Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

00
(0) = g
0
(π) = g
00
(π) = 0
shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy funksiya bo‘lsin. Endi f
n
(x) ketma-ketlikni
quyidagicha aniqlaymiz:
f
n
(x) = b
n
ψ(x)h
n
(x), x ∈ R,
h
n
(x) =



1 , |x| ≤ (n − 1)π,
g(nπ − |x|), (n − 1)π < x ≤ nπ,
0, |x| > nπ.
Bu yerda b
n
sonlar ketma-ketligi kf
n
(x)k = 1 shartdan foydalanib topiladi.
(2.2.2) shartdan foydalanib
b
n
∼(2n
π
Z
0
|ψ(x)|
2
dx)
−
1
2
, n → ∞
112

ekanligini ko‘rsatish mumkin. Aniqlanishiga ko‘ra f
n
(x) ∈ D(H) va
(H − λ
0
I)f
n
(x) = −b
n
[2ψ
0
(x)h
0
n
+ ψ(x)h
00
n
(x)]
o‘rinli bo‘ladi. Oxirgi tenglikdan foydalanib, ushbu
k(H − λ
0
I)f
n
(x)k ≤ |b
n
|[2kψ
0
(x)h
0
n
k + kψ(x)h
00
n
(x)k] ≤ αb
n
tengsizlikni hosil qilamiz. Bu yerda α musbat soni n ga bog‘liq emas. Bundan
k(H − λ
0
I)f
n
(x)k → 0, n → ∞
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, λ
0
∈ σ(H).
Endi σ(H) ⊂ E ekanini ko‘rsatamiz. Agar λ
0
∈ σ(H) bo‘lsa, u holda λ
0
∈ E
bo‘lishini ko‘rsatish yetarli.
Faraz qilaylik, λ
0
∈ σ(H) bo‘lib, λ
0
/
∈ E bo‘lsin. U holda faqat quyidagi
hollar bo‘lishi mumkin:
1) λ
0
∈ (−∞, ∞) va |∆(λ
0
)| > 2;
2) Imλ
0
6= 0 va ∆(λ
0
) - haqiqiy;
3) Imλ
0
6= 0 va ∆(λ
0
) - kompleks.
Bunda ∆(λ) = c(π, λ) + s
0
(π, λ) bo‘lib, c(x, λ) va s(x, λ) funksiyalar mos
ravishda (2.2.1) Xill tenglamasining
c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0; s(0, λ) = 0, s
0
(0, λ) = 1
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlaridan iborat.
Yuqoridagi uchta holni alohida ko‘rib chiqamiz.
Bu holda ∆(λ
0
) > 2 yoki ∆(λ
0
) < −2 bo‘ladi. Avvalo, ∆(λ
0
) > 2 holini
qaraylik. Birinchi paragrafdagi mulohazalarga asosan, bu holda (2.2.1) Xill tengla-
masi ikkita nolmas
ψ
1
(x) = e
µ x
P
1
(x), ψ
2
(x) = e
−µ x
P
2
(x)
(2.2.3)
chiziqli erkli yechimlarga ega bo‘ladi. Bu yerda µ ∈ R, µ 6= 0, P
k
(x + π) =
P
k
(x), k = 1, 2 bo‘lib, µ > 0 deb olish mumkin. Bu yechimlar yordamida Grin
funksiyasini tuzib olamiz:
G(x, ξ, λ
0
) =
1
c
½
ψ
1
(x)ψ
2
(ξ),
ξ < x,
ψ
1
(ξ)ψ
2
(x),
ξ > x.
(2.2.4)
Bunda
c = ψ
0
1
(x)ψ
2
(x) − ψ
1
(x)ψ
0
2
(x) = const.
Endi, quyidagi formula orqali aniqlangan A integral operatorni qaraylik:
Af (x) =
∞
Z
−∞
G(x, ξ, λ
0
)f (ξ)dξ .
(2.2.5)
113

A operator L
2
(R) fazoni L
2
(R) fazoga akslantiruvchi chiziqli, chegaralangan
operator bo‘lishini ko‘rsatamiz. (2.2.3)-(2.2.5) tengliklardan foydalanib,
|Af (x)| ≤
M
2
c
{G
1
(x) + G
2
(x)}
(2.2.6)
munosabatni olish mumkin. Bu yerda
M = max
½
max
0≤x≤π
|(P
1
(x)|, max
0≤x≤π
|(P
2
(x)|
¾
,
G
1
(x) = e
−µ x
x
Z
−∞
e
µ ξ
|f (ξ)|dξ,
G
2
(x) = e
µ x
∞
Z
x
e
−µ ξ
|f (ξ)|dξ.
Bo‘laklab integrallash qoidasini qo‘llab,
N
2
R
−N
1
G
2
1
(x)dx =
N
2
R
−N
1
e
−2µ x
µ
x
R
−∞
e
µ ξ
|f (ξ)|dξ
¶
2
dx =
1
2µ
©
G
2
1
(−N
1
) − G
2
1
(N
2
)
ª
+
1
µ
N
2
R
−N
1
G
1
(x)f (x)dx ≤
G
2
1
(−N
1
)
2µ
+
1
µ
(
N
2
R
−N
1
G
2
1
(x)dx
N
2
R
−N
1
|f (x)|
2
dx
)
1
2
(2.2.7)
ekanligini keltirib chiqaramiz. Bu yerda N
1
> 0, N
2
> 0 - ixtiyoriy sonlar. Koshi-
Bunyokovskiy tengsizligidan foydalanib,
G
1
(−N
1
) = e
µ N
1
−N
1
Z
−∞
e
µ ξ
|f (ξ)|dξ ≤
1
√
2µ


−N
1
Z
−∞
|f (ξ)|
2
dξ
1
2


1
2
→ 0, N
1
→ ∞
bo‘lishini topamiz. Shuning uchun N
1
→ ∞, N
2
→ ∞ bo‘lganda limitga o‘tib,
(2.2.7) tenglikdan ushbu


∞
Z
−∞
G
2
1
(x)dx


1
2
≤
1
µ


∞
Z
−∞
|f (x)|
2
dx


1
2
baholashni hosil qilamiz. Xuddi shunday tengsizlikni G
2
(x) funksiya uchun ham
olish mumkin. Oxirgi mulohazalar va (2.2.6) munosabatdan A operatorning
chegaralanganligi kelib chiqadi.
Quyidagi tengliklarning bajarilishi ravshan:
(H − λ
0
I)Af (x) = f (x), ∀f (x) ∈ L
2
(R),
(2.2.8)
114

A(H − λ
0
I)f (x) = f (x), ∀f (x) ∈ D(H).
(2.2.9)
(2.2.8) tenglikdan (H −λ
0
I) operatorning qiymatlar to‘plami L
2
(R) fazodan,
(2.2.9) tenglikdan esa Ker(H − λ
0
I) = {0} ekanligi kelib chiqadi. Bundan, esa
L
2
(R) fazoda aniqlangan (H − λ
0
I)
−1
teskari operatorning mavjudligi va (H −
λ
0
I)
−1
= A ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun λ
0
soni H operatorning regulyar
nuqtasi bo‘ladi, ya’ni λ
0
/
∈ σ(H). Bu ziddiyat λ
0
∈ E ekanligini ko‘rsatadi.
Keyingi hollarni ham xuddi shunday mulohaza yuritish bilan isbotlash
mumkin.
Natija 2.2.1. H operatorning spektri uzluksiz bo‘lib, u E =
∞
S
m=0
I
m
, I
m
=
[λ
2m
, λ
2m+1
], m = 0, 1, 2, ... to‘plamdan iborat bo‘ladi.
Ushbu Λ
0
= (−∞, λ
0
), Λ
k
= (λ
2k−1
, λ
2k
), k ≥ 0 intervallar H operatorning
lakunalaridan iborat bo‘ladi. Bunda λ
0
, λ
4k−1
, λ
4k
- davriy, λ
4k−3
, λ
4k−2
- yarim-
davriy chegaraviy masalaning xos qiymatlaridan iborat.
3-§. Yoyilma formulasi
Ushbu
Ly ≡ −y
00
+ q(x)y = λy,
x ∈ R
(2.3.1)
Xill tenglamasini qaraylik. Bunda q(x)- π davrli, haqiqiy, uzluksiz funksiya, λ ∈ C
- kompleks parametr.
c(x, λ) va s(x, λ) orqali mos ravishda (2.3.1) tenglamaning
c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0; s(0, λ) = 0, s
0
(0, λ) = 1
(2.3.2)
Boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini belgilaymiz.
Shu bobning birinchi paragrafida Xill tenglamasining
ψ
1
(x, λ) = c(x, λ) + m
+
(λ)s(x, λ) ∈ L
2
(−∞; 0),
ψ
2
(x, λ) = c(x, λ) + m
−
(λ)s(x, λ) ∈ L
2
(0; ∞), λ ∈ C\R
(2.3.3)
Floke yechimlari tuzilgan edi. Bu yerda
m
±
(λ) =
s
0
(π, λ) − c(π, λ) ± i
p
4 − ∆
2
(λ)
2s(π, λ)
,
(2.3.4)
∆(λ) = c(π, λ) + s
0
(π, λ).
Qaralayotgan holda q(x) - haqiqiy, uzluksiz, davriy funksiya bo‘lganligi
sababli Xill tenglamasi uchun Veylning nuqtasi holi o‘rinli bo‘ladi. Shuning
uchun G.Veyl teoremasiga ko‘ra ψ
1
(x, λ), ψ
2
(x, λ), λ ∈ C\R funksiyalar (2.3.1)
tenglamaning Veyl yechimlaridan, m
+
(λ) va m
−
(λ) - funksiyalar esa Veyl-
Titchmarsh funksiyalaridan iborat bo‘ladi.
115

Mazkur paragrafda ixtiyoriy f (x) ∈ C
∞
0
(R) funksiyani Xill tenglamasin-
ing c(x, λ) va s(x, λ) yechimlari bo‘yicha Furye integraliga yoyish masalasi bilan
shug‘ullanamiz.
Bu masala umimiy holda, ya’ni q(x) ∈ C(R) - haqiqiy uzluksiz funksiya
bo‘lganda, ilk bor G.Veyl tomonidan yechilgan va ushbu [146], [161], [151], [416],
[328] – monografiyalarda bayon qilingan.
Aytaylik f (x) ∈ C
∞
0
(R) - ixtiyoriy silliq, finit funksiya bo‘lsin. U holda
quyidagi yoyilma o‘rinli bo‘ladi [125]:
f (x) =
∞
R
−∞
{F (λ)c(x, λ)dρ
11
(λ) + [F (λ)s(x, λ) + G(λ)c(x, λ)]dρ
12
(λ)+
+G(λ)s(x, λ)dρ
22
(λ)}.
(2.3.5)
Bu yerda ρ
ij
(λ), i, j = 1, 2 funksiyalar ρ(λ) = kρ
ij
(λ)k, ρ
12
(λ) = ρ
21
(λ), λ ∈ R
spektral matritsa-funksiyaning elementlaridan iborat bo‘lib, ular uchun
ρ
jk
(β) − ρ
jk
(α) = −lim
n→0
1
π
β
Z
α
Im{M
jk
(x + iu)}dx
(2.3.6)
Titchmarsh-Kodaira formulalari o‘rinli. Bunda ρ(λ) = kρ
ij
(λ)k simmetrik va
monoton kamaymaydigan matritsa-funksiya bo‘lib, uning elementlari
ρ
2
12
(∆) ≤ ρ
11
(∆)ρ
22
(∆)
tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu yerda ∆ = (α, β), ρ
ij
(∆) = ρ
ij
(α) − ρ
ij
(β), α va
β nuqtalar ρ(λ) matritsa-funksiyaning uzluksizlik nuqtalari. (2.3.6) tenglikdagi
M
ij
(z), i, j = 1, 2 funksiyalar quyidagicha aniqlanadi:
M
11
(z) =
¡
m
+
(z) − m
−
(z)
¢
−1
,
M
12
(z) =
1
2
m
+
(z) + m
−
(z)
m
+
(z) − m
−
(z)
,
(2.3.7)
M
22
(z) =
m
+
(z) · m
−
(z)
m
+
(z) − m
−
(z)
.
Bu funksiyalar ushbu
M
11
(z)M
22
(z) − M
2
12
(z) = −
1
4
(2.3.8)
Rofe-Beketov ayniyati deb yuritiladigan ayniyatni qanoatlantirishlari ravshan.
116

(2.3.6) formulaga Stiltes almashtirishini qo‘llasak, quyidagi integral tasvirlar
hosil bo‘ladi:
M
11
(z) =
∞
Z
−∞
dρ
11
(λ)
z − λ
, M
12
(z) =
∞
Z
−∞
dρ
12
(λ)
z − λ
,
M
22
(z) =
∞
Z
−∞
µ
1
z − λ
+
1
1 + λ
2
¶
dρ
22
(λ) + a.
(2.3.9)
Bu yerdagi a o‘zgarmas son ushbu
M
22
(z) = −
i
2
√
z + o(1), (z → i∞)
(2.3.10)
tenglik yordamida aniqlanadi.
Shu yerda, 1967 – yilda F.S.Rofe-Beketov [225] tomonidan isbotlangan
quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:
Teorema 2.3.1. (1967- yil, Rofe-Beketov). ρ(λ) = kρ
ij
(λ)k, i, j = 1, 2
matritsa-funksiya biror −y
00
+ q(x)y = λy, x ∈ R Shturm-Liuvill tenglamasining
spektral matritsa-funksiyasi bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur
va yetarli:
1) Imz > 0 bo‘lganda (2.3.9) funksiyalar mavjud va ular (2.3.8) Rofe-Beketov
ayniyatini qanoatlantiradi.
2) Ushbu
m
+
(z) =
1
2
+ M
12
(z)
M
11
(z)
, m
−
(z) =
−
1
2
+ M
12
(z)
M
11
(z)
(2.3.11)
funksiyalar mos ravishda biror
½
−y
00
+ q
+
(x)y = λy, 0 ≤ x < ∞,
y(0) = 0
va
½
−y
00
+ q
−
(x)y = λy, −∞ < x ≤ 0,
y(0) = 0
Shturm-Liuvill chegaraviy masalalarining Veyl-Titchmarsh funksiyalari bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti [159], [328] monografiyalarda keltirilgan.
Endi (2.3.1) Xill tenglamasi uchun topilgan Veyl-Titchmarshning m
±
(λ)-
funksiyalarining (2.3.4) ko‘rinishidan foydalanib, (2.3.6) va (2.3.7) formulalardan,
avvalo,
M
11
(z) =
−is(π, z)
p
4 − ∆
2
(z)
, M
22
(z) =
ic
0
(π, z)
p
4 − ∆
2
(z)
, M
12
(z) = −i
s
0
(π, z) − c(π, z)
2
p
4 − ∆
2
(z)
,
(2.3.12)
117

so‘ngra
dρ
11
(λ)
dλ
=
(
s(π,λ)
πσ
k
√
4−∆
2
(λ)
,
λ ∈ E,
0,
λ /
∈ E,
dρ
12
(λ)
dλ
=
(
s
0
(π,λ)−c(π,λ)
2πσ
k
√
4−∆
2
(λ)
, λ ∈ E,
0,
λ /
∈ E,
dρ
22
(λ)
dλ
=
(
−c
0
(π,λ)
πσ
k
√
4−∆
2
(λ)
,
λ ∈ E,
0,
λ /
∈ E
(2.3.13)
tengliklarni topamiz. Bu yerda σ
k
= 1, yoki σ
k
= −1, hamda E = [λ
0
, λ
1
] ∪
[λ
2
, λ
3
]∪...∪[λ
2n
, λ
2n+1
]∪... . (2.3.13) tengliklar bilan aniqlangan ρ
ij
(λ), i, j = 1, 2
funksiyalarni mos ravishda (2.3.5) yoyilmaga qo‘yib, ixtiyoriy f (x) ∈ C
∞
0
(R)
funksiyaning c(x, λ) va s(x, λ) bazis yechimlarga mos keluvchi ushbu
f (x) =
1
π
R
E
½
F (λ)
s(π,λ)
σ
k
√
4−∆
2
(λ)
c(x, λ)+
+[F (λ)s(x, λ) + G(λ)c(x, λ)]
s
0
(π,λ)−c(π,λ)
2σ
k
√
4−∆
2
(λ)
−
−G(λ)
c
0
(π,λ)
σ
k
√
4−∆
2
(λ)
s(x, λ)}dλ
(2.3.14)
spektral yoyilmasini keltirib chiqaramiz. Bu yerda
p
4 − ∆
2
(λ) ildiz oldidagi σ
k
ishora spektrning birinchi (λ
0
, λ
1
) intervalida s(π, λ) funksiyaning ishorasi bilan
bir xil tanlanadi, jumladan σ
1
= 1 deb olinadi. Qolgan intervallarda
p
4 − ∆
2
(λ)
ildiz ishorasi analitik davom qildirish usuli yordamida aniqlanadi va ishoralarning
almashinib kelishiga ishonch hosil qilinadi.
Endi quyidagi muhim xususiy hol bilan tanishamiz.
Ta’rif 2.3.1. Agar biror N > 0 soni uchun λ
2j−1
< λ
2j
, j = 1, 2, ..., N ;
λ
2j−1
= λ
2j
, j ≥ N + 1 munosabatlar bajarilsa, u holda Xill tenglamasining
q(x)-potensialiga chekli zonali (N-zonali) deyiladi.
Agar ξ
1
< ξ
2
< ... va τ
0
< τ
1
< ... lar mos ravishda s(π, λ) = 0 hamda
c
0
(π, λ) = 0 tenglamalarning ildizlari bo‘lsa, u holda har bir chekli [λ
2n−1
, λ
2n
]
lakunada faqat bitta ξ
n
va τ yotadi, ya’ni ξ
n
va τ
n
∈ [λ
2n−1
, λ
2n
] bo‘lishi birinchi
bobning uchinchi paragrafida ko‘rsatilgan edi. Shuning uchun, agar λ
2j−1
= λ
2j
bo‘lsa, u holda ξ
j
= τ
j
= λ
2j−1
= λ
2j
bo‘lib, ushbu
s(π, λ) = P (λ)
∞
Q
j=N +1
³
1 −
λ
ξ
j
´
,
−c
0
(π, λ) = S(λ)
∞
Q
j=N +1
³
1 −
λ
ξ
j
´
,
1
4
£
4 − ∆
2
(λ)
¤
= R(λ)
Ã
∞
Q
j=N +1
³
1 −
λ
ξ
j
´
!
2
(2.3.15)
118

tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda