Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

x + 16 sin
2
2x
¢
e
2−2 cos 2x
+ (8 + 8 cos 2x − 8 cos 4x) e
2−2 cos 2x
=
=
¡
−8 cos 2x − 16 sin
2
2x + 8 + 8 cos 2x − 8 cos 4x
¢
e
2−2 cos 2x
=
= −16 sin
2
2x + 8 − 8 cos 4x = 0
tenglik hosil bo‘ladi. Demak, berilgan funksiya yuqoridagi tenglamani qanoat-
lantiradi. Endi bu funksiya davriy chegaraviy shartlarni ham qanoatlantirishini
ko‘rsatamiz:
y
0
(0) = y
0
(π) = 1, y
0
0
(0) = y
0
0
(π) = 0.
Demak, y
0
(x) = e
2−2 cos 2x
funksiya
−y
00
+ (8 + 8 cos 2x − 8 cos 4x)y = λ
0
y
tenglama uchun qo‘yilgan davriy masalaning λ
0
= 0, eng kichik xos qiymatiga
mos keluvchi xos funksiya ekan.
Misol 5. Agar (1.4.1) tenglama uchun qo‘yilgan davriy chegaraviy masalan-
ing (y(0) = y(π), y
0
(0) = y
0
(π)) xos qiymatlari λ
0
< λ
1
≤ λ
2
< λ
3
≤ λ
4
< ...
bo‘lib, λ
2n−1
= λ
2n
, n > N bo‘lgan holda, (1.6.6) tasvirning analogini toping.
99

II BOB
Xill operatorining spektral yoyilmasi
Klassik matematik fizikada ixtiyoriy funksiyani ikkinchi tartibli oddiy dif-
ferensial tenglamaga qo‘yilgan chegaraviy masalaning xos funksiyalari bo‘yicha
Furye qatoriga yoyish masalasi muhim ro‘l o‘ynaydi. Bunda, qaralayotgan inter-
val chekli, differensial tenglama koeffitsiyentlari esa chegaralangan deb qaraladi.
Interval сheksiz yoki differensial tenglama koeffitsiyentlari maxsuslikka
ega bo‘lgan hollarda bu nazariyani umumlashtirish ancha murakkab masala
hisoblanadi. Bu masala asosan, Gilbert fazosida berilgan chiziqli operatorlarn-
ing spektral nazariyasi yaratilgandan keyin, 1910-yilda H.Weyl [45] tomonidan
batafsil hal qilindi.
E.Ch.Titchmarshning 1961-yilda chop qilingan [260] monografiyasida, yuqori-
da zikr etilgan masala rezolventani kontur bo‘yicha integrallash usuli yordamida
amalga oshirilgan.
E.Ch.Titchmarsh qo‘llagan usul ancha murakkab bo‘lib, o‘quvchidan kom-
pleks va funksional analiz fanlariga oid chuqur bilim va ko‘nikmaga ega bo‘lishni
talab qiladi.
Mazkur bobda Xill operatorining spektral yoyilmasi ancha soddaroq usul-
da, ya’ni B.M.Levitan [146] tomonidan taklif qilingan usulda keltirib chiqari-
ladi. Bu usulning afzalligi shundaki, butun o‘qda berilgan chegaraviy masala
uchun Parseval tengligini keltirib chiqarish maqsadida, avvalo, chekli (a, b) oraliq-
da berilgan regulyar chegaraviy masala uchun olingan Parseval tengligida biror
a
k
→ −∞, b
k
→ +∞, ketma-ketliklar bo‘yicha limitga o‘tish mumkinligi
asoslanadi.
Yuqorida zikr etilgan usul bir-biridan habarsiz holda K.Yosida [116] va
N.Levinson [125] tomonidan ham qo‘llanilgan. Bu usul boshqa usullarga qara-
ganda ancha soddaligi bilan ajralib turadi.
1-§. Floke yechimlari
Ushbu
−y
00
+ q(x)y = λy,
x ∈ R,
(2.1.1)
q(x + π) = q(x), x ∈ R
(2.1.1)
Xill tenglamasini qaraylik. Bu yerda q(x)- haqiqiy, πdavrli uzluksiz funksiya,
λ ∈ C - kompleks parametr.
100

Bu paragrafda λ parametrning har bir qiymatida (2.1.1) tenglama yechim-
laridan tuzilgan chiziqli fazoning tuzilishi o‘rganiladi ([103], [175]).
Agar y(x) funksiya (2.1.1) tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda (2.1.2) shart-
dan y(x + π) ham shu tenglamaning yechimi bo‘lishi kelib chiqadi. Umuman
olganda y(x + π) 6= y(x).
Avvalo, biz shunday nolmas ρ son va (2.1.1) tenglamaning ushbu
ψ(x + π, λ) = ρψ(x, λ), x ∈ R
(2.1.3)
shartni qanoatlantiruvchi ψ(x, λ) 6= 0 noldan farqli yechimining mavjudligini
ko‘rsatamiz. Shu maqsadda (2.1.1) tenglamaning quyidagi
c(0, λ) = 1, c
0
(0, λ) = 0; s(0, λ) = 0, s
0
(0, λ) = 1
(2.1.4)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini mos ravishda c(x, λ) va
s(x, λ) orqali belgilaymiz. U holda
W {c(x, λ), s(x, λ)} ≡ c(x, λ)s
0
(x, λ) − c
0
(x, λ)s(x, λ) = 1
(2.1.5)
tenglikning bajarilishi ravshan. Chunki
d
dx
W {c(x, λ), s(x, λ)} = 0.
Shuning uchun (2.1.1) tenglamaning umumiy yechimi
ψ(x, λ) = c
1
c(x, λ) + c
2
s(x, λ), c
j
= const j = 1, 2
(2.1.6)
ko‘rinishda bo‘ladi. O‘z navbatida c(x + π, λ) va s(x + π, λ) funksiyalar ham
(2.1.1) tenglamaning yechimlaridan iborat bo‘lgani uchun quyidagi
c(x + π, λ) = c(π, λ)c(x, λ) + c
0
(π, λ)s(x, λ),
s(x + π, λ) = s(π, λ)c(x, λ) + s
0
(π, λ)s(x, λ)
(2.1.7)
munosabatlar o‘rinli bo‘ladi. (2.1.6) tenglikni (2.1.3) shartga qo‘yib va (2.1.7)
munosabatdan foydalanib c
1
va c
2
o‘zgarmaslarga nisbatan
½
[c(π, λ) − ρ]c
1
+ c
2
s(π, λ) = 0,
c
1
c
0
(π, λ) + c
2
[s
0
(π, λ) − ρ] = 0
(2.1.8)
tenglamalar sistemasini keltirib chiqaramiz. Bu sistema noldan farqli yechimga
ega bo‘lishi uchun
¯
¯
¯
¯
c(π, λ) − ρ
c
0
(π, λ)
s(π, λ)
s
0
(π, λ) − ρ
¯
¯
¯
¯ = 0,
ya’ni
ρ
2
− ∆(λ)ρ + 1 = 0
(2.1.9)
101

bo‘lishi zarur va yetarli. Bu yerda ∆(λ) = c(π, λ) + s
0
(π, λ).
Yuqoridagi kvadrat tenglama noldan farqli ildizga ega ekanligidan (2.1.1)
tenglamaning (2.1.3) shartni qanoatlantiruvchi nolmas ψ(x, λ) yechimining
mavjudligi kelib chiqadi. (2.1.9) kvadrat tenglama ildizlarini ushbu
ρ
1,2
(λ) =
1
2
h
∆(λ) ±
p
∆
2
(λ) − 4
i
(2.1.10)
formula orqali aniqlaymiz. ρ
1
= ρ
1
(λ), ρ
2
= ρ
2
(λ) funksiyalarga (2.1.1)
tenglamaning multiplikatorlari deyiladi va ular uchun quyidagi



ρ
1
(λ)ρ
2
(λ) = 1,
ρ
1
(λ) + ρ
2
(λ) = ∆(λ),
ρ
1
(λ) − ρ
2
(λ) =
p
∆
2
(λ) − 4
(2.1.11)
munosabatlar o‘rinli bo‘ladi.
Agar berilgan λ ∈ C da ∆
2
(λ) − 4 6= 0 bo‘lsa, u holda (2.1.9) kvadrat
tenglama har xil nolmas ρ
1
= ρ
1
(λ), ρ
2
= ρ
2
(λ) ildizlarga ega bo‘lgani uchun
(2.1.1) tenglamaning chiziqli erkli ψ
1
(x, λ) va ψ
2
(x, λ) yechimlari mavjud bo‘lib,
ular
ψ
1
(x + π, λ) = ρ
1
ψ(x, λ), ψ
2
(x + π, λ) = ρ
2
ψ(x, λ)
shartlarni qanoatlantiradi.
Endi c
1
va c
2
o‘zgarmaslarga nisbatan (2.1.8) tenglamalar sistemasining bir-
inchisida c
1
= 1 desak, u holda
c
2
=
ρ(λ) − c(π, λ)
s(π, λ)
=
s
0
(π, λ) − c(π, λ) ∓
p
∆
2
(λ) − 4
2s(π, λ)
bo‘ladi. c
1
va c
2
o‘zgarmaslarning bu qiymatlarini (2.1.6) tenglikga qo‘yib
ψ
1,2
(x, λ) = c(x, λ) + m
1,2
(λ)s(x, λ)
(2.1.12)
ayniyatga ega bo‘lamiz. Bu yerda
m
1,2
(λ) =
s
0
(π, λ) − c(π, λ) ±
p
∆
2
(λ) − 4
2s(π, λ)
.
(2.1.13)
m
1,2
(λ)− funksiya Veyl-Titchmarshning m(λ) funksiyasidan iborat bo‘ladi.
Chunki, Xill tenglamasi uchun Veylning nuqtasi holi o‘rinli. ψ
1
(x, λ) va ψ
2
(x, λ)
funksiyalar berilgan (2.1.1) differensial tenglamaning chiziqli erkli yechimlaridan
iborat bo‘ladi. Bu yechimlardan tuzilgan Vronskiy determinanti uchun
W {ψ
1
(x, λ), ψ
2
(x, λ)} =
p
∆
2
(λ) − 4
s(π, λ)
=
ρ
2
(λ) − 1
ρ(λ)s(π, λ)
102

formula o‘rinli. ρ
1
(λ) = ρ(λ) deb belgilasak, u holda (2.1.11) tenglikdan
ρ
2
(λ) =
1
ρ(λ)
va
p
∆
2
(λ) − 4 =
ρ
2
(λ) − 1
ρ(λ)
tenglik kelib chiqadi
Qaralayotgan ∆
2
(λ) − 4 6= 0 holda, ρ
1
6= 0, ρ
2
6= 0 bo‘lgani uchun
e
πµ
1
= ρ
1
, e
πµ
2
= ρ
2
tengliklarni qanoatlantiruvchi µ
1
= µ
1
(λ) va µ
2
= µ
2
(λ) funksiyalar top-
iladi. Bunda, µ
j
, j = 1, 2, funksiyalarga (2.1.1) tenglamaning xarakteristik
ko‘rsatkichlari deyiladi.
Quyidagi
P
1
(x, λ) = e
−µ
1
x
ψ
1
(x, λ), P
2
(x, λ) = e
−µ
2
x
ψ
2
(x, λ)
(2.1.14)
tengliklar yordamida aniqlangan P
j
(x, λ), j
=
1, 2 funksiyalarning x
o‘zgaruvchiga nisbatan π davrli funksiyalar ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Haqiqatan ham,
P
1
(x + π, λ) = e
−µ
1
(x+π)
ψ
1
(x + π, λ) = e
−µ
1
(x+π)
ρ
1
ψ
1
(x, λ) =
= e
−µ
1
x
· e
−µ
1
π
· e
µ
1
π
· ψ
1
(x, λ) = P
1
(x, λ).
P
2
(x, λ) funksiyaning davriyligi ham xuddi shunday ko‘rsatiladi. (2.1.14) tenglik-
lardan ushbu
ψ
j
(x, λ) = e
µ
j
x
P
j
(x, λ), j = 1, 2
(2.1.15)
tasvirlar hosil bo‘ladi. Bu yerda
P
j
(x + π, λ) = P
j
(x, λ),
j = 1, 2.
(2.1.15) tengliklar orqali ifodalangan ψ
1
(x, λ) va ψ
2
(x, λ) funksiyalarga (2.1.1)
Xill tenglamasining Floke yechimlari deyiladi.
Shunday qilib, ∆
2
(λ) − 4 6= 0 holda (2.1.1) Xill tenglamasining umumiy
yechimi
y(x, λ) = c
1
e
µ
1
x
P
1
(x, λ) + c
2
e
µ
2
x
P
2
(x, λ)
(2.1.16)
ko‘rinishda ifodalanadi.
Agar λ ∈ R bo‘lsa, u holda q(x) funksiyaning haqiqiyligidan c(x, λ) va s(x, λ)
yechimlarning va o‘z navbatida ∆(λ) funksiyaning haqiqiyligi kelib chiqadi.
Mumkin bo‘lgan quyidagi hollarni batafsilroq o‘rganamiz:
1) Agar ∆(λ) > 2 bo‘lsa, u holda ρ
1
6= ρ
2
, ρ
1
> 0, ρ
2
> 0 bo‘lib, ρ
1
ρ
2
= 1
tenglikga asosan, shunday nolmas µ soni topilib,
ρ
1
= e
πµ
, ρ
2
= e
−πµ
(2.1.17)
103

munosabatlar bajariladi. Bu holda (2.1.1) tenglamaning umumiy yechimi
y(x, λ) = c
1
e
µ·x
P
1
(x, λ) + c
2
e
−µ·x
P
2
(x, λ)
(2.1.18)
ko‘rinishda bo‘ladi.
2) Agar ∆(λ) < −2 bo‘lsa, u holda ρ
1
6= ρ
2
, ρ
1
< 0, ρ
2
< 0 bo‘lib, ρ
1
ρ
2
= 1
tenglikga asosan, shunday nolmas µ soni topilib,
ρ
1
= e
π(µ+i)
, ρ
2
= e
−π(µ+i)
munosabatlar bajariladi. Bu holda (2.1.1) tenglamaning umumiy yechimi
y(x, λ) = c
1
e
(µ+i)·x
P
1
(x, λ) + c
2
e
−(µ+i)·x
P
2
(x, λ)
(2.1.19)
ko‘rinishda bo‘ladi.
3) Agar −2 < ∆(λ) < 2 bo‘lsa, u holda ρ
1
va ρ
2
sonlar har xil bo‘lib,
ular kompleks qo‘shma sonlar, ya’ni ρ
1
= ¯
ρ
2
bo‘ladi. Shuning uchun (2.1.11)
tenglamaning birinchisidan |ρ
1
| = |ρ
2
| = 1 ekanligi, bundan esa (2.1.1) Xill
tenglamasining umumiy yechimi
y(x, λ) = c
1
e
iα·x
P
1
(x, λ) + c
2
e
−iα·x
P
2
(x, λ)
(2.1.20)
ko‘rinishda bo‘lishi kelib chiqadi. Bu yerda ρ
1
= e
iαπ
, ρ
2
= e
−iαπ
, α = α(λ) -
haqiqiy son.
4) Agar ∆
2
(λ) − 4 = 0, ya’ni ∆(λ) = ±2 bo‘lsa, u holda
ρ
1
= ρ
2
= ρ =
½
1, agar ∆(λ) = 2,
−1, agar ∆(λ) = −2
(2.1.21)
bo‘lib, (2.1.1) Xill tenglamasi ushbu
ψ
1
(x + π, λ) = ρψ
1
(x, λ)
(2.1.22)
shartni qanoatlantiruvchi kamida bitta nolmas ψ
1
(x, λ) yechimga ega bo‘ladi.
Demak, (2.1.1) tenglama ∆(λ) = 2 bo‘lgan holda davriy (ψ
1
(x + π, λ) =
ψ
1
(x, λ)), ∆(λ) = −2 holda esa yarimdavriy (ψ
1
(x + π, λ) = −ψ
1
(x, λ))
yechimga ega bo‘ladi.
Agar ϕ(x, λ) orqali (2.1.1) tenglamaning ψ
1
(x, λ) yechimi bilan chiziqli erkli
bo‘lgan biror yechimini belgilasak, u holda ϕ(x + π, λ) ham Xill tenglamasining
yechimi bo‘ladi. Shuning uchun
ϕ(x + π, λ) = aψ
1
(x.λ) + bϕ(x, λ)
(2.1.23)
tenglik o‘rinli. Bu yerda a va b o‘zgarmas sonlardir. (2.1.22) va (2.1.23) tenglik-
lardan foydalanib, ushbu
W {ψ
1
(x + π, λ), ϕ(x + π, λ)} = ρbW {ψ
1
(x, λ), ϕ(x, λ)}
104

tenglikni hosil qilamiz. (2.1.1) tenglama yechimlaridan tuzilgan Vronskiy deter-
minanti x o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lmaganligi sababli, oxirgi tenglikdan
ρb = 1
ekanligini topamiz. Bu tenglikning ikkala tarafini ρ ga ko‘paytirib, ρ
2
b = ρ munos-
abatni hosil qilamiz va ρ
2
= 1 ekanligini etiborga olib, b = ρ ekanligini topamiz.
Natijada (2.1.23) tenglik
ϕ(x + π, λ) = aψ
1
(x.λ) + ρϕ(x, λ)
(2.1.24)
ko‘rinishni oladi.
Endi a = 0 va a 6= 0 bo‘lgan hollarni alohida tahlil qilamiz.
Agar a = 0 bo‘lsa, (2.1.24) tenglikdan
ϕ(x + π, λ) = ρϕ(x, λ)
(2.1.25)
ekanligini topamiz. (2.1.21), (2.1.22) va (2.1.25) tengliklardan, qaralayotgan holda
(2.1.1) tenglamaning barcha yechimlari ∆(λ) = 2 bo‘lganda π davrli y(x + π) =
y(x), ∆(λ) = −2 bo‘lganda esa π antidavrli y(x + π) = −y(x) funksiyalardan
iborat bo‘lishi kelib chiqadi.
a = 0 tenglik o‘rinli bo‘lishi uchun
c
0
(π, λ) = s(π, λ) = 0
(2.1.26)
bo‘lishi zarur va yetarli ekanini ko‘rsatamiz.
1) Agar a = 0 bo‘lsa, (2.1.1) tenglamaning barcha yechimlari π davrli, yoki
π antidavrli funksiyalardan iborat bo‘lishi yuqorida qayd qilingan edi. Xususan,
c(x, λ) va s(x, λ) yechimlar ham shu xususiyatga ega bo‘ladi, ya’ni
c(x + π, λ) = c(x, λ),
c
0
(x + π, λ) = c
0
(x, λ),
s(x + π, λ) = s(x, λ),
s
0
(x + π, λ) = s
0
(x, λ).
Bu tengliklarda x = 0 deb, (2.1.4) boshlang‘ich shartlardan foydalansak,
(2.1.26) shartlar kelib chiqadi.
2) Agar (2.1.26) shart bajarilsa, u holda 2ρ = c(π, λ) + s
0
(π, λ) bo‘ladi.
(2.1.21) va (2.1.5) tengliklardan foydalanib,
[c(π, λ) + s
0
(π, λ)]
2
= 4 · [c(π, λ)s
0
(π, λ) − c
0
(π, λ)s(π, λ)] = 4c(π, λ)s
0
(π, λ),
ya’ni
[c(π, λ) − s
0
(π, λ)]
2
= 0
tenglikni topamiz. Bundan c(π, λ) = s
0
(π, λ) = ρ bo‘lishi kelib chiqadi. Bu yerda
boshlang‘ich shartlarni e’tiborga olsak,
c(π, λ) = ρc(0, λ),
c
0
(π, λ) = ρc
0
(0, λ),
s(π, λ) = ρs(0, λ),
s
0
(π, λ) = ρs
0
(0, λ)
105

tengliklar hosil bo‘ladi. Shuning uchun (2.1.1) tenglamaning barcha yechimlari
y(x + π, λ) = ρ y(x, λ) shartni qanoatlantiradi. Xususan, ϕ(x, λ) yechim ham
shu xossaga ega bo‘ladi va (2.1.24) tenglikdan a = 0 kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, a 6= 0, ya’ni c
0
(π, λ) va s(π, λ) larning kamida bittasi noldan
farqli bo‘lsin. U holda (2.1.21) tenglikga asosan ρ
1
= ρ
2
= e
πµ
bo‘ladi. Bu yerda
µ =
½
0, agar ∆(λ) = 2,
i =
√
−1, agar ∆(λ) = −2.
Endi, ushbu
P
1
(x, λ) = e
−µ x
ψ
1
(x, λ),
P
2
(x, λ) = e
−µ x
ϕ(x, λ) −
a
πρ
xP
1
(x, λ)
(2.1.27)
funksiyalarning x o‘zgaruvchiga nisbatan π davrli funksiyalar bo‘lishini
ko‘rsatamiz:
P
1
(x + π, λ) = e
−µ(x+π)
ψ
1
(x + π, λ) = e
−µ(x+π)
ρψ
1
(x, λ) =
= e
−µ(x+π)
e
µπ
ψ
1
(x, λ) = P
1
(x, λ).
P
2
(x + π, λ) = e
−µ(x+π)
ϕ(x + π, λ) −
a
πρ
(x + π)P
1
(x +