Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

a
Z
−a
f (x)ψ
+
(x, µ
2k−1
)dx


2
,
(2.4.14)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∞
Z
−∞
f (x)y(x, µ
2k
)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
= 4

Im
a
Z
−a
f (x)ψ
+
(x, µ
2k
)dx


2
(2.4.15)
tеngliklarni kеltirib chiqaramiz.
(2.4.8), (2.4.13)-(2.4.15) tengliklardan fоydalanib, (2.4.11) Parsеval tеngligini
quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
∞
Z
−∞
f
2
(x)dx =
=
1
π
∞
X
k=−∞


π
Z
0
|ψ
+
(x, µ
2k−1
)|
2
dx


−1

Re
a
Z
−a
f (x)ψ
+
(x, µ
2k−1
)dx


2
[α(µ
2k
) − α(µ
2k−1
)]+
+
1
π
∞
X
k=−∞


π
Z
0
|ψ
+
(x, µ
2k
)|
2
dx


−1

Im
a
Z
−a
f (x)ψ
+
(x, µ
2k
)dx


2
[α(µ
2k+1
) − α(µ
2k
)].
Bu tеnglikda Stiltеs intеgralining ta’rifini inоbatga оlib, N → ∞ da limitga
o‘tsak, ushbu
∞
Z
−∞
f
2
(x)dx =
1
π
Z
E


π
Z
0
|ψ
+
(x, λ)|
2
dx


−1

Re
a
Z
−a
f (x)ψ
+
(x, λ)dx


2
dα(λ)+
+
1
π
Z
E


π
Z
0
|ψ
+
(x, λ)|
2
dx


−1

Im
a
Z
−a
f (x)ψ
+
(x, λ)dx


2
dα(λ)
(2.4.16)
tеnglik kеlib chiqadi. Bu yеrda
E = {λ : −2 ≤ ∆(λ) ≤ 2} = [λ
0
, λ
1
] ∪ [λ
2
, λ
3
] ∪ ... ∪ [λ
2n
, λ
2n+1
] ∪ ... .
(2.4.16) tеnglikni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
∞
Z
−∞
f
2
(x)dx =
1
π
Z
E


π
Z
0
|ψ
+
(x, λ)|
2
dx


−1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∞
Z
−∞
f (x)ψ
+
(x, λ)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
dα(λ).
125

Agar (2.4.10) fоrmuladan fоydalansak, Parsеval tеngligi hоsil bo‘ladi:
∞
Z
−∞
f
2
(x)dx =
1
π
Z
E
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∞
Z
−∞
f (x)ψ
+
(x, λ)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
s(π, λ)
p
4 − ∆
2
(λ)
dλ.
(2.4.17)
Analitik ildizning arifmеtik ildiz оrqali yozilgan ifоdasini ishlatsak, Parsеval tеng-
ligi quyidagi ko‘rinishni оladi:
∞
Z
−∞
f
2
(x)dx =
1
π
∞
X
n=0
λ
4n+3
Z
λ
4n+2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∞
Z
−∞
f (x)ψ
+
(x, λ)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
s(π, λ)
|4 − ∆
2
(λ)|
1
2
dλ−
−
1
π
∞
X
n=0
λ
4n+1
Z
λ
4n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
∞
Z
−∞
f (x)ψ
+
(x, λ)dx
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
s(π, λ)
|4 − ∆
2
(λ)|
1
2
dλ.
(2.4.18)
Parseval tengligidan foydalanib, berilgan ∀ f (x) ∈ C
∞
0
(−∞, +∞) finit funksiyani
Floke yechimlari bo‘yicha Furye integraliga yoyish mumkin:
f (x) =
1
π
Z
E
s(π, λ)
p
4 − ∆
2
(λ)
F (λ)ψ
+
(x, λ)dλ.
(2.4.19)
Bu yerda
F (λ) =
∞
Z
−∞
f (x)ψ
+
(x, λ) dλ.
(2.4.20)
Xususan, q(x) = 0 bo‘lgan holda
ψ
±
(x, λ) = e
±i
√
λ x
,
s(π, λ)
p
4 − ∆
2
(λ)
=
1
2
√
λ
,
bo‘lgani uchun (2.4.19)+(2.4.20) yoyilma formulasi quyidagi ko‘rinishni oladi:
f (x) =
1
π
∞
Z
0



+∞
Z
−∞
f (x)e
−i
√
λ x
dx



e
i
√
λ x
dλ
2
√
λ
.
5-§. Floke yechimining yana bir ko‘rinishi
Ushbu
Ly ≡ −y
00
+ q(x)y = λy,
x ∈ R
(2.5.1)
Xill tenglamasini qaraylik. Bu yerda q(x)- haqiqiy, uzluksiz, πdavrli funksiya.
Agar (2.5.1) differensial tenglamaning c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0 va s(0, λ) = 0,
126

s
0
(0, λ) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini mos ravishda
c(x, λ) va s(x, λ) orqali belgilasak, u holda Xill tenglamasining
ψ
±
(x, λ) = c(x, λ) + m
±
(λ)s(x, λ)
(2.5.2)
Veyl (Floke) yechimlari shu bobning birinchi paragrafida o‘rganilgan edi. Bunda
m
±
(λ) =
s
0
(π, λ) − c(π, λ)
2s(π, λ)
∓ i
p
4 − ∆
2
(λ)
2s(π, λ)
,
(2.5.3)
∆(λ) = c(π, λ) + s
0
(π, λ).
Shu bilan bir qatorda quyidagi
−y
00
+ q(x + t)y = λy, x ∈ R, t ∈ R
(2.5.4)
siljitilgan argumentli Xill tenglamasining c(0, λ, t) = 1, c
0
(0, λ, t) = 0 va
s(0, λ, t) = 0, s
0
(0, λ, t) = 1 bоshlang‘ich shartlarni qanоatlantiruvchi yechim-
larini mos ravishda c(x, λ, t) va s(x, λ, t) orqali belgilaymiz.
Lemma 2.5.1. Quyidagi
c(π, λ, t) = c(π, λ)c(t, λ)s
0
(t, λ) + c
0
(π, λ)s(t, λ)s
0
(t, λ)−
−s(π, λ)c(t, λ)c
0
(t, λ) − s
0
(π, λ)s(t, λ)c
0
(t, λ)
(2.5.5)
s(π, λ, t) = s(π, λ)c
2
(t, λ) + [s
0
(π, λ) − c(π, λ)]s(t, λ)c(t, λ)−
−c
0
(π, λ)s
2
(t, λ)
(2.5.6)
c
0
(π, λ, t) = −s(π, λ)c
02
(t, λ) − [s
0
(π, λ) − c(π, λ)]c
0
(t, λ)s
0
(t, λ)+
+c
0
(π, λ)s
02
(t, λ)
(2.5.7)
s
0
(π, λ, t) = −c(π, λ)s(t, λ)c
0
(t, λ) − c
0
(π, λ)s(t, λ)s
0
(t, λ)+
+s(π, λ)c(t, λ)c
0
(t, λ) + s
0
(π, λ)c(t, λ)s
0
(t, λ)
(2.5.8)
ayniyatlar o‘rinli.
Isbot. Ushbu
½
c(t + π, λ) = c(π, λ)c(t, λ) + c
0
(π, λ)s(t, λ),
s(t + π, λ) = s(π, λ)c(t, λ) + s
0
(π, λ)s(t, λ),
½
c(x, λ, t) = s
0
(t, λ)c(x + t, λ) − c
0
(t, λ)s(x + t, λ),
s(x, λ, t) = −s(t, λ)c(x + t, λ) + c(t, λ)s(x + t, λ),
formulalar bizga birinchi bobdan ma’lum. Bu formulalarga ko‘ra
c(π, λ, t) = s
0
(t, λ)[c(π, λ)c(t, λ) + c
0
(π, λ)s(t, λ)]−
−c
0
(t, λ)[s(π, λ)c(t, λ) + s
0
(π, λ)s(t, λ)] = c(π, λ)c(t, λ)s
0
(t, λ)+
+c
0
(π, λ)s(t, λ)s
0
(t, λ) − s(π, λ)c(t, λ)c
0
(t, λ) − s
0
(π, λ)s(t, λ)c
0
(t, λ).
127

s(π, λ, t) = −s(t, λ)[c(π, λ)c(t, λ) + c
0
(π, λ)s(t, λ)]+
+c(t, λ)[s(π, λ)c(t, λ) + s
0
(π, λ)s(t, λ)] = s(π, λ)c
2
(t, λ)+
+[s
0
(π, λ) − c(π, λ)]s(t, λ)c(t, λ) − c
0
(π, λ)s
2
(t, λ).
s
0
(π, λ, t) = −s(t, λ)[c(π, λ)c
0
(t, λ) + c
0
(π, λ)s
0
(t, λ)]+
+c(t, λ)[s(π, λ)c
0
(t, λ) + s
0
(π, λ)s
0
(t, λ)] =
= −c(π, λ)s(t, λ)c
0
(t, λ) − c
0
(π, λ)s(t, λ)s
0
(t, λ)+
+s(π, λ)c(t, λ)c
0
(t, λ) + s
0
(π, λ)c(t, λ)s
0
(t, λ).
c
0
(π, λ, t) = s
0
(π, λ)[c(π, λ)c
0
(t, λ) + c
0
(π, λ)s
0
(t, λ)]−
−c
0
(t, λ)[s(π, λ)c
0
(t, λ) + s
0
(π, λ)s
0
(t, λ)] =
= −s(π, λ)c
02
(t, λ) − [s
0
(π, λ) − c(π, λ)]c
0
(t, λ)s
0
(t, λ) + c
0
(π, λ)s
02
(t, λ).
Lemma 2.5.2. Ushbu
s(π, λ)ψ
+
(t, λ)ψ
−
(t, λ) = s(π, λ, t),
(2.5.9)
s(π, λ)ψ
0
+
(t, λ)ψ
0
−
(t, λ) = −c
0
(π, λ, t)
(2.5.10)
ayniyatlar o‘rinli.
Isbot. Veyl yechimlarining (2.5.2), (2.5.3) ko‘rinishlaridan foydalanib,
quyidagi ko‘paytmani hisoblaymiz:
s(π, λ)ψ
+
(t, λ)ψ
−
(t, λ) = s(π, λ)
Ã
c(t, λ) +
s
0
(π, λ) − c(π, λ) −
p
∆
2
(λ) − 4
2s(π, λ)
s(t, λ)
!
×
×
Ã
c(t, λ) +
s
0
(π, λ) − c(π, λ) +
p
∆
2
(λ) − 4
2s(π, λ)
s(x, λ)
!
=
= s(π, λ)
µ
c(t, λ) +
s
0
(π, λ) − c(π, λ)
2s(π, λ)
s(t, λ)
¶
2
−s(π, λ)
Ãp
∆
2
(λ) − 4
2s(π, λ)
s(x, λ)
!
2
=
= s(π, λ)c
2
(t, λ) + [s
0
(π, λ) − c(π, λ)]s(t, λ)c(t, λ) − c
0
(π, λ)s
2
(t, λ)
(2.5.11)
Agar (2.5.6) va (2.5.11) tengliklarni taqqoslasak, (2.5.9) ayniyatni olamiz.
Xuddi yuqoridagidek qilib, quyidagi
s(π, λ)ψ
0
+
(t, λ)ψ
0
−
(t, λ) = s(π, λ)
µ
c
0
(t, λ) +
s
0
(π,λ)−c(π,λ)−
√
∆
2
(λ)−4
2s(π,λ)
s
0
(t, λ)
¶
×
×
µ
c
0
(t, λ) +
s
0
(π,λ)−c(π,λ)+
√
∆
2
(λ)−4
2s(π,λ)
s
0
(t, λ)
¶
=
= s(π, λ)
³
c
0
(t, λ) +
s
0
(π,λ)−c(π,λ)
2s(π,λ)
s
0
(π, λ)
´
2
− s(π, λ)
µ√
∆
2
(λ)−4
2s(π,λ)
s
0
(t, λ)
¶
2
=
128

= s(π, λ)c
02
(t, λ) + [s
0
(π, λ) − c(π, λ)]c
0
(t, λ)s
0
(t, λ) − c
0
(π, λ)s
02
(t, λ) (2.5.12)
munosabatni keltirib chiqaramiz. Agar (2.5.7) va (2.5.12) tengliklarni taqqoslasak,
(2.5.10) ayniyat hosil bo‘ladi.
Teorema 2.5.1. Xill tenglamasining ψ
±
(t, λ) Veyl (Floke) yechimlari uchun
ushbu
ψ
±
(t, λ) =
s
s(π, λ, t)
s(π, λ)
exp



∓i
t
Z
0
p
4 − ∆
2
(λ)
2s(π, λ, τ )
dτ



(2.5.13)
tasvirlar o‘rinli.
Isbot. Ushbu
ψ
0
+
(t, λ)
ψ
+
(t, λ)
= m(λ, t)
(2.5.14)
belgilashni kiritamiz. U holda
m(λ, t) =
c
0
(t, λ) + m
+
(λ)s
0
(t, λ)
c(t, λ) + m
+
(λ)s(t, λ)
(2.5.15)
bo‘lib,
m(λ, 0) = m
+
(λ), m
+
(λ) =
s
0
(π, λ) − c(π, λ)
2s(π, λ)
− i
p
4 − ∆
2
(λ)
2s(π, λ)
(2.5.16)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Avvalo, m(λ, t) funksiyani ushbu m(λ, t) = m
1
(λ, t) +
im
2
(λ, t), i =
√
−1 ko‘rinishda yozib va yuqoridagi lemma 2.5.1 dan foydalanib,
uning m
1
(λ, t)-haqiqiy, m
2
(λ, t)-mavhum qismlarini topamiz:
m
1
(λ, t) =
s
0
(π, λ, t) − c(π, λ, t)
2s(π, λ, t)
,
(2.5.17)
m
2
(λ, t) = −
p
4 − ∆
2
(λ)
2s(π, λ, t)
.
(2.5.18)
So‘ngra (2.5.14) tenglikdan
ψ
+
(t, λ) = exp



t
Z
0
m(τ, λ)dτ



(2.5.19)
tenglikni hosil qilamiz. Buni (2.5.1) tenglamaga qo‘ysak
m
0
+ m
2
= q(t) − λ, m = m(λ, t), λ ∈ R
Rikkati tenglamasi kelib chiqadi. Oxirgi tenglamani haqiqiy va mavhum qismlar-
ini ajratib, ushbu
m
1
(λ, t) = −
1
2
d
dt
(ln m
2
(t, λ))
(2.5.20)
129

munosabatni topib olamiz. Bundan foydalanib, (2.5.19) tenglikdan
ψ
+
(t, λ) = exp
½
t
R
0
m
1
(τ, λ)dτ
¾
exp
½
i
t
R
0
m
2
(τ, λ)dτ
¾
=
= exp
½
t
R
0
£
−
1
2
d
dτ
(ln m
2
(τ, λ))
¤
dτ
¾
exp
½
i
t
R
0
m
2
(τ, λ)dτ
¾
=
=
s
m
2
(0, λ)
m
2
(t, λ)
exp



i
t
Z
0
m
2
(τ, λ)dτ



(2.5.21)
formulani keltirib chiqaramiz. Oxirgi tenglikni (2.5.17) va (2.5.18) munos-
abatlardan foydalanib, quyidagicha yozish mumkin:
ψ
+
(t, λ) =
v
u
u
u
u
t
√
4−∆
2
(λ)
2s(π,λ)
√
4−∆
2
(λ)
2s(π,λ,t)
exp



−i
t
Z
0
p
4 − ∆
2
(λ)
2s(π, λ, t)
dτ



=
=
s
s(π, λ, t)
s(π, λ)
exp



−i
t
Z
0
p
4 − ∆
2
(λ)
2s(π, λ, t)
dτ



.
(2.5.22)
Floke yechimining (2.5.22) ko‘rinishiga (2.5.9) ayniyatni qo‘llasak,
ψ
+
(t, λ) =
p
ψ
+
(t, λ)ψ
−
(t, λ) exp



−i
t
Z
0
p
4 − ∆
2
(λ)
2s(π, λ)ψ
+
(τ, λ)ψ
−
(τ, λ)
dτ



(2.5.23)
formula kelib chiqadi.
Yuqoridagi hisoblashlardan ko‘rinadiki, (2.5.4) siljigan argumentli Xill
tenglamasining m
±
(λ, t)-Veyl-Titchmarsh funksiyasi uchun ushbu
m
±
(λ, t) =
s
0
(π, λ, t) − c(π, λ, t)
2s(π, λ, t)
∓ i
p
4 − ∆
2
(λ)
2s(π, λ, t)
(2.5.24)
tenglik o‘rinli bo‘lar ekan.
Endi (2.5.4) siljigan argumentli Xill tenglamasining q(x + t) potensiali N-
zonali bo‘lgan holni qaraylik. Bu holda shu bobning uchinchi paragrafidagi mu-
lohazalarga asoslanib, quyidagi
1
4
[4