Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

λ) = 2 cos
2kπ
n
ko‘rinishda bo‘lib, y
1
(x, λ) va y
2
(x, λ)
yechimlar uchun
y
1
(x + π, λ) = ρ
n
1
y
1
(x, λ) =
·
exp
½
2kπ
n
i
¾¸
n
y
1
(x, λ) = y
1
(x, λ) ,
y
2
(x + π, λ) = ρ
n
2
y
2
(x, λ) =
·
exp
½
−2kπ
n
i
¾¸
n
y
2
(x, λ) = y
2
(x, λ) ,
munosabatlar bajariladi. Bundan ko‘rinadiki δ (λ) = 2 cos
2kπ
n
, 1 ≤ k ≤ n − 1
bo‘lganda y
1
(x, λ) va y
2
(x, λ) yechimlar π davrli bo‘ladi, ya’ni (1.4.1) tenglaman-
ing barcha yechimlari π davrli davriy funksiyalardan iborat bo‘ladi.
2) Agar ρ
1
(λ) = exp
n
(2k+1)π
n
i
o
va ρ
2
(λ) = exp
n
−(2k+1)π
n
i
o
ko‘rinishda
tanlasak, u holda δ (λ) = 2 cos
(2k+1)π
n
ko‘rinishda bo‘lib, y
1
(x, λ) va y
2
(x, λ)
yechimlar uchun ushbu
y
1
(x + π, λ) = ρ
n
1
y
1
(x, λ) = [exp {(2k + 1) πi}]y
1
(x, λ) = −y
1
(x, λ) ,
y
2
(x + π, λ) = ρ
n
2
y
2
(x, λ) = [exp {− (2k + 1) πi}]y
2
(x, λ) = −y
2
(x, λ) ,
tengliklar bajariladi. Bundan ko‘rinadiki, agar δ (λ) = 2 cos
(2k+1)π
n
, 1 ≤ k ≤ n−1
ko‘rinishda bo‘lsa, u holda (1.4.1) tenglamaning barcha yechimlari π antidavrli
funksiyalardan iborat bo‘ladi.
Demak, bu ikki holda ham, (1.4.1) Xill tenglamasining nomerlari n ga karrali
bo‘lmagan barcha chekli lakunalari yopilar ekan.
Boshqacha aytganda, agar δ (λ) = 2 cos
2kπ
n
, 1 ≤ k ≤ n − 1 ko‘rinishda
bo‘lsa, ∆ (λ) − 2 = 0 tenglamaning nomerlari n ga karrali bo‘lmagan barcha
ildizlari ikki karrali bo‘ladi, ya’ni (1.4.1) tenglamaga qo‘yilgan π davrli davriy
chegaraviy masalani nomerlari n ga karrali bo‘lmagan barcha xos qiymatlari ikki
karrali bo‘ladi.
Agar δ (λ) = 2 cos
(2k+1)
n
π, 1 ≤ k ≤ n − 1 ko‘rinishda bo‘lsa, u holda
∆ (λ)+2 = 0 tenglamaning nomerlari n ga karrali bo‘lmagan barcha ildizlari ikki
karrali bo‘ladi, ya’ni (1.4.1) tenglamaga qo‘yilgan π davrli yarimdavriy chegaraviy
68

masalaning nomerlari n ga karrali bo‘lmagan barcha xos qiymatlari ikki karrali
bo‘ladi.
Yuqoridagi mulohazalardan
∆ (λ) − 2 =
n−1
Y
k=0
·
δ (λ) − 2 cos
2kπ
n
¸
,
∆ (λ) + 2 =
n−1
Y
k=0
·
δ (λ) − 2 cos
(2k + 1) π
n
¸
,
(1.4.21)
tengliklar kelib chiqadi. Bu tengliklar yordamida ∆
2
(λ) − 4 vaδ
2
(λ) − 4 lar
orasidagi ushbu
∆
2
(λ) − 4 =
£
δ
2
(λ) − 4
¤
·
n−1
Y
k=1
·
δ (λ) − 2 cos
kπ
n
¸
2
(1.4.22)
bog‘lanishni topish mumkin.
Haqiqatan ham
∆
2
(λ) − 4 =
n−1
Q
k=0
£
δ (λ) − 2 cos
2kπ
n
¤
·
h
δ (λ) − 2 cos
(2k+1)
n
π
i
=
= [δ (λ) − 2] ·
n−1
Q
k=1
£
δ (λ) − 2 cos
2kπ
n
¤
·
n−1
Q
k=0
h
δ (λ) − 2 cos
(2k+1)
n
π
i
=
= [δ (λ) − 2] ·
2n−1
Q
k=1
£
δ (λ) − 2 cos
kπ
n
¤
=
= [δ (λ) − 2] ·
n−1
Q
k=1
£
δ (λ) − 2 cos
kπ
n
¤
·
2n−1
Q
k=n
£
δ (λ) − 2 cos
kπ
n
¤
=
= [δ (λ) − 2] ·
n−1
Q
k=1
£
δ (λ) − 2 cos
kπ
n
¤
·
1
Q
m=n
h
δ (λ) − 2 cos
(2n−m)π
n
i
=
= [δ (λ) − 2] ·
n−1
Q
k=1
£
δ (λ) − 2 cos
kπ
n
¤
·
1
Q
m=n
£
δ (λ) − 2 cos
mπ
n
¤
=
= [δ (λ) − 4] ·
n−1
Q
k=1
£
δ (λ) − 2 cos
kπ
n
¤
2
.
Agar nomerini n ga bo‘lganda qoldiqda k hosil bo‘ladigan lakunaning chet-
ki nuqtasi ˜
λ bo‘lsa, u holda δ
³
˜
λ
´
− 2 cos
2kπ
n
= 0 tenglik bajariladi. (1.4.22)
tenglikdan
∆
2
³
˜
λ
´
− 4 = 0 va ˙
∆
³
˜
λ
´
=
d∆ (λ)
dλ
¯
¯
¯
¯
λ=˜
λ
= 0
tengliklar kelib chiqadi. Bu esa yuqorida qayd etilgan lakunaning yopilishini
bildiradi.
69

(1.4.22) tenglikdan δ (λ) = 2 cos
2kπ
n
, k = 1, n − 1 sonlar ∆
2
(λ) − 4 = 0
tenglamaning ikki karrali ildizlari ekani ko‘rinib turibdi. Shuning uchun δ (λ)
ning bunday qiymatlarida
∆
2
(λ) − 4 = 0 va
d
dδ
¡
∆
2
(λ) − 4
¢
= 0
munosabatlar o‘rinli. Bulardan
∆ (λ) 6= 0 va 2∆ (λ)
d∆ (λ)
dδ (λ)
= 0
ekanligi kelib chiqadi. Bu esa o‘z navbatida δ (λ) = 2 cos
2kπ
n
, k = 1, n − 1 sonlar
d∆(λ)
dδ(λ)
= 0tenglamaning ildizlari ekanini ko‘rsatadi. (1.4.21) dan ko‘rinadiki
d∆(λ)
dδ(λ)
funksiya δ (λ) ga nisbatan ko‘phad bo‘lib, uning bosh hadi nδ
n−1
ga teng.
Demak
d∆ (λ)
dδ (λ)
= n
n−1
Y
k=1
·
δ (λ) − 2 cos
kπ
n
¸
.
Bunda (1.4.22) tenglikni etiborga olsak, oxirgi tenglama quyidagi ko‘rinishni
oladi:
d∆ (λ)
dδ (λ)
= n
s
4 − ∆
2
(λ)
4 − δ
2
(λ)
.
(1.4.23)
Bu yerda ildiz kompleks ma’noda tushuniladi.
Agar (1.4.1) Xill tenglamasining ∆ (λ) Lyapunov funksiyasi quyidagi
∆ (λ) = 2 cos α (λ)
(1.4.24)
ko‘rinishda bo‘lsa, u holda (1.4.23) differensial tenglamadan
δ (λ) = 2 cos
α (λ)
n
(1.4.25)
tenglik kelib chiqadi.
Haqiqatan ham (1.4.24)tenglikni (1.4.23) tenglamaga qo‘yib,
−2[sin α (λ)] · ˙α (λ) dλ
dδ (λ)
= n
2
p
1 − cos
2
α (λ)
p
4 − δ
2
(λ)
,
−dα (λ) = n
dδ (λ)
p
4 − δ
2
(λ)
,
ekanini topamiz. Oxirgi tenglikni integrallab
α (λ) = n arccos
δ (λ)
2
,
70

δ (λ) = 2 cos
α (λ)
n
tengliklarga ega bo‘lamiz. Shunday qilib, teoremaning zaruriy qismi isbotlandi.
Teoremaning yetarlilik qismining isbotini X.Xoxshtadtning [345] ishidan o‘rganish
mumkin.
5-§. X.Xoxshtadt teoremalari
Bu paragrafda Xill tenglamasining q(x + π) = q(x) ∈ L
1
(0, π) potensiali
va uning ayrim lakunalarining yopilishi orasidagi bog‘lanishlarni o‘rganamiz. Shu
maqsadda absolyut uzluksiz funksiyalar haqidagi quyidagi tasdiqni keltiramiz.
Lemma 1.5.1. Agar π davrli q(x) funksiya [0, π] oraliqda integrallanuvchi
bo‘lib,
a
n
=
1
π
π
Z
0
q(x)e
−2inx
dx = O
µ
1
n
2
¶
bo‘lsa, u holda q(x) ∈ AC[0, π] - absolyut uzluksiz funksiya bo‘ladi.
Isbot. f (x) funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:
f (x) =
∞
X
n=−∞
a
n
e
2inx
.
Bu tenglikda a
n
= O
¡
1
n
2
¢
bo‘lgani uchun, qator yig‘indisi f (x) uzluksiz funksiya
bo‘ladi. Endi f (x) − q(x) funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:
1
π
π
Z
0
[f (x) − q(x)]e
−2inx
dz =
1
π
π
Z
0
f (x)e
−2inx
dx−
1
π
π
Z
0
q(x)e
−2inx
dx = a
n
−a
n
= 0.
Bundan f (x) = q(x) ekanligi kelib chiqadi. Ushbu
f
1
(x) =
∞
X
n=−∞
2ina
n
e
2inx
funksiyani qaraylik. Yuqoridagi qatorning koeffitsiyenti uchun na
n
= O
¡
1
n
¢
ba-
holash o‘rinli bo‘lgani sababli, Riss-Fisher teoremasiga ko‘ra, kvadrati bilan inte-
grallanuvchi shunday davriy funksiya topiladiki, bunda
π
Z
0
|f
1
(x)|
2
dx =
∞
X
n=−∞
|2ina
n
|
2
= 4
∞
X
n=−∞
|na
n
|
2
< ∞
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda f
1
(x + π) = f
1
(x), f
1
(x) ∈ L
2
(0, π) bo‘lgani
uchun Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko‘ra f
1
(x) ∈ L
1
(0, π) bo‘ladi.
71

Endi f
1
(x) funksiyani ushbu
f
1
(x) = S
N
(x) + R
N
(x)
ko‘rinishda yozib olamiz. Bunda
S
N
(x) =
N
X
n=−N
2ina
n
e
2inx
, R
N
(x) =
X
|n|>N
2ina
n
e
2inx
.
L
2
(0, π) fazodagi norma ta’rifiga ko‘ra, quyidagi
°
°
°
°
°
°
x
Z
0
f
1
(t)dt − f (x) + f (0)
°
°
°
°
°
°
≤
°
°
°
°
°
°
x
Z
0
S
N
(t)dt − f (x) + f (0)
°
°
°
°
°
°
+
°
°
°
°
°
°
x
Z
0
R
N
(t)dt
°
°
°
°
°
°
=
=
°
°
°
°
°
°
X
|n|>N
a
n
(1 − e
2inx
)
°
°
°
°
°
°
+
v
u
u
u
t
π
Z
0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x
Z
0
R
N
(t)dt
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
dx ≤
≤
s
2π
X
|n|>N
|a
n
|
2
+
v
u
u
u
t
π
Z
0
x
x
Z
0
|R
N
(t)|
2
dtdx ≤
≤
s
2π
X
|n|>N
|a
n
|
2
+
π
√
2
kR
N
k =
s
2π
X
|n|>N
|a
n
|
2
+
π
√
2
s X
|n|>N
4n
2
|a
n
|
2
baholashni topamiz. Bundan
f (x) = f (0) +
x
Z
0
f
1
(t)dt
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikda f (x) = q(x) ekanini e’tiborga olsak,
q(x) = f (0) +
x
Z
0
f
1
(t)dt, f
1
(x) ∈ L
1
(0, π)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Oxirgi tenglik q(x) ning absolyut uzluksiz funksiya ekanini
ko‘rsatadi.
Teorema 1.5.1. (X. Xoxshtadt, [340]). Agar Xill tenglamasining poten-
siali
π
R
0
q(x)dx = 0 shartni qanoatlantirib, uning barcha chekli lakunalar yopilsa,
u holda q(x) = 0 bo‘ladi.
72

Isbot. Xill tenglamasining barcha chekli lakunalarining yopilishidan
λ
0
1
= λ
0
2
, λ
1
= λ
2
, λ
0
3
= λ
0
4
, ...
tengliklar kelib chiqadi. Bu yerda λ
j
, j ≥ 0 lar ∆(λ) − 2 = 0 tenglamaning
ildizlari. Bu yerda λ = λ
0
oddiy ildiz bo‘lib, qolgan barcha ildizlar ikki karrali.
λ
0
j
, j ≥ 1 lar esa ∆(λ) + 2 = 0 tenglamaning ildizlari bo‘lib, ularning hammasi
ikki karrali. Shuning uchun ∆
2
(λ) − 4 = 0 tenglamaning λ
0
dan boshqa barcha
ildizlari ikki karrali bo‘ladi. Bundan ushbu
˙
∆
2
(λ) va
4 − ∆
2
(λ)
λ − λ
0
1
2
tartibli butun funksiyalarning ikkalasi ham λ
0
1
, λ
1
, λ
0
2
, λ
2
, ... nuqtalarda
nolga aylanishi kelib chiqadi. Kompleks tahlildagi butun funksiyalar haqidagi
teoremalarga asoslanib, ushbu
˙
∆
2
(λ) = K
4 − ∆
2
(λ)
λ − λ
0
, K = const
(1.5.1)
tenglikni yozish mumkin. Endi ∆(λ) ni ushbu
∆(λ) = 2 cos α(λ)
ko‘rinishda olib, uning hosilasini topamiz:
˙
∆(λ) = −2 sin α(λ) · ˙α(λ) = −2
p
1 − cos
2
α(λ) · ˙α(λ) = −2
r
1 −
∆
2
(λ)
4
· ˙α(λ),
˙
∆(λ) = −
p
4 − ∆
2
(λ) · ˙α(λ).
Oxirgi ifodani (1.5.1) tenglikka qo‘yib, ushbu
[4 − ∆
2
(λ)] · ˙α
2
(λ) = K
4 − ∆
2
(λ)
λ − λ
0
tenglikni topamiz. Bundan
˙α
2
(λ) =
K
λ − λ
0
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikni integrallab,
α(λ) = 2
p
K(λ − λ
0
) + α
0
ifodani hosil qilamiz. Demak,
∆(λ) = 2 cos [2
p
K(λ − λ
0
) + α
0
]
bo‘ladi. Bu yerda ∆(λ
0
) = 2 tenglikdan foydalanib, α
0
= 0 ni topamiz. Shunday
qilib, qaralayotgan holda Lyapunov funksiyasi
∆(λ) = 2 cos [2
p
K(λ − λ
0
)]
(1.5.2)
73

ko‘rinishda bo‘lar ekan. ∆(λ) uchun
∆(λ) = 2 cos
√
λπ +
sin
√
λπ
√
λ


π
Z
0
q(t)dt

 + O
µ
1
λ
¶
(1.5.3)
asimptotik formulaning o‘rinli ekanligi I bobda ko‘rsatilgan edi. Agar (1.5.2) va
(1.5.3) ifodalarni o‘zaro tenglasak, avvalo 2
√
K = π tenglik, so‘ngra
cos π
p
λ − λ
0
= cos
√
λπ +
sin
√
λπ
2
√
λ


π
Z
0
q(t)dt

 + O
µ
1
λ
¶
tenglik kelib chiqadi. Oxirgi tenglik faqat λ
0
= 0 bo‘lgandagina bajarilishi
mumkin. Demak, Xill tenglamasiga qo‘yilgan (1.4.2) davriy chegaraviy masalan-
ing birinchi xos qiymati λ
0
= 0 ekan. Endi lemma 1.2.3 dan, ya’ni ushbu
λ
0
=
1
π
π
Z
0
q(x)dx −
1
π
π
Z
0
µ
y
0
0
(x)
y
0
(x)
¶
2
dx
tenglikdan foydalanamiz. Bu yerda y
0
(x) orqali λ
0
xos qiymatga mos keluvchi
xos funksiya belgilangan. Bu tenglikdan y
0
0
(x) ≡ 0, ya’ni y
0
(x) = c = constekani
kelib chiqadi. Buni −y
00
+ q(x)y
0
= 0 tenglamaga qo‘yib, q(x) = 0 bo‘lishini
topamiz.
Endi, teorema 1.5.1 isbotining ikkinchi usulini bayon qilamiz. Buning uchun
(1.3.4) siljigan argumentli Xill tenglamasining (1.3.5) boshlang‘ich shartlarni
qanoatlantiruvchi θ(x, λ, t) va ϕ(x, λ, t) bazis yechimlarini olamiz. Bu yechim-
lar yordamida aniqlangan (1.3.4) tenglamaning ∆(λ, t) = θ(π, λ, t) + ϕ
0
(π, λ, t)
Lyapunov funksiyasi, t parametrga bog‘liq bo‘lmasligi, ya’ni ∆(λ, t) = ∆(λ)
bo‘lishi teorema 1.3.3 da ko‘rsatilgan edi. Bundan esa siljigan argumentli (1.3.4)
Xill tenglamasiga qo‘yilgan davriy (y(0) = y(π), y
0
(0) = y
0
(π)) va yarimdavriy
(y(0) = −y(π), y
0
(0) = −y
0
(π)) chegaraviy masalalarning xos qiymatlari mos
ravishda λ
j
(t) , j ≥ 0 va λ
0
j
(t) , j ≥ 1 larning t parametrga bog‘liq emasligi kelib
chiqadi, ya’ni λ
j
(t) = λ
j
, j ≥ 0, λ
0
j
(t) = λ
0
j
, j ≥ 1.
Agar siljigan argumentli (1.3.4) Xill tenglamasiga qo‘yilgan Dirixle
(y(0) = y(π) = 0) va Neyman (y
0
(0) = y
0
(π) = 0) chegaraviy masalalarining xos
qiymatlarini mos ravishda ξ
j
(t), j ≥ 1 va η
j
(t), j ≥ 0 orqali belgilasak, u
holda ular (1.4.1) Xill tenglamasining lakunalarida bittadan yotishi teorema
1.3.1 da ko‘rsatilgan edi. Teorema 1.5.1 ning shartlari bajarilganda, ya’ni (1.4.1)
Xill tenglamasining barcha chekli lakunalarining yo‘qolishidan (yopilishidan) t
parametrning barcha qiymatlarida quyidagi munosabatlarning
ξ
2j−1
(t) = η
2j−1
(t) = λ
0
2j−1
= λ
0
2j
; ξ
2j
(t) = η
2j
(t) = λ
2j−1
= λ
2j
, j ≥ 1,
74

η
0
(