Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

π, λ) =
= e
−µ(x+π)
[aψ
1
(x, λ) + ρϕ(x, λ)] −
a
πρ
xP
1
(x, λ) −
a
ρ
P
1
(x, λ) =
= ae
−µ(x+π)
ψ
1
(x, λ) + e
−µ(x+π)
ρϕ(x, λ) −
a
πρ
xP
1
(x, λ) −
a
ρ
P
1
(x, λ) =
= ae
−µ(x+π)
ψ
1
(x, λ) + e
−µ(x+π)
e
πµ
ϕ(x, λ) −
a
πρ
xP
1
(x, λ) −
a
ρ
P
1
(x, λ) =
= ae
−µπ
P
1
(x, λ) + e
−µ x
ϕ(x, λ) −
a
πρ
xP
1
(x, λ) −
a
ρ
P
1
(x, λ) = P
2
(x, λ).
Demak, bu holda (2.1.1) tenglama yechimlarining fundamental sistemasi ushbu
ψ
1
(x, λ) = e
µ x
P
1
(x, λ),
ϕ(x, λ) = e
µ x
½
P
2
(x, λ) +
a
πρ
x · P
1
(x, λ)
¾
ko‘rinishda bo‘lar ekan.
Xususan, ∆(λ) = 2 holda ρ
1
= ρ
2
= 1, µ = 0 bo‘lib, (2.1.1) tenglamaning
chiziqli erkli yechimlari
ψ
1
(x, λ) = P
1
(x, λ), ϕ(x, λ) = P
2
(x, λ) + x · ψ
1
(x, λ)
ko‘rinishda bo‘ladi. ∆(λ) = −2 holda esa ρ
1
= ρ
2
= −1, µ = i bo‘lib, (2.1.1)
tenglamaning chiziqli erkli yechimlari
ψ
1
(x, λ) = e
ix
P
1
(x, λ), ϕ(x, λ) = e
ix
P
2
(x, λ) + x · ψ
1
(x, λ)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Shunday qilib, λ ning tayinlangan qiymatida (2.1.1)+(2.1.2) Xill tenglamasi
uchun quyidagi Floke – Liyapunov teoremasi o‘rinli:
106

Teorema 2.1.1. (Floke-Liyapunov) Xill tenglamasi yechimlarining funda-
mental sistemasi
ψ
1
(x, λ) = e
µ
1
x
P
1
(x, λ),
ψ
2
(x, λ) = e
µ
2
x
P
2
(x, λ)
yoki
ψ
1
(x, λ) = e
µ
1
x
P
1
(x, λ),
ψ
2
(x, λ) = e
µ
1
x
[xP
1
(x, λ) + P
3
(x, λ)]
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu yerda P
j
(x, λ),
j = 1, 2, 3 - π davrli funksiyalar.
Ta’rif 2.1.1. Agar λ parametrning haqiqiy qiymatida (2.1.1) tenglaman-
ing barcha yechimlari (−∞, ∞) oraliqda chegaralangan bo‘lsa, (2.1.1) tenglama
turg‘un deyiladi, agar barcha nolmas yechimlar (−∞, ∞) oraliqda chegaralanma-
gan bo‘lsa, (2.1.1) tenglama turg‘unmas deyiladi, agar (2.1.1) tenglama chegar-
alangan nolmas yechimga ega bo‘lib, u bilan chiziqli erkli bo‘lgan yechim chegar-
alanmagan bo‘lsa, (2.1.1) tenglama shartli turg‘un deyiladi.
Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, λ ∈ R parametrning berilgan qiymatida |∆(λ)| <
2 bo‘lganda, (2.1.1) tenglama turg‘un, |∆(λ)| > 2 bo‘lganda esa turg‘unmas
bo‘ladi. Agar |∆(λ)| = 2 bo‘lsa, u holda c
0
(π, λ) = s(π, λ) = 0 bo‘lganda (2.1.1)
tenglama turg‘un, aks holda shartli turg‘un bo‘ladi.
Har bir tayinlangan x ∈ (−∞, ∞) da (2.1.1) tenglama bazis yechimlari
c(x, λ), s(x, λ) va ularning c
0
(x, λ),s
0
(x, λ) hosilalari λ ∈ C parametrning
1
2
tart-
ibli butun funksiyasi bo‘lgani sababli, ∆(λ) = c(π, λ) + s
0
(π, λ) ham
1
2
tartibli
butun funksiyasi bo‘lishi lemma 1.1.2 da ko‘rsatilgan edi. Xususan, ∆(λ) uzluksiz
funksiya bo‘lgani uchun
0
E = {λ ∈ R : −2 < ∆(λ) < 2} – haqiqiy λ o‘qda ochiq
to‘plam bo‘ladi. Bu to‘plamni o‘zaro kesishmaydigan sanoqlita ochiq intervallarn-
ing birlashmasi ko‘rinishida yozish mumkin:
0
E = (λ
0
, λ
1
) ∪ (λ
2
, λ
3
) ∪ (λ
4
, λ
5
) ∪ ... ∪ (λ
2n
, λ
2n+1
) ∪ ...
Yuqoridagi ta’rif 2.1.1 dan ko‘rinadiki, agar λ ∈
0
E bo‘lsa, u holda (2.1.1)
tenglama turg‘un bo‘ladi. Bu yerdagi (λ
2n
, λ
2n+1
), n ≥ 0 ochiq intervallarga
zonalar, yoki tenglamaning turg‘unlik intervallari deyiladi.
Ushbu
E = {λ ∈ R : −2 ≤ ∆(λ) ≤ 2}
to‘plam sanoqlita kesmalarning birlashmasidan iborat bo‘lishi ravshan:
E = [λ
0
, λ
1
] ∪ [λ
2
, λ
3
] ∪ [λ
4
, λ
5
] ∪ ... ∪ [λ
2n
, λ
2n+1
] ∪ ...
Xuddi shuningdek
G = {λ ∈ R : ∆(λ) > 2} = R\E = (−∞, λ
0
)∪(λ
1
, λ
2
)∪(λ
3
, λ
4
)∪...∪(λ
2n−1
, λ
2n
)∪...
107

to‘plam (2.1.1) tenglamaning turg‘unmaslik intervallari, yoki taqiqlangan zon-
alari, yoki lakunalari deyiladi. Bu yerda λ
j
lar (2.1.1) tenglamaga qo‘yilgan davriy
va yarimdavriy chegaraviy masalalarining xos qiymatlaridan, ya’ni ∆(λ) ∓ 2 = 0
tenglamaning ildizlaridan iborat.
Endi
p
∆
2
(λ) − 4 ildizni C\E sohada golomorf shohchasini ajratish bilan
shug‘ullanamiz. Buning uchun, avvalo, C kompleks tekislikni E to‘plam bo‘yicha
qirqib chiqamiz. Natijada hosil bo‘lgan sohani Λ bilan belgilaymiz. U holda
p
∆
2
(λ) − 4 ildizning Λ = C\E sohada aniqlangan golomorf shohchasini no-
linchi lakunada, ya’ni λ ∈ (−∞, λ
0
) bo‘lganda
p
∆
2
(λ) − 4 > 0 qilib tanlaymiz.
Bu yerda ∆(λ) > 2, λ ∈ (−∞, λ
0
). E
±
orqali E to‘plam (zo‘nalar) bo‘yicha
qirqimning yuqori va pastki qirg‘oqlarini belgilaymiz.
Ushbu
p
∆
2
(λ) − 4 funksiya argumentining E
+
bo‘ylab o‘zgarishini o‘rga-
namiz. Harakatni nolinchi λ ∈ (−∞, λ
0
) lakunadan boshlaymiz va λ
0
nuqtaning
yuqorisidan o‘tib I
+
1
= [λ
0
, λ
1
] ga tushamiz. Bu yerda
˙
∆(λ) = −s(π, λ)



π
Z
0
·
c(t, λ) −
c(π, λ) − s
0
(π, λ)
2s(π, λ)
s(t, λ)
¸
2
dt +
4 − ∆
2
(λ)
s
2
(π, λ)
π
Z
0
s
2
(t, λ)dt



formuladan va c(t, λ), s(t, λ) funksiyalarning chiziqli erkli ekanligidan foydalanib,
˙
∆(λ
0
) 6= 0 ekanligini ko‘rsatish mumkin. Shuning uchun
∆(λ) − 2 = ˙
∆(λ)(λ − λ
0
)[1 + o(1)]
funksiyaning argumenti λ
0
nuqtadan o‘tishda π ga o‘zgaradi, arg
p
∆
2
(λ) − 4 esa
π
2
ga o‘zgaradi. Bundan
p
∆
2
(λ) − 4 = i
¯
¯
¯
p
∆
2
(λ) − 4
¯
¯
¯ , λ ∈ I
+
1
tenglik kelib chiqadi.
Agar λ
1
6= λ
2
bo‘lsa, u holda ˙
∆(λ
1
) 6= 0, ˙
∆(λ
2
) 6= 0 bo‘lib, λ
1
va λ
2
nuqtalarni aylanib o‘tishda har gal arg(∆(λ) + 2) ning qiymati π ga o‘zgaradi,
arg
p
∆
2
(λ) − 4 ning qiymati esa
π
2
ga o‘zgaradi. Shuning uchun
p
∆
2
(λ) − 4 < 0
, λ ∈ (λ
1
, λ
2
), bu yerda ∆(λ) < −2 va
p
∆
2
(λ) − 4 = i
¯
¯
¯
p
∆
2
(λ) − 4
¯
¯
¯,
λ ∈ I
+
2
= [λ
2
, λ
3
].
Agar λ
1
= λ
2
bo‘lsa, u holda ˙
∆(λ
1
) = 0, ¨
∆(λ
1
) 6= 0 bo‘lib, λ
1
nuqtaning yu-
qoridan aylanib otishda arg(∆(λ) + 2) ning qiymati 2π ga arg
p
∆
2
(λ) − 4 ning
qiymati esa π ga o‘zgaradi. Shuning uchun I
+
2
= [λ
2
, λ
3
] kesmada
p
∆
2
(λ) − 4 =
i
¯
¯
¯
p
∆
2
(λ) − 4
¯
¯
¯ bo‘ladi. Bu mulohazalarni davom qildirish natijasida quyidagi
tasdiqqa ega bo‘lamiz:
108

I
m
= [λ
2m−2
, λ
2m−1
], m = 1, 2, 3, ..., m-zonaning yuqori I
+
m
va pastki I
−
m
qirg‘oqlarida
p
∆
2
(λ) − 4 = (−1)
m
i
¯
¯
¯
p
∆
2
(λ) − 4
¯
¯
¯, λ ∈ I
+
m
,
p
∆
2
(λ) − 4 = (−1)
m+1
i
¯
¯
¯
p
∆
2
(λ) − 4
¯
¯
¯, λ ∈ I
−
m
munosabatlar bajariladi.
Demak,
p
∆
2
(λ) − 4 ildizning qiymatlari E =
∞
S
m=1
I
m
, I
m
= [λ
2m−2
, λ
2m−1
]
to‘plam bo‘yicha o‘tkazilgan qirqimlarning yuqori va pastki qirg‘oqlarida turlicha
bo‘lar ekan. Bundan
ρ(λ) =
1
2
h
∆(λ) +
p
∆
2
(λ) − 4
i
, ψ
±
(x, λ) = [ρ(λ)]
±
x
π
P
±
(x, λ)
(2.1.28)
funksiyalarning Λ = C\E sohada golomorfligi, hamda
P
±
(x + π, λ) = P
±
(π, λ), x ∈ R,
|ρ(λ
±
)| = 1, ρ(λ
−
) = ρ
−1
(λ
+
) = ρ(λ
+
),
m
±
(λ
−
) = m
±
(λ
+
) = m
±
(λ
+
),
ψ
±
(x, λ
−
) = ψ
±
(x, λ
+
) = ψ
∓
(x, λ
+
)
(2.1.29)
munosabatlar kelib chiqadi.
Lemma 2.1.1. a) Agar |∆(λ)| > 2 bo‘lsa, u holda |ρ
1
(λ)| > 1, |ρ
2
(λ)| < 1
bo‘ladi.
Agar |∆(λ)| ≤ 2 bo‘lsa, u holda
ρ
1
(λ) = e
iα(λ)
, ρ
2
(λ) = e
−iα(λ)
bo‘ladi.
Isbot. a) Agar ∆(λ) > 2 bo‘lsa, u holda
|ρ
1
(λ)| =
1
2
¯
¯
¯∆(λ) +
¯
¯
¯
p
∆
2
(λ) − 4
¯
¯
¯
¯
¯
¯ =
∆ +
¯
¯
¯
p
∆
2
(λ) − 4
¯
¯
¯
2
>
∆ + 0
2
>
2
2
= 1
ekanligi, ∆(λ) < −2 bo‘lganda esa
|ρ
1
(λ)| =
1
2
¯
¯
¯∆(λ) −
¯
¯
¯
p
∆
2
(λ) − 4
¯
¯
¯
¯
¯
¯ =
−∆(λ) +
¯
¯
¯
p
∆
2
(λ) − 4
¯
¯
¯
2
>
−∆(λ) + 0
2
>
2
2
= 1
ekanligi kelib chiqadi. ρ
1
(λ)ρ
2
(λ) = 1 tenglikdan esa |ρ
2
(λ)| < 1 tengsizlikni
olamiz.
109

b) Agar −2 ≤ ∆(λ) ≤ 2 bo‘lsa, u holda λ ∈ E =
S
m
I
m
bo‘lib,
|ρ
1,2
(λ)| =
1
2
¯
¯
¯∆(λ) ± i
¯
¯
¯
p
∆
2
(λ) − 4
¯
¯
¯
¯
¯
¯ =
1
2
r
∆
2
(λ) +
¯
¯
¯
p
∆
2
(λ) − 4
¯
¯
¯
2
=
=
1
2
p
∆
2
(λ) + 4 − ∆
2
(λ) = 1
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Natija 2.1.1. a) Agar |∆(λ)| > 2 bo‘lsa, u holda ψ
1
(x, λ) ∈ L
2
(−∞, 0),
ψ
2
(x, λ) ∈ L
2
(0, ∞) bo‘ladi. Bu yerda
ψ
1
(x, λ) = [ρ
1
(λ)]
x
π
P
1
(x, λ),
ψ
2
(x, λ) = [ρ
2
(λ)]
x
π
P
2
(x, λ).
b) Agar |∆(λ)| < 2 bo‘lsa, (2.1.1) tenglamaning L
2
(−∞, 0) va L
2
(0, ∞) fazo-
larga tegishli noldan farqli yechimi yo‘q. Bu holda (2.1.1) tenglamaning ixtiyoriy
yechimi chegaralangan bo‘ladi.
Multiplikatorlar ko‘paytmasi ρ
1
(λ)ρ
2
(λ) = 1 tenglikni qanoatlantirgani
uchun
ρ
1
(λ) = e
iα(λ)
, ρ
2
(λ) = e
−iα(λ)
tengliklarni qanoatlantiruvchi α(λ) topiladi. Bundan foydalanib, Lyapunovning
∆(λ) funksiyasi uchun
∆(λ) ≡ ρ
1
(λ) + ρ
2
(λ) = 2 cos α(λ)
(2.1.30)
ifodani hosil qilamiz. Bu tenglikni ikkala tarafini λ o‘zgaruvchi bo‘yicha differen-
siallab,
˙
∆(λ) = −2[sin α(λ)] ˙α(λ),
˙α(λ) = −
˙
∆(λ)
p
4 − ∆
2
(λ)
, α(λ
0
) = 0
(2.1.31)
ekanligini topamiz. Oxirgi tenglikdan α(λ) ni topamiz:
α(λ) =
λ
Z
λ
0
− ˙
∆(τ )dτ
p
4 − ∆
2
(τ )
.
(2.1.32)
Bu tenglikdan foydalanib, (2.1.30) tasvirni quyidagi
∆(λ) = 2 cos



λ
Z
λ
0
− ˙
∆(τ )dτ
p
4 − ∆
2
(τ )



(2.1.33)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bu formula ilk bor X.Xoxshtat [342] tomonidan olin-
gan. V.A.Marchenko [186] Xill tenglamasiga qo‘yilgan davriy va yarimdavriy
chegaraviy masalalar uchun teskari spektral masalalarni yechishda (2.1.32) va
(2.1.33) funksiyalarning nozik xossalaridan mohirona foydalangan.
110

2-§. Xill operatorining spektri
L
2
(R)− Gilbert fazosida zich bo‘lgan, ushbu
D(H) =
©
y(x) ∈ L
2
(R) : y
0
(x) ∈ AC(R), −y
00
+ q(x)y ∈ L
2
(R)
ª
to‘plamda aniqlangan
H ≡ −
d
2
dx
2
+ q(x), Im{q(x)} = 0, q(x + π) = q(x), q(x) ∈ C(R),
operatorga Xill operatori deyiladi.
Agar y(x) ∈ D(H) bo‘lsa, u holda
Hy ≡ −y
00
+ q(x)y, x ∈ R
bo‘ladi.
Izoh 2.2.1. Aytaylik H operator L
2
(R) fazoda zich bo‘lgan D
0
(H) ≡
C
(2)
0
(R) ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi finit funksiyalar to‘plamida beril-
gan bo‘lsin. U holda H simmetrik operator bo‘lib, uning yopig‘i H ≡ H o‘z-
o‘ziga qo‘shma operator bo‘ladi. Shu bilan bir qatorda H
∗
qo‘shma operatorning
aniqlanish sohasi D(H
∗
) = D(H) to‘plamdan iborat bo‘lishi [151, 625-628 bet]
monografiyada ko‘rsatilgan. Chunki, qaralayotgan holda q(x) potensial haqiqiy,
uzluksiz, davriy funksiya bo‘lganligi sababli −∞ va +∞ H operator uchun Veyl-
ning nuqtasi holi o‘rinli bo‘ladi. Shu boisdan H operator [221, 175-178 bet] mono-
grafiyadagi Veyl kriteriyasining shartlarini qanoatlantiradi.
Ta’rif 2.2.1. Agar H − λ
0
I operatorning teskarisi (H − λ
0
I)
−1
mavjud va
L
2
(R) fazoda chegaralangan bo‘lsa, λ
0
kompleks soni H operatorning regulyar
nuqtasi deyiladi. H operator regulyar nuqtalar to‘plamining to‘ldiruvchisiga uning
spektri deyiladi va u σ(H) orqali belgilanadi.
Agar H − λ
0
I operator nolmas Ker(H − λ
0
I) 6= 0 yadroga ega bo‘lsa, λ
0
kompleks soni H operatorning xos qiymati deyiladi. Ker(H − λ
0
I) 6= 0 yadroga
tegishli har bir nolmas funksiyaga H operatorning λ = λ
0
xos qiymatiga mos
keluvchi xos funksiyasi deyiladi. H operatorning xos qiymatlari uning spektriga
tegishli bo‘ladi.
Bu paragrafda H operator spektrining tuzilishini o‘rganamiz.
Lemma 2.2.1. H operator faqat uzluksiz spektrga ega, ya’ni u xos qiymatga
ega emas.
Isbot. Faraz qilaylik, λ
0
soni H operatorning xos qiymati bo‘lib, ψ(x) esa
unga mos keluvchi biror xos funksiyasi bo‘lsin, ya’ni
Hψ(x) = λ
0
ψ(x)
111

tenglamaning L
2
(R) fazoga tegishli nolmas yechimi bo‘lsin. Ammo, birinchi para-
grafdagi mulohazalarga asosan
Hy ≡ −y
00
+ q(x)y = λy, q(x + π) = q(x), x ∈ R
(2.2.1)
Xill tenglamasi λ ∈ C parametrning hech qanday qiymatida L
2
(R) fazoga
tegishli nolmas yechimga ega emas. Shuning uchun Hoperator xos qiymatga ega
emas.
Teorema 2.2.1. H operatorning spektri E to‘plamdan iborat bo‘ladi, ya’ni
σ(H) = E =
∞
[
m=0
I
m
, I
m
= [λ
2m
, λ
2m+1
].
Bu yerda λ
j
, j ≥ 0 sonlar (2.2.1) Xill tenglamasiga qo‘yilgan davriy va yarim-
davriy chegaraviy masalalarining xos qiymatlaridan iborat.
Isbot. Avvalo, E ⊂ σ(H) ekanligini ko‘rsatamiz. Agar λ
0
∈ E bo‘lsa, u holda
λ
0
∈ σ(H) bo‘lishini isbotlaymiz. Buning uchun n → ∞ da k(H − λ
0
I)f
n
k → 0
bo‘ladigan f
n
(x) ∈ D(H), kf
n
(x)k = 1 ketma-ketlikning topilishini ko‘rsatish
yetarli. λ
0
∈ E bo‘lgani uchun birinchi paragrafdagi mulohazalarga asosan (2.2.1)
tenglama λ = λ
0
bo‘lganda kamida bitta nolmas ψ(x) yechimga ega bo‘lib, bu
yechim
ψ(x + π) = ρψ(x) , |ρ| = 1, x ∈ R
(2.2.2)
shartni qanoatlantiradi.
Faraz qilaylik, g(x) ∈ C
2
[0, π] ushbu
0 ≤ g(x) ≤ 1, g(0) = 0, g(π) = 1,
g
0
(0) = g