Задача теплопроводности. Распространение тепла в шаре

часть поверхности Г пропорционален перепаду температур на этой части границы.
Если выделить некоторую часть границы, то поток тепла через нее за время ∆ t будет равен

где Г₁ – рассматриваемая часть границы Г, a h – коэффициент теплообмена, зависящий от физических свойств тела и окружающей среды. Вообще говоря, h может изменяться от точки к точке границы, т.е. h = h (ξ, η, ζ), но в случае однородности тела и среды h = const, поскольку поток тепла, уходящий в окружающее пространство, должен равняться потоку тепла, подходящему изнутри, то, применяя формулу (1.2.2) к участку Γ₁ получим

Так как Г₁ – любая часть границы, то, повторяя рассуждения, обосновывающие равенство (1.2.4), придем к условию на границе Г:

Вспоминая, что – производная и в точке границы по направлению внешней нормали к ней, запишем последние равенство так:


(2.8)
Здесь черта подстановки |_г означает, что имеется в виду, значение соответствующей величины в точке границы Г.
Общее краевое условие (16.12) может в частных случаях иметь более простой вид.
Первый частный случай h =0. Это означает, что переход тепла через границу тела исключен, т.е. что, как говорят, граница тела теплоизолирована.
В этом случае краевое условие принимает вид


^(9).
Второй случай соответствует очень большому коэффициенту внешней теплопроводности h. Тогда условие (1.2.8), записанное в виде

2. Распространение тепла в пространстве

Процесс распространения тепла в пространстве может быть характеризован температурой u (x, y, z, t) являющейся функцией x, y, z и t.

Если температура непостоянна, то возникают тепловые потоки, направленные от мест с более высокой температурой к местам с более низкой температурой.
Пусть dσ – некоторая площадка в точке P (ξ, η, ζ) с нормалью п. Количество тепла, протекающее через dσ в единицу времени, согласно закону Фурье, равно

где k коэффициент теплопроводности, дu/дn – производная по направлению нормали n к dσ, равная

Закон Фурье часто записывают в форме

где W – вектор плотности теплового потока.

Если среда изотропная, то k есть скаляр. B случае анизотропной среды k есть тензор, а вектор теплового потока W представляет собой произведение тензора k на вектор – grad u. Мы будем рассматривать только изотропные среды.
Функция температурного влияния. Известно, что процесс распространения тепла в однородном изотропном пространстве определяется уравнением теплопроводности


^(2.1)
где u (M, t) – температура точки M (x, y, z) в момент t, ρ – плотность, c – коэффициент удельной теплоемкости, k = const и α² = k/cp – коэффициенты теплопроводности и температуропроводности. уравнение (2.1) допускает
также диффузионное истолкование. B этом случае u – концентрация диффундирующего вещества, a² = D – коэффициент диффузии.
Функция G (x, y, z, t; ξ, η, ζ) есть функция температурного влияния мгновенного источника тепла. Она представляет собой температуру в точке x, y, z в момент вpeмeни t, вызываемую точечным источником мощности Q = cp, помещенным в момент t= 0 в точку (ξ, η, ζ).


^(2.4)
Heтpyднo убедиться в том, что


^(2.5)
B самом деле, тройной интеграл (2.5) можно представить в виде произведения трех интегралов, каждый из которых равен единице:

Из формулы (2.4) видно, что функция влияния G обладает свойством симметрии

являющимся выражением принципа взаимности: действие в точке (x, y, z) источника, находящегося в точке (ξ, η, ζ), равно действию в точке (ξ, η, ζ) такого же источника, помещенного в точку (x, y, z). однако относительно переменной t такая симметрия не имеет места, что является выражением необратимости тепловых процессов во времени.

2.