Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

λ
2n
− ξ
n
(t)) =
1
2
(λ
2n
− λ
2n−1
)|sin 2x
n
(t)|.
tengliklarni topamiz. Bu ifodalarni (4.3.1) tenglamaga qo‘yib
˙x
n
(t) = (−1)
n−1
σ
n
(t) · sign{sin x
n
(t) cos x
n
(t)} · h
n
(ξ), n = 1, 2, ... . (4.3.4)
tenglikni hosil qilish mumkin.
Bu yerda ushbu
h
n
(ξ) = h
n
(ξ
1
, ξ
2
, ... ) =
v
u
u
t(ξ
n
− λ
0
)
∞
Y
k=1
k6=n
(λ
2k−1
− ξ
n
)(λ
2k
− ξ
n
)
(ξ
k
− ξ
n
)
2
, n = 1, 2, ...
belgilashni kiritdik.
Agar biz ξ
n
(t) spektral parametr o‘z lakunasining chetiga kelganida σ
n
(t)
ishora bilan birgalikda sin x
n
(t) cos x
n
(t) ifodaning ishorasi ham qarama-
qarshisiga o‘zgarishini e’tiborga olsak, hamda boshlang‘ich shartlarni quyidagi
tarzda tanlasak,
x
n
(0) = x
0
n
= arcsin
s
ξ
0
n
− λ
2n−1
λ
2n
− λ
2n−1
, n = 1, 2, ... ,
(4.3.5)
u xolda σ
n
(t)sign{sin x
n
(t) cos x
n
(t)} = σ
n
(0) bo‘ladi. Buning natijasida, (4.3.4)
tenglamalar soddaroq ko‘rinishda yoziladi:
˙x
n
(t) = (−1)
n−1
σ
n
(0) · h
n
(ξ), n = 1, 2, ... .
(4.3.6)
Bu sistemaning o‘ng tomoniga (4.3.3) ifodalarni qo‘yadigan bo‘lsak, al-
mashtirishni to‘liq bajargan bo‘lamiz:
dx
n
(t)
dt
= H
n
(x
1
(t), x
2
(t), ...), n = 1, 2, ... .
(4.3.7)
Bu yerda
H
n
(x
1
, x
2
, ...) = (−1)
n−1
σ
n
(0)·h
n
(λ
1
+(λ
2
−λ
1
) sin
2
x
1
, λ
3
+(λ
4
−λ
3
) sin
2
x
2
, ...).
Yuqoridagi (4.3.5)+(4.3.7) Koshi masalasini tekshirish maqsadida quyidagi Ba-
nax fazosini kiritamiz:
K = { x = (x
1
, x
2
, ...) : x
n
∈ R
1
, kxk =
∞
X
n=1
(λ
2n
− λ
2n−1
)|x
n
| < ∞}.
191

Agar H(x) = (H
1
(x), H
2
(x), ...) belgilashni kiritib olsak, (4.3.7) Dubrovin-
Trubovis tenglamalar sistemasi K Banax fazosida bitta tenglama sifatida yoziladi:
dx
dt
= H(x).
(4.3.8)
Boshlang‘ich shartlarni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin
x(t)
¯
¯
t=0
= x
0
, x
0
∈ K.
(4.3.9)
Ma’lumki, K Banax fazosidagi y
0
= F (y), y(0) = y
0
Koshi masalasining
yechimi mavjud va yagona bo‘lishi uchun F (y) funksiya Lipshis shartini qanoat-
lantirishi yetarli, ya’ni
kF (x) − F (y)k ≤ constkx − yk , ∀ x, y ∈ K.
Shuning uchun H(x) funksiya K Banax fazosida Lipshis shartini qanoatlantirishi-
ni ko‘rsatamiz.
Avvalo, lakunalar ketma-ketligi chekli nuqtada gavjumlashmasligidan ham-
da ξ
n
∈ [λ
2n−1
, λ
2n
], n = 1, 2, ...
munosabatlardan foydalanib, ushbu
inf
k6=n
|ξ
n
− ξ
k
| ≥ a > 0 tengsizlikni olamiz. Bu tengsizlikdan foydalanib, |h
n
(ξ)|
va
¯
¯
¯
∂h
n
(ξ)
∂ξ
m
¯
¯
¯ funksiyalarni baholaymiz.
Lemma 4.3.1. Ushbu
C
1
|n| ≤ |h
n
(ξ)| ≤ C
2
|n|, n = 1, 2, ...
(4.3.10)
baholash o‘rinli. Bu yerda C
1
> 0 va C
2
> 0 o‘zgarmaslar n ga bog‘liq emas.
Isbot. Ushbu
C
0
1
· n
2
< |ξ
n
− λ
0
| < C
0
2
· n
2
(4.3.11)
baholash o‘rinli bo‘lishi ravshan. Bu yerda C
0
1
> 0 va C
0
2
> 0 o‘zgarmaslar n ga
bog‘liq emas. Quyidagi ketma-ketlikni qaraymiz
P
n
=
∞
Y
k=1
k6=n
(λ
2k−1
− ξ
n
)(λ
2k
− ξ
n
)
(ξ
k
− ξ
n
)
2
=
∞
Y
k=1
k6=n
µ
1 +
λ
2k−1
− ξ
k
ξ
k
− ξ
n
¶ µ
1 +
λ
2k
− ξ
k
ξ
k
− ξ
n
¶
va uni yuqoridan baholaymiz:
|P
n
| =
∞
Y
k=1
k6=n
¯
¯
¯
¯1 +
λ
2k−1
− ξ
k
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯1 +
λ
2k
− ξ
k
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≤
≤
∞
Y
k=1
k6=n
µ
1 +
¯
¯
¯
¯
λ
2k−1
− ξ
k
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯
¶ µ
1 +
¯
¯
¯
¯
λ
2k
− ξ
k
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯
¶
≤
192

≤
∞
Y
k=1
k6=n
µ
1 +
λ
2k
− λ
2k−1
a
¶
2
≤
∞
Y
k=1
µ
1 +
λ
2k
− λ
2k−1
a
¶
2
= C
00
2
.
(4.3.12)
Bu yerdagi C
00
2
> 0 o‘zgarmas n ga bog‘liq emasligi ko‘rinib turibdi.
Agar (4.3.11) va (4.3.12) baholashlarni o‘zaro ko‘paytirib, so‘ng kvadrat ildiz
chiqarsak, |h
n
(ξ)| ≤ C
2
|n| tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bu yerda C
2
=
p
C
0
2
C
00
2
.
Endi |h
n
(ξ)| ni quyidan baholaymiz. Buning uchun ushbu
M =
½
k ∈ N :
λ
2k
− λ
2k−1
a
≥ 1
¾
indekslar to‘plamini kiritib olamiz. Bu to‘plamda cheklita element bo‘ladi. P
n
=
A
n
· B
n
ko‘paytmadagi
A
n
=
∞
Q
k=1
k6=n
λ
2k−1
−ξ
n
ξ
k
−ξ
n
va B
n
=
∞
Q
k=1
k6=n
λ
2k
−ξ
n
ξ
k
−ξ
n
ko‘paytuvchilarni ko‘rib chiqamiz. A
n
ni
quyidagi tarzda yozib olamiz A
n
= A
n,1
· A
n,2
· A
n,3
. Bu yerda
A
n,1
=
∞
Y
k=1,k6=n
k /
∈M
λ
2k−1
− ξ
n
ξ
k
− ξ
n
, A
n,2
=
n−1
Y
k=1,
k∈M
λ
2k−1
− ξ
n
ξ
k
− ξ
n
, A
n,3
=
∞
Y
k=n+1,
k∈M
λ
2k−1
− ξ
n
ξ
k
− ξ
n
.
Agar k 6= n bo‘lib, k /
∈ M bo‘lsa, u holda
¯
¯
¯
¯
λ
2k−1
− ξ
k
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≤
λ
2k
− λ
2k−1
a
< 1,
−
¯
¯
¯
¯
λ
2k−1
− ξ
k
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≥ −
λ
2k
− λ
2k−1
a
> −1,
1 −
¯
¯
¯
¯
λ
2k−1
− ξ
k
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≥ 1 −
λ
2k
− λ
2k−1
a
> 0
bo‘lgani uchun
|A
n,1
| =
∞
Y
k=1,k6=n
k /
∈M
¯
¯
¯
¯
λ
2k−1
− ξ
n
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯ =
∞
Y
k=1,k6=n
k /
∈M
¯
¯
¯
¯1 +
λ
2k−1
− ξ
k
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≥
∞
Y
k=1,k6=n
k /
∈M
µ
1 −
¯
¯
¯
¯
λ
2k−1
− ξ
k
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯
¶
≥
≥
∞
Y
k=1,k6=n
k /
∈M
µ
1 −
λ
2k
− λ
2k−1
a
¶
>
∞
Y
k=1,
k /
∈M
µ
1 −
λ
2k
− λ
2k−1
a
¶
= C
00
1
o‘rinli bo‘ladi.
Agar 1 ≤ k ≤ n − 1 bo‘lib, k ∈ M bo‘lsa, u holda
|A
n,2
| =
n−1
Y
k=1,
k∈M
¯
¯
¯
¯
λ
2k−1
− ξ
n
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯ =
n−1
Y
k=1,
k∈M
ξ
n
− λ
2k−1
ξ
n
− ξ
k
=
n−1
Y
k=1,
k∈M
µ
1 +
ξ
k
− λ
2k−1
ξ
n
− ξ
k
¶
> 1.
193

Endi k ≥ n + 1 bo‘lib, k ∈ M bo‘lgan holni ko‘rib chiqamiz. ∆ = max
k≥1
(λ
2k
−
λ
2k−1
) belgilash kiritamiz va bu holni ikki qismga ajratamiz.
1-hol. k ≥ n + 1, k ∈ M bo‘lib, |ξ
k
− ξ
n
| ≤ 2∆ bo‘lsin. Bu holda
∞
Y
k=n+1,
k∈M ∗
¯
¯
¯
¯
λ
2k−1
− ξ
n
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯ >
∞
Y
k=n+1,
k∈M ∗
λ
2k−1
− λ
0
2k−1
2∆
≥
∞
Y
k=1,
k∈M
λ
2k−1
− λ
0
2k−1
2∆
.
Bu yerda λ
0
2k−1
son quyidagi shartlardan tanlanadi
max{λ
2k−2
, λ
2k−1
− 2∆} < λ
0
2k−1
< λ
2k−1
.
2-hol. k ≥ n + 1, k ∈ M bo‘lib, |ξ
k
− ξ
n
| > 2∆ bo‘lsin. Bu holda
ξ
k
− λ
2k−1
ξ
k
− ξ
n
<
ξ
k
− λ
2k−1
2∆
<
λ
2k
− λ
2k−1
2∆
<
1
2
,
−
ξ
k
− λ
2k−1
ξ
k
− ξ
n
> −
1
2
, 1 −
ξ
k
− λ
2k−1
ξ
k
− ξ
n
>
1
2
,
λ
2k−1
− ξ
n
ξ
k
− ξ
n
>
1
2
bo‘lgani uchun ushbu
∞
Y
k=n+1,
k∈M ∗∗
¯
¯
¯
¯
λ
2k−1
− ξ
n
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯ >
∞
Y
k=n+1,
k∈M ∗∗
1
2
>
∞
Y
k=1,
k∈M
1
2
baholash o‘rinli bo‘ladi.
Demak,
|A
n,3
| =
∞
Y
k=n+1,
k∈M
¯
¯
¯
¯
λ
2k−1
− ξ
n
ξ
k
− ξ
n
¯
¯
¯
¯ >
∞
Y
k=1,
k∈M
λ
2k−1
− λ
0
2k−1
4∆
= C
000
1
.
Olingan tengsizliklar natijasida ushbu
|A
n
| = |A
n,1
| · |A
n,2
| · |A
n,3
| > C
00
1
· 1 · C
000
1
= C
1,1
(4.3.13)
baholashni olamiz. Xuddi shu tarzda quyidagi baholash olinadi:
|B
n
| > C
1,2
.
(4.3.14)
Agar (4.3.11), (4.3.13) va (4.3.14) baholashlarni o‘zaro ko‘paytirib, so‘ng
kvadrat ildiz chiqarsak, C
1
|n| ≤ |h
n
(ξ)| tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bu yerda
C
1
=
p
C
0
1
· C
1,1
· C
1,2
.
Lemma 4.3.2. Ushbu
¯
¯
¯
¯
∂h
n
(ξ)
∂ξ
m
¯
¯
¯
¯ ≤ ‘|n|
(4.3.15)
baholash o‘rinli. Bu yerda C > 0 o‘zgarmas n ga ham m ga ham bog‘liq emas.
194

Isbot. Agar m 6= n bo‘lsa, u holda
2h
n
∂h
n
∂ξ
m
=
∂h
2
n
∂ξ
m
= −2(ξ
n
−λ
0
)·
(λ
2m−1
− ξ
n
)(λ
2m
− ξ
n
)
(ξ
m
− ξ
n
)
3
·
∞
Y
k=1
k6=n,m
(λ
2k−1
− ξ
n
)(λ
2k
− ξ
n
)
(ξ
k
− ξ
n
)
2
=
=
2h
2
n
ξ
n
− ξ
m
,
ya’ni
∂h
n
∂ξ
m
=
h
n
ξ
n
− ξ
m
bo‘ladi. Bunga asosan, agar m 6= n bo‘lgan holda quyidagi baholashga ega
bo‘lamiz:
¯
¯
¯
¯
∂h
n
(ξ)
∂ξ
m
¯
¯
¯
¯ =
|h
n
(ξ)|
|ξ
n
− ξ
m
|
≤
C
2
|n|
a
.
(4.3.16)
Endi
¯
¯
¯
∂h
n
(ξ)
∂ξ
n
¯
¯
¯ funksiyani baholaymiz. h
2
n
= (ξ
n
− λ
0
)P
n
bo‘lgani uchun ushbu
2h
n
∂h
n
∂ξ
n
=
∂h
2
n
∂ξ
n
= P
n
+ (ξ
n
− λ
0
)
∂P
n
∂ξ
n
(4.3.17)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ushbu
ln A
n
= ln
∞
Y
k=1
k6=n
µ
1 +
ξ
k
− λ
2k−1
ξ
n
− ξ
k
¶
=
∞
X
k=1
k6=n
ln
µ
1 +
ξ
k
− λ
2k−1
ξ
n
− ξ
k
¶
ayniyatdan hosila olsak,
∂A
n
∂ξ
n
= A
n
·
∞
X
k=1
k6=n
λ
2k−1
− ξ
k
(ξ
n
− λ
2k−1
)(ξ
n
− ξ
k
)
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikdan, |A
n
| ≤ ˜
C tengsizlikni e’tiborga olib, quyidagi
baholashni keltirib chiqaramiz:
¯
¯
¯
¯
∂A
n
∂ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≤ |A
n
| ·
∞
X
k=1
k6=n
|λ
2k−1
− ξ
k
|
|ξ
n
− λ
2k−1
| · |ξ
n
− ξ
k
|
≤ ˜
C ·
∞
X
k=1
k6=n
λ
2k
− λ
2k−1
a
2
≤ ˜
C
1
.
Xuddi shu tarzda |B
n
| ≤ ˜
C tengsizlikni e’tiborga olib, quyidagi baholashga
¯
¯
¯
¯
∂B
n
∂ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≤
˜
C
2
ega bo‘lamiz. Bu tengsizliklardan
¯
¯
¯
¯
∂P
n
∂ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≤
¯
¯
¯
¯
∂A
n
∂ξ
n
¯
¯
¯
¯|B
n
| +
¯
¯
¯
¯
∂B
n
∂ξ
n
¯
¯
¯
¯|A
n
| ≤ ˜
C
3
195

kelib chiqadi. (4.3.17) tenglikka asosan
|h
n
(ξ)|
¯
¯
¯
¯
∂h
n
(ξ)
∂ξ
n
¯
¯
¯
¯ ≤
˜
C
4
n
2