Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

n
, n ≥ 2. U holda (1.7.1) yoyilma quyidagi
2 + ∆(λ) = (λ
1
− λ
2
)(λ − λ
2
)f
2
(λ)
(1.7.3)
ko‘rinishni oladi. Bu yerda
f (λ) = π
∞
Y
n=1
λ
2n
− λ
(2n + 1)
2
butun funksiya.
Quyidagi
F (x, λ) =
s(x + π, λ) + s(x, λ)
f (λ)
funksiya ham, har bir tayinlangan x larda λ bo‘yicha butun funksiya bo‘lishini
ko‘rsatamiz. Buning uchun ushbu
s(x + π, λ) = s(π, λ)c(x, λ) + s
0
(π, λ)s(x, λ)
yoyilmadan foydalanib, F (x, λ) funksiyani quyidagicha yozib olamiz:
F (x, λ) =
s(π, λ)
f (λ)
c(x, λ) +
s
0
(π, λ) + 1
f (λ)
s(x, λ).
(1.7.4)
Ma’lumki, λ soni ∆(λ) + 2 = 0 tenglamaning ikki karrali ildizi bo‘lsa, u holda
s(π, λ) = 0, s
0
(π, λ) = −1 tengliklar bajariladi. (1.7.4) tenglikka ko‘ra maxrajn-
ing ildizlari, suratning ham ildizlari bo‘ladi. Bundan F (x, λ) funksiyaning tayin-
langan x larda λ o‘zgaruvchiga nisbatan butun funksiya bo‘lishi kelib chiqadi.
89

Endi, ushbu
F (−
π
2
, λ) =
s(
π
2
, λ) + s(−
π
2
, λ)
f (λ)
butun funksiyani asimptotikasini o‘rganamiz. Buning uchun (1.6.9) asimptotik
formulalardan foydalanamiz. Bu asimptotikalarni aniqlashtirish maqsadida q(x)
funksiyani yetarli darajada differensiallanuvchi deb faraz qilsak, quyidagi
∆(λ) + 2 = 4 cos
2 kπ
2
+
sin
kπ
2
cos
kπ
2
2k
3
π
R
0
q
2
(x)dx+
+2
sin
kπ
2
cos
kπ
2
8k
5
·
π
R
0
q
3
(x)dx +
π
R
0
q
02
(x)dx
¸
+ O(
e
|kπ|
k
6
) ,
s(x, λ) =
sin kx
k
−
cos kx
2k
2
a(x) +
sin kx
4k
3
h
q(x) + q(0) −
a
2
(x)
2
i
+
+
cos kx
8k
4
·
a
3
(x)
3!
−
x
R
0
q
2
(t)dt − a(x)(q(x) + q(0)) + q
0
(x) − q
0
(0)
¸
+
+
sin kx
16k
5
·
a
4
(x)
4!
− a(x)
x
R
0
q
2
(t)dt +
5
2
(q
2
(x) + q
2
(0)) + q(x)q(0)−
−q
00
(x) + q
00
(0) + a(x)(q
0
(x) − q
0
(0)) −
a
2
(x)
2
(q(x) + q(0))
i
+ O
³
e
|Imk |x
k
6
´
(1.7.5)
asimptotikalarga ega bo‘lamiz.
(1.6.9) asimptotik formulalarga ko‘ra quyidagi
s(
π
2
, λ) + s(−
π
2
, λ) =
cos
kπ
2
k
2
h
−a(
π
2
) +
1
k
n
q
0
(
π
2
)−q
0
(0)
4
−
q(
π
2
)a(
π
2
)
4
−
−
q(0)a(
π
2
)
4
+
a
3
(
π
2
)
4!
−
1
8
π
2
R
0
q
2
(x)dx −
1
8
−
π
2
R
0
q
2
(x)dx
)#
+ O
µ
e
|
kπ
2
|
k
5
¶
.
(1.7.6)
asimptotikaga ega bo‘lamiz. (1.7.3) yoyilmadan, ushbu
f (λ) = (λ − λ
1
)
−
1
2
(λ − λ
2
)
−
1
2
(2 + ∆(λ))
1
2
(1.7.7)
tenglikni hosil qilamiz. Endi, ushbu (1 + x)
α
= 1 + α x + O(x
2
), x → 0 asimp-
totikadan foydalanib quyidagi
(λ − λ
1
)
−
1
2
= (k
2
− λ
1
)
−
1
2
=
1
k
+
λ
1
2k
3
+ O(
1
k
5
),
(λ − λ
2
)
−
1
2
= (k
2
− λ
1
)
−
1
2
=
1
k
+
λ
2
2k
3
+ O(
1
k
5
),
(1.7.8)
(λ − λ
1
)
−
1
2
(λ − λ
2
)
−
1
2
=
1
k
2
+
λ
1
+ λ
2
2k
4
+ O(
1
k
5
)
90

baholarni keltirib chiqaramiz. (1.7.5) va (1.7.8) ifodalarni (1.7.7) tenglikka qo‘yib
quyidagi asimptotik formulani topamiz:
f (λ) =
2 cos
kπ
2
k
2
+
cos
kπ
2
k
4
(λ
1
+ λ
2
) +
sin
kπ
2
8k
5
π
Z
0
q
2
(x)dx + O
Ã
e|
kπ
2
|
k
6
!
.
(1.7.9)
U holda (1.7.9) asimptotik formulaga ko‘ra
lim
|λ|→∞
F (−
π
2
, λ) = −
a(
π
2
)
2
tenglik o‘rinli. Bundan F (−
π
2
, λ) butun funksiyaning chegaralangan ekanligi kelib
chiqadi. Liuvill teoremasiga ko‘ra chegaralangan butun funksiya o‘zgarmasdan
iborat bo‘ladi. Demak, F (−
π
2
, λ) = −
1
2
a(
π
2
), ya’ni
s(
π
2
, λ) + s(−
π
2
, λ) = −
1
2
a(
π
2
)f (λ).
(1.7.6) va (1.7.9) asimptotik formulalarga asosan
q
0
(
π
2
)−q
0
(0)
4
−
q(
π
2
)a(
π
2
)
4
−
q(0)a(
π
2
)
4
+
a
3
(
π
2
)
4!
−
−
1
8
π
2
R
0
q
2
(x)dx −
1
8
−
π
2
R
0
q
2
(x)dx = −
λ
1
+λ
2
2
a(
π
2
).
(1.7.10)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Agar q(x) funksiya o‘rnida q(x + τ ) funksiyani qarasak va
yarimdavriy chegaraviy masalaning xos qiymatlari τ ga bog‘liq emasligini hisobga
olsak, (1.7.10) tenglik quyidagi ko‘rinishni oladi:
q
0
(x+
π
2
)−q
0
(x)
4
−
q(x+
π
2
)a(x+
π
2
)
4
−
q(x)a(x+
π
2
)
4
+
a
3
(x+
π
2
)
4!
−
−
1
8
x+
π
2
R
x
q
2
(t)dt −
1
8
x−
π
2
R
x
q
2
(t)dt = −
λ
1
+λ
2
2
a(x +
π
2
) .
Nihoyat, q(x) = q
e
(x) + I
0
(x) va a(x +
π
2
) = −2I(x) ekanligidan foydalansak,
(1.7.2) formulaga ega bo‘lamiz.
Yetarliligi. Faraz qilaylik, q(x) funksiya (1.7.2) tenglikni qanoatlantirsin. U
holda (1.4.1) Xill tenglamasi uchun qo‘yilgan yarimdavriy chegaraviy masalaning
λ
1
va λ
2
lardan boshqa barcha xos qiymatlari ikki karrali bo‘lishini ko‘rsatamiz.
(1.7.2) tenglikni differensiallab va
I
2
ga ko‘paytirib, quyidagi
(q
e
I
2
)
0
= (λ
1
+ λ
2
)II
0
+ I
0
I
3
+
II
000
2
tenglikni topamiz. Bu tenglikni integrallab, quyidagi
q
e
(x) =
λ
1
+ λ
2
2
+
I
2
(x)
4
+
2I(x)I
00
(x) − I
02
(x) + 4a
2
4I
2
(x)
(1.7.11)
91

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerda 4a
2
shunday tanlanadiki, I = 0 bo‘ladigan
barcha nuqtalarda I
0
= 4a
2
qilib olinadi. Natijada q
e
(x) funksiya regulyar bo‘ladi.
Endi quyidagi
y
00
+
·
λ − I
0
(x) +
I
2
(x)
4
−
2I(x)I
00
(x) − I
02
(x) + 4a
2
4I
2
(x)
¸
y = 0
(1.7.12)
tenglamani (y(0) = −y(π), y
0
(0) = −y
0
(π)) yarimdavriy chegaraviy shart bilan
birga qaraymiz. Bu yerda λ =
λ
1
+λ
2
2
= 0 deb olinadi. Yarimdavriy chegaraviy
masalaning har bir xos qiymati ikki karrali ekanligini ko‘rsatish uchun, bitta xos
qiymatga ikkita yarimdavriy, chiziqli erkli yechimlar mavjudligini ko‘rsatishimiz
yetarli. Dastlab quyidagi lemmani isbot qilamiz.
Ushbu
T y(x) ≡ f (x)y(x +
π
2
) + I(x)y
0
(x +
π
2
)
tenglik bilan aniqlangan T almashtirishni qaraymiz. Bu yerda
f (x) = −
1
2
(2λ + I
0
(x) − I
2
(x)).
(1.7.13)
Lemma 1.7.1. Agar y
1
(x) = y(x) funksiya (1.7.12) tenglamani qanoatlantir-
sa, u holda ushbu
y = y
2
(x) = T y(x)
(1.7.14)
funksiya ham (1.7.12) tenglamani qanoatlantiradi.
Isbot. y
2
(x) funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini
hisoblaymiz:
y
0
2
(x) = f
0
(x)y(x +
π
2
) + f (x)y
0
(x +
π
2
) + I
0
(x)y
0
(x +
π
2
) + I(x)y
00
(x +
π
2
) =
= f
0
(x +
π
2
)y(x +
π
2
) + (f (x) + I
0
(x))y
0
(x +
π
2
)+
+I(x)
½
−I
0
+
I
2
4
+
2II
00
− I
02
+ 4a
2
4I
2
− λ
¾
y(x +
π
2
) =
=
½
f
0
(x +
π
2
) − II
0
−
I
3
4
+
2II
00
− I
02
+ 4a
2
4I
λI
¾
y(x +
π
2
)+
+{f (x) + I
0
(x)}y
0
(x +
π
2
) =
=
½
I
00
(x)
2
+ I(x)I
0
(x) − II
0
−
I
3
4
+
I
00
2
+
4a
2
− I
02
4I
− λI
¾
y(x +
π
2
)+
+{f (x) + I
0
(x)}y
0
(x +
π
2
) ;
y
00
2
(x) =
½
I
000
−
3I
2
I
0
4
+
−2I
0
I
00
I − (4a
2
− I
02
)I
4I
2
− λI
0
¾
y =
92

= −
½
λ − I
0
(x) −
I
2
(x)
4
−
2I
0
(x)I
00
(x) − I
02
(x) + 4a
2
4I
2
(x)
¾
×
×
³
f (x)y(x +
π
2
) + I(x)y
0
(x +
π
2
)
´
.
(1.7.12) tenglamadan foydalanib, quyidagi tengliklarni topamiz:
g(x) = −
½
I
0
(x) +
I
2
(x)
4
+
2I
0
(x)I
00
(x) − I
02
(x) + 4a
2
4I
2
(x)
− λ
¾
;
g(x +
π
2
) = −
½
−I
0
+
I
2
4
+
2I
0
I
00
− I
02
+ 4a
2
4I
2
− λ
¾
;
y
0
2
= f
0
(x)y(x +
π
2
) + f (x)y
0
(x +
π
2
) + I
0
(x)y
0
(x +
π
2
) + I(x)g(x +
π
2
)y(x +
π
2
)
y
00
2
= g(x)y
0
2
(x) = q(x)
³
f (x)y(x +
π
2
) + I(x)y
0
(x +
π
2
)
´
=
= f (x)g(x)y(x +
π
2
) + I(x)g(x)y
0
(x +
π
2
);
y
00
2
= f
00
(x)y(x +
π
2
) + f
0
(x)y
0
(x +
π
2
) + f
0
(x)y
0
(x +
π
2
)+
+f (x)g(x +
π
2
)y(x +
π
2
) + I
00
(x)y
0
(x +
π
2
) + I
0
(x)g(x +
π
2
)y(x +
π
2
)+
+
³
I
0
g(x +
π
2
) + Ig
0
(x +
π
2
)
´
y(x +
π
2
) + I(x)g(x +
π
2
)y(x +
π
2
) =
= {f
00
(x) + f (x)g(x +
π
2
) + I
0
(x)g(x +
π
2
) + I
0
(x)g(x +
π
2
)+
+I(x)g
0
(x +
π
2
)
o
y(x +
π
2
) +
n
2f
0
(x) + I
00
(x) + I(x)g(x +
π
2
)
o
y
0
(x +
π
2
);
2f
0
(x) + I
00
(x) + I(x)g(x +
π
2
) = 2
µ
−
I
00
2
+
2II
0
2
¶
= −I
00
+ 2II
0
+ I
00
+
+I
µ
−I
0
+
I
2
4
+
2II
00
− I
02
+ 4a
2
4I
2
− λ
¶
= I
½
2I
0
− I
0
+
2II
00
− I
02
+ 4a
2
4I
2
− λ
¾
=
= I
µ
I
0
+
I
2
4
+
2II
00
− I
02
+ 4a
2
4I
2
− λ
¶
= I(x)g(x);
y
00
=
½
I
0
(x) +
I
2
(x)
4
+
2I(x)I
00
(x) − I
02
(x) + 4a
2
4I
2
(x)
− λ
¾
y = g(x)y(x);
y
00
(x +
π
2
) =
½
−I
0
(x) +
I
2
(x)
4
+
2I(x)I
00
(x) − I
02
(x) + 4a
2
4I
2
(x)
− λ
¾
y(x +
π
2
) =
= g(x +
π
2
)y(x +
π
2
);
93

y
00
(x +
π
2
) = [g(x) − 2I
0
(x)]y(x +
π
2
) = g(x)y(x +
π
2
) − 2I
0
(x)y(x +
π
2
);
y
0
2
= f
0
(x)y(x +
π
2
) + f (x)y
0
(x +
π
2
) + I
0
(x)y
0
(x +
π
2
) + I(x)g(x +
π
2
)y(x +
π
2
);
y
00
2
= f
00
(x)y(x +
π
2
) + f
0
(x)y
0
(x +
π
2
) + f
0
(x)y
0
(x +
π
2
) + f (x)g(x +
π
2
)y(x +
π
2
)+
+I
00
(x)y
0
(x+
π
2
)+I
0
(x)g(x+
π
2
)y(x+