Yuqori tartibli momentlar. Korrelyatsiya koeffisiyenti va uning xossalari. Reja

Yuqori tartibli momentlar .
Korrelyatsiya koeffisiyenti va uning xossalari.


Reja:

1. 
   k-tartibli boshlang`ich momenti
   
2. 
   Korrelyatsiya koeffitsienti
   
3. 
   Yenson tengsizligi
   

1-ta`rif: agar diskret tasodifiy miqdor bo`lsa,

ga, uzluksiz tasodifiy miqdorbo`lsa,

ga uning k-tartibli boshlang`ich momenti deyiladi
Ta`rifga asosan ya`ni matematik kutilma bu birinchi tartibli boshlang`ich moment ekan.
2-ta`rif: tasodifiy miqdorning k-tartibli absalyut boshlang`ich momenti deb, diskret tasodifiy miqdorlar uchun

ifodaga, uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun

ifodaga aytiladi.
3-ta`rif: tasodifiy miqdorning k-tartibli markaziy momenti deb, diskret tasodifiy miqdorlar uchun

ifodaga, uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun

ifodaga aytiladi.
Agar bo`lsa, , ya`ni markaziy moment boshlang`ich momentga teng bo`ladi.
Ta`rifdan ko`rinadiki, moment tasodifiy miqdorning dispersiyasi bo`ladi.
4-ta`rif: tasodifiy miqdorning k-tartibli markaziy absalyut momenti deb, diskret tasodifiy miqdorlar uchun

ifodaga, uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun

ifodaga aytiladi.
Xususan, agar bo`lsa, tartibli boshlang`ich absalyut moment bilan ustma-ust tushadi.
Markaziy momentlarni mos boshlang`ich momentlar orqali ifodalash mumkin:
, , .
Endi momentlarga uchun tengsizliklarni ko`rib chiqamiz.
Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi. Ikkinchi tartibli momentga ega bo`lgan ixtiyoriy va tasodifiy miqdorlar uchun:
(1)
Isboit: bo`lganligi, hamda va momentlarning chekliligidan kelib chiqadi.
va o`zgaruvchilarga bog`liq bo`lgan musbat aniqlangan ushbu

kvadratik formaning diskriminanti

bo`lishi kyerakliligidan bundan kelib chiqadi.
Agar bo`lsa, (1) dan

Shuningdek, (1) munosabatdan
va (2)
kelib chiqadi.
Yenson tengsizligi. Agar va funksiya botiq bo`lsa, u holda

Isbot: Agar funksiya botiq bo`lsa, u holda har bir uchun shunday funksiya topiladiki,

bo`ladi.
Agar , deb olsak va bu tengsizlikning har ikki tomonidan matematik kutilma olsak, kelib chiqadi.
Lyapunov tengsizligi. Agar tasodifiy miqdorning k-tartibli absolyut momenti mavjud bo`lsa, ixtiyoriy va ( ) uchun

tengsizlik o`rinli bo`ladi.
Gyoldyer tengsizligi. , va sonlar uchun munosabatlar o`rinli bo`lsin. Agar va bo`lsa,
(3)
tengsizlik o`rinli bo`ladi.
Isboti: , (4)
belgilashlarni kiritamiz.
funksiyaning qavariq bo`lganligi uchun ixtiyoriy uchun

bo`ladi.
o`suvchi funksiya bo`lganligi uchun

tengsizlik o`rinli bo`laladi. Oxirgi tengsizlikda

deb olsak,

ga ega bo`lamiz. Oxirgi tengsizlikning ikkala tomonidan matematik kutilma olsak,
(5)
tengsizlik ega bo`lamiz.
,
bo`lganligi uchun oxirgi tengsizlikdan (4) belgilahlarni hisobga olsak (3) ga ega bo`lamiz.
Gyoldyer tengsizligidan bo`lganda, Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi kelib chiqadi.
Ehtimollar nazariyasi va uning tadbiqlarida tasodifiy miqdorlarning quyidagi xarakteristikalari kyerak bo`ladi.