”
81

6-§. Faqat eng kichik xos qiymati oddiy bo‘lgan davriy chegaraviy
masala
Endi berilgan q(x) ∈ C
1
(R) haqiqiy π davrli funksiyani Furye qatoriga yoy-
amiz:
q(x) = a
0
+
∞
X
n=1
(a
n
cos 2