Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

, 1 ] kesmada
integrallab
λ
4k
(1) − λ
4k
(0) =
π
Z
0
q(x)
1
Z
0
y
2
4k
(x, t)dtdx
(4.5.7)
λ
4k−1
(1) − λ
4k−1
(0) =
π
Z
0
q(x)
π
Z
0
y
2
4k−1
(x, t)dtdx
(4.5.8)
topamiz. Oxirgi tengliklardan mos ravishda (4.5.2) ni ayirib
λ
4k
(1) − λ
4k
(0) − c
0
=
π
Z
0
q(x)
1
Z
0
·
y
2
4k
(x, t) −
1
π
¸
dtdx
(4.5.9)
λ
4k−1
(1) − λ
4k−1
(0) − c
0
=
π
Z
0
q(x)
π
Z
0
·
y
2
4k−1
(x, t) −
1
π
¸
dtdx
(4.5.10)
hosil qilamiz. Bundan
λ
0
(1) − λ
0
(0) − c
0
+
∞
P
k=1
£
λ
4k
(1) − λ
4k−1
(1) − 2(2k)
2
− 2c
0
¤
=
=
π
R
0
q(x)
1
R
0
S(x, t)dtdx
(4.5.11)
kelib chiqadi. Bu yerda
S(x, t) = y
2
0
(x, t) −
1
π
+
∞
X
k=1
·
y
2
4k
(x, t) + y
2
4k−1
(x, t) −
2
π
¸
.
(4.5.12)
Lemma 4.5.1. (4.5.12) funksional qator umumlashgan ma’noda yaqinlashu-
vchi bo‘ladi va uning yig‘indisi t parametrga bog‘liq bo‘lmaydi.
Natija 4.5.1. Lemma 4.5.1 va (4.5.6) dan
S(x, t) = S(x, 0) ≡ 0,
(4.5.13)
kelib chiqadi.
203

Bu holda, (4.5.11) ayniyat quyidagi ko‘rinishni oladi:
λ
0
− c
0
+
∞
X
n=1
£
λ
4n
− λ
4n−1
− 2(2n)
2
− 2c
0
¤
= 0.
(4.5.14)
λ
4k
= λ
4k
(1) , λ
4k−1
= λ
4k−1
(1).
Agar biz ushbu



−y
00
+ q(x)y = λy
y(0) = −y(π)
y
0
(0) = −y
0
(π)
(4.5.15)
yarimdavriy chegaraviy masalaning xos qiymatlarini
λ
1
, λ
2
, λ
5
, λ
6
, λ
9
, ... , λ
4k−3
, λ
4k−2
, ...
deb belgilasak, u holda
∞
X
n=1
£
λ
4n−2
+ λ
4n−3
− 2(2n − 1)
2
− 2c
0
¤
= 0
(4.5.16)
ega bo‘lamiz.
Teorema 4.5.1. (I.M.Gel’fand, B.M.Levitan). Agar
½
−y
00
+ q(x)y = λy
y(0) = 0, y(π) = 0
Dirixle chegaraviy masalaning xos qiymatlari ξ
n
, n = 1, 2, 3, ... bo‘lsa, u holda
∞
X
n=1
£
ξ
n
− n
2
− c
0
¤
=
1
2
c
0
−
q(0) + q(π)
4
(4.5.17)
o‘rinli. Bu tenglik ilk bor 1953 yilda I.M. Gel’fand va B.M. Levitan tomonidan
isbotlangan. Muallifning [328] kitobida (4.5.17) ning soddaroq isboti keltirilgan.
Avvalo (4.5.14) va (4.5.16) tengliklarni bir-biriga qo‘shib
λ
0
− c
0
+
∞
X
n=1
£
λ
4n
+ λ
4n−1
+ λ
4n−2
+ λ
4n−3
− 2(2n)
2
− 2(2n − 1)
2
− 4c
0
¤
= 0
(4.5.18)
hosil qilamiz. Endi (2.4.17) tenglikni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
∞
X
n=1
£
ξ
2n−1
+ ξ
2n
− (2n − 1)
2
− (2n)
2
− 2c
0
¤
=
1
2
c
0
−
q(0) + q(π)
4
(4.5.19)
oxirgi tenglikni 2 ga ko‘paytirib (4.5.18) dan ayiramiz:
λ
0
−c
0
+
∞
X
n=1
[(λ
4n−1
+ λ
4n
− 2ξ
2n
) + (λ
4n−3
+ λ
4n−2
− 2ξ
2n−1
)] = −c
0
+
q(0) + q(π)
2
.
204

Bundan
λ
0
+
∞
X
k=1
(λ
2k−1
+ λ
2k
− 2ξ
k
) =
q(0) + q(π)
2
kelib chiqadi. Bu yerda q(x) funksiyaning davriyligidan, ya’ni q(0) = q(π) dan
foydalansak, oxirgi tenglik quyidagi
λ
0
+
∞
X
k=1
(λ
2k−1
+ λ
2k
− 2ξ
k
) = q(0)
(4.5.20)
ko‘rinishni oladi. Bu formulaga Xill operatorining regulyarlashtirilgan izi deyiladi.
Agar biz q(x)- davriy potensial o‘rniga q(x + t), t ∈ R
1
potensialni olsak, u
holda (4.5.20) formula
λ
0
+
∞
X
k=1
(λ
2k−1
+ λ
2k
− 2ξ
k
(t)) = q(t)
(4.5.21)
ko‘rinishni oladi. Bunda davriy va yarimdavriy chegaraviy masalalarning λ
j
xos
qiymatlari t parametrga bog‘liq emasligi e’tiborga olindi. ξ
j
(t) esa potensiali q(x+
t), t ∈ R
1
ko‘rinishda bo‘lgan siljigan argumentli Xill tenglamasiga qo‘yilgan
Dirixle chegaraviy masalasining xos qiymatini bildiradi.
Izoh. (4.3.1), (4.3.2) Dubrovin –Trubovis differensial tenglamalar sistemasi
bilan (4.5.21) ko‘rinishdagi izlar formulasi birgalikda Xill operatoriga qo‘yilgan
teskari masalaning yechish algoritmini beradi.
(4.5.21) izlar formulasidan foydalanib quyidagi tasdiqni isbotlash mumkin.
Natija 4.5.2. Xill
H ≡ −
d
2
dx
2
+ q(x), q(x + π) = q(x), x ∈ R
1
operatorning spektridagi barcha chekli lakunalar yopilsa, ya’ni λ
2k−1
= λ
2k
, k ≥ 1
bo‘lsa, u holda q(x) = const bo‘ladi.
Natija 4.5.3. Agar Xill operatorining spektridagi chekli lakunalaridan faqat
bittasi ochiq bo‘lib, qolgan barcha chekli lakunalar yopiq bo‘lsa, u holda uning
q(x) potensiali elliptik funksiya bo‘ladi.
6-§. Teskari masalani yechish algoritmiga doir misollar
Misol 1. Agar lakunalardan birinchisi ochiq bo‘lib, qolgan barchasi yopilgan
bo‘lsa, u holda (4.3.1) sistema ushbu
˙ξ
1
= 2σ
1
(t)
p
(ξ
1
− λ
0
)(ξ
1
− λ
1
)(λ
2
− ξ
1
),
˙ξ
n
= 0, n = 2, 3, ...
(4.6.1)
205

ko‘rinishni oladi. Bu sistemaning ushbu
ξ
1
(t)|
t=0
= ξ
0
1
, σ
1
(t)|
t=0
= σ
0
1
(4.6.2)
boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz. Buning uchun ξ
1
(t) =
λ
0
+λ
1
+λ
2
3
− p(t) almashtirish bajaramiz. U holda qaralayotgan tenglama quyidagi
ko‘rinishni oladi:
p
0
(t) = −σ
1
(t)
p
4(p(t) − e
1
)(p(t) − e
2
)(p(t) − e
3
).
Bu yerda e
1
=
λ
1
+λ
2
−2λ
0
3
, e
2
=
λ
0
+λ
2
−2λ
1
3
, e
3
=
λ
0
+λ
1
−2λ
2
3
, (e
1
> e
2
> e
3
).
Kvadrat ildizni kompleks ma’noda deb qaraydigan bo‘lsak, bu differensial
tenglama ushbu
1
p
4(p(t) − e
1
)(p(t) − e
2
)(p(t) − e
3
)
·
dp(t)
dt
= 1
tarzda yoziladi. Oxirgi tenglikni [0, t] oraliq bo‘yicha integrallaymiz:
p(t)
Z
p(0)
1
p
4(u − e
1
)(u − e
2
)(u − e
3
)
du = t.
(4.6.3)
Ta’rif 4.6.1. Ushbu
z = f (s) =
∞
Z
s
1
p
4(u − e
1
)(u − e
2
)(u − e
3
)
du
funksiyaning teskarisiga Veyershtrassning elliptik funksiyasi deyiladi va u s =
γ(z) ([366], 125-bet) orqali belgilanadi. Demak, γ(z) = f
−1
(z) = s. Veyersh-
trassning γ(z) funksiyasi z kompleks argumentning meromorf funksiyasi bo‘lib,
u ikki yoqlama davriy funksiya bo‘ladi. Ushbu g
2
= −4(e
1
e
2
+ e
2
e
3
+ e
1
e
3
),
g
3
= 4e
1
e
2
e
3
sonlarga γ(z) funksiyaning invariantlari deyiladi.
Veyershtrass funksiyasining ta’rifini ishlatib, (4.6.3) ayniyatni quyidagi tarzda
yozib olamiz:
∞
Z
p(t)
1
p
4(u − e
1
)(u − e
2
)(u − e
3
)
du = −t +
∞
Z
p(0)
1
p
4(u − e
1
)(u − e
2
)(u − e
3
)
du,
ya’ni
f (p(t)) = −t + t
0
.
(4.6.4)
Bu yerda
t
0
=
∞
Z
p(0)
1
p
4(u − e
1
)(u − e
2
)(u − e
3
)
du, p(0) =
λ
0
+ λ
1
+ λ
2
3
− ξ
1
(0).
206

(4.6.4) tenglikdan p(t) = f
−1
(−t + t
0
), ya’ni p(t) = γ(−t + t
0
) kelib chiqadi.
Demak,
ξ
1
(t) =
λ
0
+ λ
1
+ λ
2
3
− γ(−t + t
0
).
Izlar formulasiga ko‘ra
q(t) = λ
0
+ λ
1
+ λ
2
− 2ξ
1
(t),
ya’ni
q(t) = 2γ(−t + t
0
) +
λ
0
+ λ
1
+ λ
2
3
bo‘ladi.
Misol 2. Agar lakunalardan birinchisi va ikkinchisi ochiq bo‘lib, qolgan bar-
chasi yopiq bo‘lsa, u holda (4.3.1) sistema ushbu
˙ξ
1
= 2σ
1
(t)
p
(ξ
1
− λ
1
)(λ
2
− ξ
1
) ×
s
(ξ
1
− λ
0
)(λ
3
− ξ
1
)(λ
4
− ξ
1
)
(ξ
2
− ξ
1
)
2
,
˙ξ
2
= −2σ
2
(t)
p
(ξ
2
− λ
3
)(λ
4
− ξ
2
) ×
s
(ξ
2
− λ
0
)(λ
1
− ξ
2
)(λ
2
− ξ
2
)
(ξ
1
− ξ
2
)
2
,
˙ξ
n
= 0, n = 3, 4, ...
ko‘rinishni oladi. Bu sistemaning yechimini topish masalasini o‘quvchiga havola
qilamiz.
7-§. Lakunalar uzunliklarining nolga intilish tartibi va potensialning
analitikligi orasidagi bog‘lanish
Bu paragrafda Dubrovin –Trubovis differensial tenglamalar sistemasidan foy-
dalanib Hy ≡ −y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ R
1
Xill operatori lakunalari uzunliklari va
q(x) potensialning analitikligi orasidagi bog‘lanishni o‘rganamiz.
Teorema 4.7.1. (E.Trubovis) π - davrli haqiqiy q(x) funksiya analitik
bo‘lishi uchun Xill operatori lakunalarning γ
n
= λ
2n
− λ
2n−1
uzunliklaridan tuzil-
gan ketma-ketlik eksponensial ravishda nolga intiluvchi bo‘lishi, ya’ni shunday
a > 0 va b > 0 musbat sonlari topilib
γ
n
< ae
−b n
, n = 1, 2, 3, ...
(4.7.1)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. (Zarurligi) Faraz qilaylik q(x)π - davrli haqiqiy analitik funksiya
bo‘lsin. Avvalo quyidagi
−y
00
+ q(x + it)y = λy, 0 ≤ x ≤ π
(4.7.2)
207

y(0) = 0, y(π) = 0
(4.7.3)
chegaraviy masalaning xos qiymatlarining asimtotikasini o‘rganamiz. Bu yerda
t ∈ R
1
haqiqiy parametr. (4.7.2)+(4.7.3) chegaraviy masalaning xos qiymatlari
s(π, it, λ) = 0 tenglamaning ildizlaridan iborat bo‘lishi bizga ma’lum. Bunda
s(x, it, λ) funksiya ushbu
s(x, it, λ) =
sin
√
λx
√
λ
+
1
√
λ
x
Z
0
q(τ + it)s(τ, it, λ) sin
√
λ(x − τ )dτ
(4.7.4)
integral tenglamani qanoatlantiradi. Chunki s(x, it, λ) funksiya (4.7.2)
tenglamaning s(0, it, λ) = 0, s
0
(0, it, λ) = 1 boshlang‘ich shartlarni qanoat-
lantiruvchi yechimidan iborat. (4.7.4) integral tenglamaga ketma-ket yaqinlashish
usulini qo‘llaymiz. Buning uchun ushbu
z
0
(x, λ) =
sin
√
λx
√
λ
,
z
j+1
(x, λ) =
1
√
λ
x
Z
0
q(τ + it)z
j
(τ, λ) sin
√
λ(x − τ )dτ , j = 0, ∞
(4.7.5)
funksional ketma-ketlikni tuzib olamiz. Bundan quyidagi
|z
0
(π, λ)| =
¯
¯
¯
¯
¯
sin
√
λπ
√
λ
¯
¯
¯
¯
¯
≤
e|
Im
√
λ
|
π
p
|λ|
(4.7.6)
baho va ushbu
|z
1
(π, λ)| =
1
√
|λ|
¯
¯
¯
¯
π
R
0
q(τ + it)z
0
(τ, λ) sin
√
λ(π − τ )dτ
¯
¯
¯
¯ =
=
1
|λ|
¯
¯
¯
¯
π
R
0
q(τ + it) sin
√
λτ sin
√
λ(π − τ )dτ
¯
¯
¯
¯ =
=
1
|λ|
¯
¯
¯
¯
1
2
π
R
0
q(τ + it) cos
√
λπdτ −
1
2
π
R
0
q(τ + it) cos
√
λ(π − 2τ )dτ
¯
¯
¯
¯
(4.7.7)
tenglik kelib chiqadi. Biz soddalik uchun quyidagi
π
Z
0
q(x + it)dx = 0
shart bajariladi deb hisoblaymiz. Bu holda (4.7.7) ifodani quyidagicha baho-
laymiz:
|z
1
(π, λ)| ≤
1
2|λ|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
π
Z
0
q(τ + it) cos
√
λ(π − 2τ )dτ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
208

=
1
2|λ|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
cos
√
λπ
π
Z
0
q(τ + it) cos 2
√
λτ dτ + sin
√
λπ
π
Z
0
q(τ + it) sin 2
√
λτ dτ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
=
1
2|λ|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
cos
√
λπ



1
2
√
λ
q(τ + it) sin 2
√
λτ
¯
¯
¯
¯
τ =π
τ =0
−
1
2
√
λ
π
Z
0
q
0
(τ + it) sin 2
√
λτ dτ



+
+ sin
√
λπ



−
1
2
√
λ
q(τ + it) cos 2
√
λτ
¯
¯
¯
¯
τ =π
τ =0
+
1
2
√
λ
π
Z
0
q
0
(τ + it) cos 2
√
λτ dτ



¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
≤ const
e|
Im
√
λ
|
π
(
p
|λ|)
3
.
Bu jarayonni takrorlab
|z
j
(π, λ)| ≤ (const)
j
e|
Im
√
λ
|
π
(
p
|λ|)
j+1
, j ≥ 0
(4.7.8)
topamiz. Ushbu
s(π, it , λ) =
∞
X
j=0
z
j
(π, λ)
(4.7.9)
tenglikdan foydalanib
¯
¯
¯
¯
¯
s(π , it , λ) −
sin
√
λπ
√
λ
¯
¯
¯
¯
¯
≤ const
e|
Im
√
λ
|
π
(
p
|λ|)
3
(4.7.10)
bahoni hosil qilamiz. Bu tengsizlik yetarli katta λ larda bajariladi. Endi, quyidagi
P
n
- to‘g‘ri to‘rtburchakni olaylik: Bu P
n
to‘g‘ri to‘rtburchakda f (λ) =
sin
√
λx
√
λ
Rasm 4:
va g(λ) = s(π, it , λ) −
sin
√
λx
√
λ
funksiyalar uchun Rushe teoremasini qo‘llaymiz.
209

Buning uchun P
n
to‘g‘ri to‘rtburchakning chegarasida |g(λ)| ≤ |f (λ)| tengsizlik
bajarilishi kerak:
¯
¯
¯
¯
¯
s(π , it , λ) −
sin
√
λx
√
λ
¯
¯
¯
¯
¯
<
¯
¯
¯
¯
¯
sin
√
λx
√
λ
¯
¯
¯
¯
¯
.
(4.7.11)
Oxirgi tengsizlik (4.6.11) baholashga asosan yetarlicha katta λ larda bajariladi.
Rushe teoremasiga asosan f + g = 0 va f = 0 tenglama P
n
to‘g‘ri
to‘rtburchakda bir xil sondagi nollarga ega, ya’ni nollar soni teng bo‘ladi.
f (λ) = 0 tenglamani yechib, λ
n
= n
2
, n = 1, 2, ... topamiz. Bundan f (λ)
funksiyaning P
n
to‘g‘ri to‘rtburchakda n ta noli borligi kelib chiqadi. De-
mak,