Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

− 1
funksiyalarga Mittag-Leffler teoremasini qo‘llab, quyidagi
F (λ) =
∞
X
k=0
s(π, λ
2k
, t)
f
0
(λ
2k
)
1
λ − λ
2k
,
G(λ) =
∞
X
k=0
c
0
(π, λ
2k
, t)
f
0
(λ
2k
)
1
λ − λ
2k
formulalarni olamiz. Bunga ko‘ra
F (λ) =
1
λ
∞
X
k=0
s(π, λ
2k
, t)
f
0
(λ
2k
)
+ O
µ
1
λ
2
¶
, |λ| → ∞,
G(λ) =
1
λ
∞
X
k=0
c
0
(π, λ
2k
, t)
f
0
(λ
2k
)
+ O
µ
1
λ
2
¶
, |λ| → ∞.
Bu asimptotikalarni (2.6.23) va (2.6.24) asimptotikalar bilan taqqoslab, ushbu
∞
X
k=0
s(π, λ
2k
, t)
f
0
(λ
2k
)
= −1,
∞
X
k=0
c
0
(π, λ
2k
, t)
f
0
(λ
2k
)
=
1
2
[−q(t) + c + λ
0
]
tengliklarga ega bo‘lamiz. Bu yerda (2.5.9) va (2.5.10) formulalardan foydalansak,
(2.6.11) va (2.6.12) ayniyatlar kelib chiqadi.
137

Izoh 2.6.1. Agar bu teorema isbotida f (λ) funksiyani boshqacha kiritib
olsak, xos funksiyalar uchun bunga o‘xshash boshqa ayniyatlarni ham olishimiz
mumkin.
Natija 2.6.1. (2.6.2) davriy va (2.6.3) yarimdavriy chegaraviy masalalarning
ortonormallangan xos funksiyalari uchun
∞
X
k=0
λ
2k
a
2k
y
2
2k
(t) +
∞
X
k=0
a
2k
y
0
2k
2
(t) = λ
0
+ c
(2.6.25)
ayniyat o‘rinli. Bu yerda
c =
∞
X
k=1
(λ
2k
− λ
2k−1
).
Isbot. Quyidagi
x
k
(t) =
√
a
2k
y
2k
(t), k = 0, 1, 2, ...
(2.6.26)
tenglik bilan aniqlangan x(t) = (x
0
(t), x
1
(t), ...) vektorning kxk = 1 birlik sfer-
ada yotishi (2.6.11) ayniyatdan kelib chiqadi. Bu yerda
kxk
2
=
∞
X
k=0
x
2
k
.
Ushbu
−y
00
2k
(t) + q(t)y
2k
(t) = λ
2k
y
2k
(t)
(2.6.27)
differensial tenglamadan va (2.6.26) belgilashdan foydalanib
x
00
k
(t) = (q(t) − λ
2k
)x
k
(t)
(2.6.28)
ekanini topamiz. Birlik sfera (x(t), x(t)) = 1 tenglamasining ikkala tarafini ketma-
ket differensiallab
(x(t), x
0
(t)) = 0
va
(x(t), x
00
(t)) + kx
0
(t)k
2
= 0
(2.6.29)
tenglamalarni hosil qilamiz. Endi (2.6.28) tenglamani
x
00
(t) = q(t)x(t) − ˜
x(t),
˜
x(t) = (λ
0
x
0
(t), λ
2
x
1
(t), ..., λ
2k
x
k
(t), ...)
x(t) = (x
0
(t), x
1
(t), ...)
ko‘rinishda yozib, uning ikkala qismini x(t) vektorga sklayar ko‘paytirib,
(x(t), x
00
(t)) = q(t)kx(t)k
2
−
∞
X
k=0
λ
2k
x
2
k
(t)
138

bo‘lishini topamiz. Bunda (2.6.29) va kx(t)k = 1 tengliklardan foydalansak,
q(t) =
∞
X
k=0
λ
2k
x
2
k
(t) − kx
0
(t)k
2
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikni (2.6.26) belgilashdan foydalanib
q(t) =
∞
X
k=0
λ
2k
a
2k
y
2
2k
(t) −
∞
X
k=0
a
2k
y
0
2k
2
(t)
(2.6.30)
ko‘rinishda yozishimiz mumkin. Endi (2.6.12) ayniyatdan
q(t) = −2
∞
X
k=0
a
2k
y
0
2k
2
+ λ
0
+ c, c =
∞
X
k=1
(λ
2k
− λ
2k−1
)
tenglikni topamiz. Oxirgi ayniyatni (2.6.30) tenglik bilan solishtirib
∞
X
k=0
λ
2k
a
2k
y
2
2k
(t) +
∞
X
k=0
a
2k
y
0
2k
2
(t) = λ
0
+ c
(2.6.31)
ayniyatni hosil qilamiz. Bu ayniyatning mexanik ma’nosi, chekli zonali (λ
2k−1
<
λ
2k
, k = 1, 2, ...N , λ
2k−1
= λ
2k
, k ≥ N + 1) potensiallar holida Mozerning [196]
monografiyasida keltirilgan.
III BOB
Xill tenglamasi lakunalari uzinliklarining
asimptotikasi
1-§. Davriy va yarimdavriy chegaraviy masalalarning xos qiymatlari
va lakunalar uzunliklari uchun sodda asimptotik formulalar
Bu paragrafda ushbu
−y
00
+ q(x)y = λy,
(3.1.1)
q(x) = q(x + π), x ∈ R
Xill tenglamasiga qo‘yilgan
½
y(0) = y(π),
y
0
(0) = y
0
(π)
(3.1.2)
davriy va
½
y(0) = −y(π),
y
0
(0) = −y
0
(π)
(3.1.3)
139

yarimdavriy chegaraviy masalalarning xos qiymatlari uchun asimptotik formu-
lalarni keltirib chiqaramiz. Buning uchun (3.1.1) tenglamaning
c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0, s(0, λ) = 0, s
0
(0, λ) = 1
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini mos ravishda c(x, λ) va
s(x, λ) orqali belgilab olamiz hamda Lyapunovning
∆(λ) ≡ c(π, λ) + s
0
(π, λ)
funksiyasini qaraymiz.
Agar λ
0
< λ
1
≤ λ
2
< λ
3
≤ ... < λ
n
< ... lar orqali (3.1.1)+(3.1.2)
davriy chegaraviy masalaning xos qiymatlarini belgilasak, u holda λ
n
, n ≥ 0
lar ∆(λ) − 2 = 0 tenglamaning ildizlaridan iborat bo‘lishi teorema 1.2.1 da
ko‘rsatilgan edi.
Xuddi shunday µ
0
≤ µ
1
< µ
2
≤ µ
3
< .... lar orqali (3.1.1)+(3.1.3)
yarimdavriy chegaraviy masalaning xos qiymatlarini belgilasak, u holda ular
∆(λ) = −2
tenglamani
qanoatlantirishini
birinchi
bobning
ikkinchi
paragrafida
ko‘rsatgan edik.
Teorema 3.1.1. q(x) π davrli, haqiqiy, uzluksiz funksiya bo‘lsin. U holda
a) (3.1.1)+(3.1.2) davriy chegaraviy masalaning xos qiymatlari uchun ushbu
λ
2n−1
= (2n)
2
+
1
π
π
Z
0
q(t)dt −
1
2
q
a
2
2n
+ b
2
2n
+ O(
1
n
) , n → ∞
,
λ
2n
= (2n)
2
+
1
π
π
Z
0
q(t)dt +
1
2
q
a
2
2n
+ b
2
2n
+ O(
1
n
) , n → ∞
asimptotik formulalar o‘rinli bo‘ladi.
b) (3.1.1)+(3.1.3) yarimdavriy chegaraviy masalaning xos qiymatlari uchun
ushbu
µ
2n
= (2n + 1)
2
+
1
π
π
Z
0
q(t)dt −
1
2
q
a
2
2n+1
+ b
2
2n+1
+ O(
1
n
) , n → ∞
,
µ
2n+1
= (2n + 1)
2
+
1
π
π
Z
0
q(t)dt +
1
2
q
a
2
2n+1
+ b
2
2n+1
+ O(
1
n
) , n → ∞
asimptotik formulalar o‘rinli bo‘ladi.
140

Isbot. Lyapunov funksiyasining ushbu
∆(λ) = 2 cos πk + O
µ
e
πτ
|k|
¶
, |k| → ∞
asimptotikasi birinchi bobning ikkinchi paragrafida keltirib chiqarilgan edi. Bu
yerda
√
λ = k = σ + iτ , τ ≥ 0. Kompleks analiz fanida uchraydigan Rushe
teoremasidan foydalanish maqsadida, ushbu
f (λ) = 2 cos
√
λπ − 2, g(λ) = ∆(λ) − 2 − f (λ)
funksiyalarni ko‘rib chiqamiz. Bu funksiyalarning butun funksiya ekanligi ma’lum.
Quyidagi
P
2n−1
= {k = σ + iτ : |τ | ≤ 1, |σ| < (2n − 1)}
sohani qaraymiz. Yetarlicha katta n larda P
2n−1
soha chegarasida
|f (λ)| > |g(λ)|
(3.1.4)
tengsizlik bajariladi. Haqiqatan ham, P
2n−1
soha chegarasida
|f (λ)|
√
λ=2n−1
= 4 , |g(λ)|
√
λ=2n−1
= O(
1
2n − 1
) → 0, n → ∞
tengliklar bajariladi. Bu tengliklardan, ∃ n
0
∈ N bo‘lib, ∀ n > n
0
larda
|f (λ)|
√
λ=2n−1
> |g(λ)|
√
λ=2n−1
tengsizlik kelib chiqadi.
f (λ) va g(λ) funksiyalar uzluksiz bo‘lganligi uchun |f (λ)| > |g(λ)| tengsi-
zlik ∀ n > n
0
da
√
λ = 2n − 1 nuqtaning biror atrofida bajariladi. Bundan
esa bu tengsizlik P
2n−1
(n > n
0
) to‘g‘ri to‘rtburchakning yon chegaralarida ba-
jarilishi kelib chiqadi. P
2n−1
to‘g‘ri to‘rtburchakning yuqori va quyi chegaralar-
ining tenglamalarini tuzib, asimptotik formulalardan foydalanib, (3.1.4) tengsiz-
lik P
2n−1
to‘g‘ri to‘rtburchakning quyi va yuqori chegaralarida ham bajarilishini
ko‘rsatish mumkin. U holda Rushe teoremasiga ko‘ra f (λ) funksiyaning P
2n−1
sohadagi ildizlari soni f (λ) + g(λ) funksiyaning shu sohadagi ildizlar soniga teng
bo‘ladi.
Endi f (λ) = 0, ya’ni cos π
√
λ = 1 tenglamaning P
2n−1
sohadagi ildizlari
sonini hisoblaymiz: 0- karrasiz ildiz, 2
2
- ikki karrali ildiz, 4
2
- ikki karrali ildiz,
. . . (2n − 2)
2
- ikki karrali ildiz. Demak, barcha ildizlar soni 1 + 2(n − 1) = 2n − 1
ta. Shunday qilib, ∆(λ)−2 = f (λ)+g(λ) = 0 tenglamaning P
2n−1
sohada 2n−1
ta ildizi bor. Bu ildizlarni λ
0
, λ
1
, ... , λ
2n−2
lar orqali belgilaymiz. Bunga ko‘ra n
ni bir qadam oshirsak, P
2(n+1)−1
= P
2n+1
sohada λ
0
, λ
1
, ... , λ
2n−2
, λ
2n−1
, λ
2n
ildizlar joylashganligi kelib chiqadi.
141

Demak , biror nomerdan boshlab
¯
¯√λ
2n−1
− 2n
¯
¯ < 1,
¯
¯
√
λ
2n
− 2n
¯
¯ < 1,
ya’ni |πk
2n−1
− 2nπ| < π, |πk
2n
− 2nπ| < π tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda
k
j
=
p
λ
j
, j ≥ 0. Bundan
πk
2n−1
= 2nπ + δ
n
,
πk
2n
= 2nπ + δ
n
,
|δ
n
| < π
tengliklar kelib chiqadi.
Haqiqiy k =
√
λ larda Xill tenglamasining c(x, λ) va s(x, λ) yechimlari uchun
quyidagi asimptotik formulalarni keltirib chiqarish mumkin:
c(x, λ) = cos k · x +
1
k
x
Z
0
sin {k(x − t)}q(t) cos ktdt+
+
1
k
2
x
Z
0
sin {k(x − t)}q(t)


t
Z
0
sin {k(t − s)}q(s) cos ksds

 dt + O
µ
1
k
3
¶
,
s
0
(x, λ) = cos kx +
1
k
x
Z
0
cos {k(x − t)}q(t) sin ktdt+
+
1
k
2
x
Z
0
cos {k(x − t)}q(t)


t
Z
0
sin {k(t − s)}q(s) sin ksds

 dt + O
µ
1
k
3
¶
.
Bu baholashlardan foydalanib Lyapunov funksiyasining asimptotikasini topamiz:
∆(λ) = 2 cos kπ +
sin kπ
k
π
Z
0
q(t)dt+
+
1
k
2
π
Z
0
q(t)


t
Z
0
sin {k(t − s)} sin {k(π − t + s)}q(s)sds

 dt + O
µ
1
k
3
¶
,
|k| → +∞
.
Bu formulada πk = 2nπ+δ
n
ekanligini hisobga olib, uni ∆(λ)−2 = 0 tenglamaga
qo‘ysak
−4 sin
2
δ
n
2
+
sin δ
n
k
π
Z
0
q(t)dt+
+
1
k
2
π
Z
0
q(t)


t
Z
0
sin {k(t − s)} sin {δ
n
− k(t − s)}q(s)ds

dt + O
µ
1
n
3
¶
= 0
(3.1.5)
142

baholash kelib chiqadi. Oxirgi tenglikning chap tomonidagi birinchi haddan
boshqasi O
¡
1
n
¢
tartibga ega. Demak,
sin
δ
n
2
= O(
1
√
n
).
Bundan
δ
n
= O
µ
1
√
n
¶
, n → ∞
(3.1.6)
asimptotikani topamiz. Bu asimptotikani aniqlashtirish maqsadida quyidagi teng-
liklardan foydalanamiz:
sin δ
n
= 2 sin
δ
n
2
cos
δ
n
2
= 2 sin
δ
n
2
r
1 − sin
2
δ
n
2
=
= 2 sin
δ
n
2
s
1 − O
µ
1
n
¶
= 2 sin
δ
n
2
·
1 + O
µ
1
n
¶¸
,
sin {δ
n
− k(t − s)} = sin δ
n
cos {k(t − s)} − cos δ
n
sin {k(t − s)} =
= δ
n
cos {k(t − s)} − sin {k(t − s)} = − sin {k(t − s)} + O
µ
1
√
n
¶
,
(3.1.7)
1
k
2
π
Z
0
q(t)
t
Z
0
sin {k(t − s)} sin {δ
n
− k(t − s)}q(s)dsdt =
= −
1
k
2
π
Z
0
q(t)
t
Z
0
sin
2
{k(t − s)}q(s)dsdt+
+
1
k
2
O
µ
1
√
n
¶
π
Z
0
q(t)
t
Z
0
sin {k(t − s)}q(s)dsdt =
= −
1
2k
2
π
Z
0
q(t)
t
Z
0
q(s)dsdt+
1
2k
2
π
Z
0
q(t)
t
Z
0
cos {2k(t − s)}q(s)dsdt+O
µ
1
n
2
√
n
¶
=
= −
1
4k
2


π
Z
0
q(t)dt


2
+ O
µ
1
n
2
¶
.
Bu ifodalarni (3.1.5) baholashga qo‘yib, ushbu
sin
2
δ
n
2
−
2 sin
δ
n
2
4k
π
Z
0
q(t)dt +
1
16k
2


π
Z
0
q(t)dt


2
= O
µ
1
n
2
¶
,
143


sin
δ
n
2
−
1
4k
π
Z
0
q(t)dt


2
= O
µ
1
n
2
¶
,
tengliklarga ega bo‘lamiz. Bundan
sin
δ
n
2
= O
µ
1
n
¶
, n → ∞
baholash kelib chiqadi. Chunki
1
4k
π
Z
0
q(t)dt = O
µ
1
n
¶
.
Demak,
δ
n
= O
µ
1
n
¶
, n → ∞
,
(3.1.8)
baholash o‘rinli ekan. Bu baholashni yanada yaxshilash maqsadida (3.1.5) teng-
likni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
sin
2
δ
n
2
−
2 sin
δ
n
2
4k
π
Z
0
q(t)dt +
1
16k
2


π
Z
0
q(t)dt


2
−
−
1
8k
2
π
Z
0
q(t)
t
Z
0
cos {2k(t − s)}q(s)dsdt + O
µ
1
n
3
¶
= 0.
Bu tenglikda k ni k = 2n + O
¡
1
n
¢
ga almashtirib, ushbu
sin
2
δ
n
2
−
2 sin
δ
n
2
4n
π
Z
0
q(t)dt +
1
64n
2


π
Z
0
q(t)dt


2
−
−
1
32n
2
π
Z
0
q(t)
t
Z
0
cos {4n(t − s)}q(s)dsdt + O
µ
1
n
3
¶
= 0
tenglikka ega bo‘lamiz. Oxirgi tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
sin
2