Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

σ(H) spektrning chetki nuqtalari, jumladan
λ
0
, λ
3
, λ
4
, λ
7
, λ
8
...λ
4n−1
, λ
4n
, ...sonlar ushbu
½
−y
00
+ q(x)y = λy,
0 ≤ x ≤ π,
y(0) = y(π), y
0
(0) = y
0
(π)
(4.1.3)
davriy chegaraviy masalaning, λ
1
, λ
2
, λ
5
, λ
6
, ...λ
4n+1
, λ
4n+2
, ... sonlar esa quyidagi
½
−y
00
+ q(x)y = λy,
0 ≤ x ≤ π,
y(0) = −y(π), y
0
(0) = −y
0
(π)
(4.1.4)
yarimdavriy chegaraviy masalaning xos qiymatlaridan iborat bo‘lishi mazkur
qo‘llanmaning oldingi boblarida bayon qilingan edi. Bundan tashqari Veyl-
Titchmarsh funksiyasining ifodasidan kelib chiqib, (4.1.1) Xill tenglamasining
spektral parametrlari ta’riflangan edi.
178

Ushbu s(π, λ) = 0 tenglamaning ildizlarini, ya’ni Veyl-Titchmarsh funksiyasi
maxrajining nollarini ξ
n
, n = 1, 2, ... orqali belgilaymiz. Bu sonlar quyidagi
Dirixle masalasining xos qiymatlari bilan ustma-ust tushadi:
½
−y
00
+ q(x)y = λy,
y(0) = 0, y(π) = 0.
(4.1.5)
Bundan tashqari λ
2n−1
≤ ξ
n
≤ λ
2n
, n = 1, 2, ... munosabatlarning bajarilishi
ham oldingi paragraflarda ko‘rsatilgan edi.
Ta’rif 4.1.1. Ushbu ξ
n
, n = 1, 2,
... sonlar ketma-ketligi va σ
n
≡
sign{s
0
(π, ξ
n
) − c(π, ξ
n
)} = ±1, n = 1, 2, ... ishoralar ketma-ketligiga (4.1.1)
Xill tenglamasining (H opetatorning) spektral parametrlari deyiladi.
Izox 4.1.1. Agar ξ
n
= λ
2n−1
yoki ξ
n
= λ
2n
bo‘lsa, ya’ni spektral parametr
o‘z lakunasining chetida joylashgan bo‘lsa, u xolda s
0
(π, ξ
n
)−c(π, ξ
n
) = 0 bo‘ladi.
Bu xolda aniqlik uchun σ
n
= 1 deb qabul qilamiz.
Ta’rif 4.1.2. Spektrning chetki nuqtalari λ
n
, n = 0, 1, 2, ... va spektral
parametrlardan tashkil topgan {λ
n−1
, ξ
n
, σ
n
= ±1, n ≥ 1} to‘plamga (4.1.1)
Xill tenglamasining (H opetatorning) spektral berilganlari deyiladi.
Berilgan q(x) potentsial bo‘yicha (4.1.1) Xill tenglamasining spektral beril-
ganlarini topishga to‘g‘ri masala, aksincha, H operatorning spektral berilganlari
orqali q(x) potentsialni aniqlash masalasiga teskari spektral masala deyiladi.
Teorema 4.1.1. Xill operatorining q(x)- potensiali o‘zining {λ
n−1
, ξ
n
, σ
n
=
±1, n ≥ 1} spektral berilganlari orqali bir qiymatli aniqlanadi. Bu yerda ξ
n
∈
[λ
2n−1
, λ
2n
], n ≥ 1.
Isbot. (4.1.1) tenglamaning c(x, λ) va s(x, λ) yechimlaridan tuzilgan Vron-
skiy determinanti uchun
c(x, λ)s
0
(x, λ) − c
0
(x, λ)s(x, λ) = 1
(4.1.6)
o‘rinli. Bunda λ = ξ
n
, x = π desak, undan
c(π, ξ
n
) · s
0
(π, ξ
n
) = 1
kelib chiqadi. λ = ξ
n
nuqtadagi Lyapunov funksiyasining qiymati uchun
∆(ξ
n
) = c(π, ξ
n
) + s
0
(π, ξ
n
) = s
0
(π, ξ
n
) +
1
s
0
(π, ξ
n
)
(4.1.7)
tenglikni hosil qilamiz. Bundan
s
02
(π, ξ
n
) − ∆(ξ
n
)s
0
(π, ξ
n
) + 1 = 0
·
s
0
(π, ξ
n
) −
1
2
∆(ξ
n
)
¸
2
=
∆
2
(ξ
n
) − 4
4
(4.1.8)
179

kelib chiqadi. (4.1.7) tenglikka asosan
s
0
(π, ξ
n
) −
1
2
∆(ξ
n
) =
1
2
[s
0
(π, ξ
n
) − (π, ξ
n
)]
bo‘ladi. (4.1.8) kvadrat tenglamani yechib
s
0
(π, ξ
n
) =
1
2
∆(ξ
n
) +
1
2
σ
n
p
∆
2
(ξ
n
) − 4
(4.1.9)
topamiz. Bu yerda σ
n
= sign[s
0
(π, ξ
n
) − c(π, ξ
n
)].
Endi (4.1.5) Dirixle chegaraviy masalasining α
n
- normollovchi o‘zgarmaslar
ketma-ketligini ushbu
α
n
≡
π
Z
0
s
2
(x, ξ
n
)dx = ˙s(π, ξ
n
) · s
0
(π, ξ
n
)
(4.1.10)
formuladan foydalanib topish mumkin.
Quyidagi
s(π, λ) = π
∞
Y
k=1
ξ
k
− λ
k
2
∆(λ) − 2 = π
2
(λ
0
− λ)
∞
Y
k=1
(λ
4k−1
− λ)(λ
4k
− λ)
(2k)
4
cheksiz ko‘paytmalar yordamida ˙s(π, ξ
n
) va ∆(ξ
n
) larni topamiz:
˙s(π, ξ
n
) = −
π
n
2
∞
Y
k=1
k6=n
ξ
k
− ξ
n
k
2
,
∆(ξ
n
) = 2 + π
2
(λ
0
− ξ
n
)
∞
Y
k=1
(λ
4k−1
− ξ
n
)(λ
4k
− ξ
n
)
(2k)
4
Endi s
0
(π, ξ
n
) ni (4.1.9) formuladan topish mumkin. Demak, teorema 4.1.1 shart-
lari bajarilganda, (4.1.5) Dirixle chegaraviy masalasining ξ
n
- xos qiymatlari va α
n
normollovchi o‘zgarmaslari ma’lum bo‘ladi. V.A.Marchenkoning yagonalik teore-
masiga asosan q(x)- potensial [0, π] kesmada yagona aniqlanadi.
Shunday qilib Xill operatori spektri E ning chetki nuqtalari λ
j
, j ≥ 0 va
spektral parametrlari, ya’ni {ξ
n
, σ
n
}
∞
n=1
lar yordamida topilgan q(x) ∈ L
2
[0, π]
potensialni q(x) = q(x + π), x ∈ R
1
haqiqiy sonlar o‘qiga davriy davom qildirish
mumkin.
Demak, berilgan [λ
2n−1
, λ
2n
] lakunalardan olingan ixtiyoriy ξ
n
va ixtiyoriy
tanlangan σ
n
= ±1 ishoralar ketma-ketligi uchun (4.1.1) ko‘rinishdagi Xill
tenglamasi mavjud ekan.
180

Endi bunday topilgan (4.1.1) ko‘rinishdagi Xill tenglamasining ˜
∆(λ) Lya-
punov funksiyasi avvalgi ∆(λ) ga tengligini, ya’ni
˜
∆(λ) = ∆(λ)
ko‘rsatamiz.
Yuqoridagi (4.1.9) formula bilan bir qatorda, ushbu
s
0
(π, ξ
n
) =
1
2
˜
∆(ξ
n
) +
1
2
σ
n
q
˜
∆
2
(ξ
n
) − 4
tenglama ham o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikdan
˜
∆(ξ
n
) =
s
02
(π, ξ
n
) + 1
s
0
(π, ξ
n
)
kelib chiqadi. O‘z navbatida (4.1.9) formuladan
∆(ξ
n
) =
s
02
(π, ξ
n
) + 1
s
0
(π, ξ
n
)
topamiz. Shuning uchun ushbu
˜
∆(ξ
n
) = ∆(ξ
n
), n = 1, 2, 3, ...
tenglik bajariladi.
Quyidagi
∆(λ) = 2 cos
√
λπ + f (λ),
˜
∆(λ) = 2 cos
√
λπ + ˜
f (λ)
belgilashlarni kiritib olamiz. Bu yerda f (λ) va ˜
f (λ) lar butun analitik funksiyalar
bo‘lib
f (λ) = O
Ã
e
π
√
|λ|
p
|λ|
!
,
˜
f (λ) = O
Ã
e
π
√
|λ|
p
|λ|
!
baholarni va f (ξ
n
) = ˜
f (ξ
n
), n ∈ N tenglikni qanoatlantiradi. Butun funksiyalar
[145] haqidagi teoremalardan ∆(λ) ≡ ˜
∆(λ) ekanligi kelib chiqadi.
Endi quyidagi
˜
Hy ≡ −y
00
+ ˜
q(x)y = λy,
x ∈ R
(4.1.11)
Xill tenglamasini qaraylik. Bu yerda
˜
q(x + π) = ˜
q(x), ˜
q(x) ∈ L
2
[0, π]
Ushbu
˜
λ
0
< ˜
λ
3
≤ ˜
λ
4
< ˜
λ
7
≤ ... < ˜
λ
4n−1
≤ ˜
λ
4n
< ...
(4.1.12)
˜
λ
1
≤ ˜
λ
2
< ˜
λ
5
≤ ˜
λ
6
< ˜
λ
9
≤ ... < ˜
λ
4n+1
≤ ˜
λ
4n+2
< ...
(4.1.13)
181

haqiqiy sonlar ketma-ketligi mos ravishda davriy



−y
00
+ ˜
q(x)y = λy, 0 ≤ x ≤ π
y(0) = y(π)
y
0
(0) = y
0
(π)
(4.1.14)
va yarimdavriy



−y
00
+ ˜
q(x)y = λy, 0 ≤ x ≤ π
y(0) = −y(π)
y
0
(0) = −y
0
(π)
(4.1.15)
chegaraviy masalalarning xos qiymatlaridan iborat bo‘lsin. U holda (4.1.12) va
(4.1.13) ketma-ketliklar mos ravishda ˜
∆(λ) ∓ 2 butun funksiyaning nollaridan ib-
orat bo‘lishi ravshan. Bu yerda ˜
∆(λ) = ˜c(π, λ)+ ˜
s
0
(π, λ) - (3.1.11) tennglamaning
Liyapunov funksiyasi. ˜c(x, λ) va ˜
s(x, λ) funksiyalar esa (4.1.11) tenglamaning
˜c(0, λ) = 1, ˜
c
0
(0, λ) = 0; ˜
s(0, λ) = 0,
˜
s
0
(0, λ) = 1
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlari.
Teorema 4.1.2. Agar (4.1.3) va (4.1.14) davriy chegaraviy masalalarning
spektrlari o‘zaro teng, ya’ni
˜
λ
0
= λ
0
, ˜
λ
4j−1
= λ
4j−1
, j = 1, 2, 3, ...
(4.1.16)
bo‘lsa, u holda H va ˜
H Xill operatorlarining spektrlari ham o‘zaro teng, ya’ni
σ(H) ≡ E =
n
λ ∈ R
1
: −2 ≤ ∆(λ) ≤ 2
o
=
= σ( ˜
H) ≡ ˜
E =
n
λ ∈ R
1
: −2 ≤ ˜
∆(λ) ≤ 2
o
bo‘ladi.
Isbot. Berilgan {λ
0
, λ
4j−1
}
∞
j=1
va
n
˜
λ
0
, ˜
λ
4j−1
o
∞
j=1
xos qiymatlar yordamida
(4.1.1) va (4.1.11) Xill tenglamalarining Liyapunov funksiyalarini topish mumkin:
∆(λ) − 2 = π
2
(λ
0
− λ)
∞
Q
j=1
(λ
4j−1
−λ)(λ
4j
−λ)
(2j)
4
,
˜
∆(λ) − 2 = π
2
(˜
λ
0
− λ)
∞
Q
j=1
(˜
λ
4j−1
−λ)(˜
λ
4j
−λ)
(2j−1)
4
.
(4.1.17)
Teorema shartiga, ya’ni (4.1.16) ga asosan
∆(λ
0
) = ˜
∆(λ
0
) , ∆(λ
4j−1
) = ˜
∆(λ
4j−1
) , j = 1, 2, 3, ...
tengliklar bajariladi.
Ushbu
f (λ) =
∆(λ) − 2
˜
∆(λ) − 2
182

funksiyani tuzib olamiz. Aniqlanishiga ko‘ra f (λ), λ- o‘zgaruvchiga nisbatan bu-
tun funksiya bo‘ladi. Lyapunov funksiyasining ushbu
∆(λ) = 2 cos π
√
λ + O(
e|
Im
√
λ
|
π
√
λ
), λ → ∞
˜
∆(λ) = 2 cos π
√
λ + O(
e|
Im
√
λ
|
π
√
λ
), λ → ∞
∆(λ)∼2chπ
p
|λ|, λ → −∞
ˆ
∆(λ)∼2chπ
p
|λ|, λ → −∞
asimtotikalaridan foydalanib
lim
λ→−∞
f (λ) = 1
topamiz. f (λ), λ ∈ C chegaralangan funksiya bo‘lgani uchun Liuvill teoremasiga
ko‘ra, u o‘zgarmasdir, ya’ni
f (λ) ≡ k = const.
Bundan k = 1 kelib chiqadi. Demak
f (λ) = 1, ∆(λ) = ˜
∆(λ).
Teorema isbot bo‘ldi.
2-§. Dubrovin-Trubovis differensial tenglamalar sistemasi
Shu bobning birinchi paragrafida o‘rganilgan fikrlarga tayanib, ushbu
Hy ≡ −y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ R.
(4.2.1)
Xill tenglamasining {λ
n−1
, ξ
n
, σ
n
= ±1, n ≥ 1} spektral berilganlarini ma’lum
deb qaraymiz. Bu yerda q(x) - haqiqiy, π davrli funksiya bo‘lib
q(x + π) = q(x), x ∈ R, q(x) ∈ L
2
(0, π)
shartni qanoatlantiradi. Bundan tashqari λ
j
, j ≥ 0 haqiqiy sonlar H operator
spektrining, ya’ni
σ(H) ≡ E =
∞
[
j=0
[λ
2j
, λ
2j+1
]
chetki nuqtalaridan iborat.
Ushbu (−∞, λ
0
), (λ
1
, λ
2
), ..., (λ
2j−1
, λ
2j
), ... intervallar esa (4.2.1) Xill
tenglamasining lakunalaridan, ξ
j
, j ≥ 1 haqiqiy sonlar (4.2.1) tenglamaga
183

qo‘yilgan Dirixle (y(0) = 0, y(π) = 0) chegaraviy masalasining xos qiymat-
laridan iborat bo‘lib
λ
2j−1
≤ ξ
j
≤ λ
2j
, j = 1, 2, 3, ...
tengsizlikni qanoatlantiradi. σ
n
= ±1, n ≥ 1 berilgan ishoralar ketma-ketligi.
Teskari masalani yechishda siljitilgan argumentli
H(t)y ≡ −y
00
+ q(x + t)y = λy, x ∈ R
1
(4.2.2)
Xill tenglamasi muhim o‘rin egallaydi. Bu erda t haqiqiy qiymatlar qabul qilu-
vchi parametr. θ(x, λ, t) va ϕ(x, λ, t) orqali (4.2.2) tenglamaning θ(0, λ, t) = 1,
θ
0
(0, λ, t) = 0 va ϕ(0, λ, t) = 0, ϕ
0
(0, λ, t) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoat-
lantiruvchi yechimlarini belgilaymiz. Bu holda, (4.2.2) tenglamaning ∆(λ, t) =
θ(π, λ, t) + ϕ
0
(π, λ, t) Liyapunov funksiyasi t parametrga bog‘liq bo‘lmasligini
birinchi bobning uchunchi paragrafida ko‘rsatgan edik, xususan bunga muvofiq,
H(t) Xill operatorining σ(H(t)) spektri, H operatorning σ(H) = E spektridan
iborat bo‘lar edi, ya’ni σ(H(t)) =
∞
S
j=0
[λ
2j
, λ
2j+1
].
Endi siljigan argumentli (4.2.2) Xill tenglamasining spektral parametrlari-
ni ξ
n
(t), σ
n
(t) = ±1, n = 1, 2, ... orqali belgilaymiz. Bu yerda ξ
n
(t), n ≥ 1
orqali (4.2.2) tenglamaga qo‘yilgan Dirixle (y(0, t) = 0, y(π, t) = 0) chegaraviy
masalaning xos qiymatlari belgilangan. Yuqoridagi mulohazalarimizga asosan, t
parametrning istalgan qiymatida ξ
n
(t) ∈ [λ
2n−1
, λ
2n
],
n = 1, 2, ... munos-
abatlar bajariladi. Ushbu q(x + t + π) ≡ q(x + t) ayniyatdan ξ
n
(t + π) = ξ
n
(t),
σ
n
(t + π) = σ
n
(t) kelib chiqishi, ya’ni ξ
n
(t), σ
n
(t) spektral parametrlarning π-
davrli bo‘lishi ravshan.
Agar t parametr siljitilsa, umuman olganda ξ
n
(t) nuqta ham [λ
2n−1
, λ
2n
]
kesmada siljiydi. Bu nuqta harakatlanib, lakunaning chetiga kelganidagina
harakat yo‘nalishini o‘zgartirishini, lakunani to‘liq qoplashini va hech bir nuq-
tada to‘xtab qolmasligini ham birinchi bobning uchunchi paragrafida ko‘rsatgan
edik. Shuning uchun yuqorida zikr etilgan tasdiqlarning ayrimlarini isbotsiz bayon
qilamiz.
Lemma 4.2.1. Quyidagi tengliklar o‘rinli
˙
ϕ(π, λ, t) = ϕ
0
(π, λ, t) − θ(π, λ, t),
(4.2.3)
˙θ
0
(π, λ, t) = [λ − q(t)][ϕ
0
(π, λ, t) − θ(π, λ, t)],
(4.2.4)
˙
ϕ
0
(π, λ, t) − ˙θ(π, λ, t) = −2[λ − q(t)]ϕ(π, λ, t) − 2θ
0
(π, λ, t).
(4.2.5)
Bu yerda shtrix orqali x bo‘yicha xususiy hosila, nuqta orqali esa t bo‘yicha
xususiy hosila belgilangan.
184

Lemma 4.2.2. Agar ξ
n
(t) spektral parametr t ga bog‘liq bo‘lmasa, u holda
uning lakunasi yopiq bo‘ladi, ya’ni λ
2n−1
= λ
2n
bo‘ladi.
Izox 4.2.1. Agar ξ
n
(t),n = 1, 2, ... spektral parametr t ga biror (t
1
, t
2
)
oraliqda bog‘liq bo‘lmasa ham, lemma 4.2.2 o‘z kuchini saqlaydi, ya’ni bu holda
ham uning lakunasi yopiq bo‘ladi.
Lemma 4.2.3. Agar ˙ξ
n
(t
0
) = 0 bo‘lsa, yoki ξ
n
(t
0
) = λ
2n−1
, yoki ξ
n
(t
0
) = λ
2n
bo‘ladi.
Lemma 4.2.4. Agar [λ
2n−1
, λ
2n
] lakuna yopiq bo‘lmasa, ya’ni λ
2n−1
< λ
2n
bo‘lsa, u holda ξ
n
(t) funksiyaning qiymatlar to‘plami [λ
2n−1
, λ
2n
] kesmadan iborat
bo‘ladi.
Izox 4.2.2. ξ
n
(t),n = 1, 2, ... spektral parametrning harakatini quyidagicha
tasavvur qilgan ma’qul. [