Ясашга до ир масалаларни ечишдаги асосий босцичлар

I Б О Б. ЯСАШГА ДО И Р 
МАСАЛАЛАР ЕЧИШ 
БОСК.ИЧЛАРИ
2 3
Y — тугри чизикларнинг параллелограмм томонлари билан ке­
сишиш нукталари). Масала шартига мувофик:
/ \ А В Х  юзи = □ A X C Y  юзи = / \ A Y D  юзи
ёки
S , = S 2= S 3. 
(1)
Изланган тугри чизикларни топиш учун X  ва Y  нукталар­
ни топиш кифоя. Бу нукталарни топишда уларнинг берилган 
параллелограмм томонларида ётишидан ва А С  диагонал па- 
раллелограммни иккита тенг учбурчакка булишидан фойда- 
ланамиз. Чизмадан:
I \ А В С  юзи = / \ A D C  юзи ёки
•Si+ 
Si—
.S3-I- 
S5.
Бундан (1) га асосан:
S i = S 5. 
(2)
Si+So=> S 2 булгани учун:
Параллелограммнинг А учидан унинг В С  томонига утк ази л ­
ган баландликни h билан белгила5, учбурчаклар юзлари учун 
К у й и д аги
ифодаларни 
ёз а
оламиз:
Sj =
В Х ■
 h ; 
S i  
= ~ C X -h .
Бу ифодаларни 5 4 = ^ 5, тенгликка кУйсак:
\ c x - k  = 4 ( 4 - в х . * ) ,
бундан эса:
С Х  = - * ВХ. 
(5)
Худди шу Щ л билан СУ = \
d
Y  эканлиги аникланади. Б у ­
лардан куйидагилар маълум булади:
СХ «
ВС, C Y  = ~ CD. 
(6)

---

2 4
§ 3. МАСАЛАНИ БОСК.ИЧЛАБ ЕЧИШГА МИСОЛЛАР
Д ем ак, изланган тугри чизикларни аниклашда ёрдам б ерув­
чи X  ва У нукталарни топиш учун берилган параллелограмм­
нинг СВ ва CD томонларини тенг уч булакка булиш керак. 
Бундаги X  ва Y  нукталар ёрдамчи фигуралар булади.
Я с а ш . Берилган A B C D  параллелограммнинг СВ  ва CD  т о ­
монларининг ^ар бирини тенг уч булакка буламиз. С учидан 
бошлаб ^исоблаганда томоннинг учдан бир булагини курсатув- 
чи нукталар изланган X  ва У нукталар булади (4-II чизма).
Сунгра параллелограммнинг А учини топилган X  ва У н у к ­
талар билан туташтирамиз; А Х  ва А У тугри чизиклар паралле- 
лограммни излаган тенгдош б\'лакларга булади.
И с б о т . Ясашга кура куйидагилар маълум:
Булардан:
В М  = M X  = ХС- D N  = N Y  = УС. 
В Х  = 2ХС, D Y  = 2 УС.
(7)
(7) 
дан А В Х  
учбурчакнинг юзи Si А Х С  учбурчакнинг 
юзи S i дан икки марта катта, A D Y  учбурчакнинг юзи S 3 эса 
А УС учбурчакнинг юзи S,? дан 
икки 
марта 
катта эканлиги 
равшан:
5, = 2Si, S 3 = 2S5.
(
8
)
A C
у Ч-
Параллелограммнинг 
диагонали уни тенг икки 
бурчакка булишини эътиборга 
олиб, куйидагиларни ёза ол а­
миз:
/ \ А В С  юзи = Д A C D  юзи.
Бундан:
(9)
Агар Sj ва S 3 нинг (8) даги кийматларини (9) га кУйсак, 
куйидаги тенгликка эга буламиз:
Бундан:
254 Ч~ S.j = 253 -{- 
Sa]
3
S
4
= 3
Ss. 
S i — S$.
( 1 0 )

---

I Б О Б. ЯСАШГА Д О И Р 
МАСАЛАЛАР 
ЕЧИШ 
БОСК.ИЧЛАРИ
2 5
Бундан танщари, (8) дан: Si — 2S4, S 3 = 2S5 ва (10) дан 
Si = S 5 булгани учун
S , = S 8. 
( П )
Чизмадан эса: S 4 + S 5 = S 2, (8) ва ( И ) да:
S i — 5.5 = ~2 Si = -у- S 3.
Демак:
Si = S
2
— S 3.
Т е к ш и р и ш. Берилган параллелограммнинг шакли ва кат- 
талиги хар кандай булса >;;ш бу масала ечимга эга булади, 
чунки параллелограмм томонларини хамма вакт тенг учга 
булиш мумкин ва томоннинг учдан бир булагини курсатувчи 
нукта битта булгани учун ечим хам битта булади.
5 -м асала. Учбурчак ичида ш ундай н у ц т а топингки, бу 
н у ц т а н и учбурчакнинг у ч л а р и б и л а н т у т а ш т и р у в ч и т у гр и  
я и з щ к есм алари учбурчакнинг ю зини б ерилган т : п :р нис­
батда б у л а к л а р г а булсин.
А н а л и з . I) Масаланинг талабига жавоб берувчи X  нукта 
гопилди деб фараз килиб, уни 
A B C  учбурчакда тахминан 
белгилаб куяйлик (5-1 чизма). Унда:
/ \ А В Х  юзи: Д В С Х  юзи: / \ А С Х  юзи = т\п-.р\
Й
ёки, к искача:
5
д
: 5 2: 5 3
т \ п \ р .
(
1
)
2) X  нуктани топиш йулини 
аниклайлик, бунинг учун берил­
ган учбурчакнинг бирор томо­
нини, масалан, 
ВС ни берил­
ган нисбатларда булувчи Y  ва 
Z нукталарни белгилаб, уларни 
учбурчакнинг А учи билан ту- 
таштирайлик. Досил булган A B Y , 
A Y Z  ва A Z C  учбурчакларнинг асослари берилган нисбатда ва 
баландликлари битта умумий A D  = h кесма булгани учун улар­
нинг юзлари куйидаги муносабатда булади:
Д A B Y  юзи : Д A Y Z  юзи : Д A Z C  юзи = т : п : р, 
ёки, кискача:
5-1 чизма.
•Sl:S2:S3 — т - п - Р
(2)

---

26