Задача теплопроводности. Распространение тепла в шаре

Распространение тепла в ограниченных телах

1. 
   Случай однородного цилиндра
   

Пусть боковая поверхность бесконечного круглого цилиндра радиуса R поддерживается при постоянной температуре. Если в начальный момент времени температура в каждой точке зависит только от ее расстояния r до оси цилиндра, то ясно, что и в последующем температура и будет зависеть лишь от r и времени t. Тепловой поток при этом всегда направлен по радиусам цилиндра. Таким образом, и = и (r, t).

Преобразуем общее уравнение теплопроводности (1.2.6)




(а – коэффициент температуропроводности) к цилиндрическим координатам, учитывая, что фикция и не зависит от φ и z. Придем к уравнению радиального распространения тепла в цилиндре:


(3.1.1)
Начальное условие имеет вид


^(3.1.2)
где (г) – заданная функция в интервале 0 r R.
Краевым условием будет условие постоянства температуры боковой поверхности цилиндра
^(3.1.3)
Будем считать, что u₀ = 0, т.е. что краевое условие (3.1.3) однородное. В противном случае нужно ввести новую функцию ũ (r, t)== и (r, t) – u₀. Уравнение (3.1.1) не изменится, а начальное и краевое условия примут вид

Применим к решению задачи метод Фурье. Полагая и (r, t) = U (r)Τ(t),

разделим переменные:

(постоянная в правой части не может быть положительной.) Отсюда

Для функции U (r) получаем уравнение:

(3.1.4)
одно частное решение которого выражается через функцию Бесселя нулевого порядка:

Второе линейно независимое решение уравнения (3.1.4) – функцию Неймана N₀ – мы не принимаем в расчет, так как она обращается в бесконечность при r = 0.

Чтобы решение удовлетворяло однородному краевому условию, нужно положить


(3.1.5)

Таким образом, собственными числами задачи являются величины ^{, где µк – корни функции Бесселя нулевого порядка. Каждому} собственному числу µ_к соответствует собственная функция

Образуем теперь функцию

(3.1.6)

и подберем коэффициенты C_k так, чтобы

Полагая r = Rx, придадим последнему равенству вид

после чего, основываясь на условиях ортогональности функций выраженных формулами:

1
_ хJ₀ _k xJ₀ _n xdx  0 , если
0


k  n

1
xJ ² 