Задача теплопроводности. Распространение тепла в шаре

Случай однородного шара

В качестве второй пространственной задачи рассмотрим радиальное распространение тепла в однородном шаре радиуса R. Мы предполагаем, что как в начальный, так и в произвольный момент времени температура одна и та же во всех точках, находящихся на одинаковом расстоянии r от центра шара. Если ввести сферические координаты, то это означает, что температура

зависит только от r и t. Переходя в общем уравнении (1.2.6) к сферическим координатам, получим


^(3.2.1)
Начальное и краевое условия примем такими же, как в задаче о цилиндре:

(как уже отмечалось, неоднородность краевого условия u_r=R=u₀ легко устраняется введением вспомогательной функции).

При решении нам даже не понадобится заново применять метод Фурье.
Введем новую неизвестную функцию

Тогда

Уравнение (3.2.1) преобразуется при этом к виду

Начальное условие примет вид

а краевое останется без изменения:

Кроме того, появится новое условие

2. Схема метода разделения переменных

При изучении распространения тепла в ограниченном теле необходимо к уравнению и начальному условию добавить условия на границе тела, которые в простейших случаях являются граничными условиями первого, второго или третьего рода.

Рассмотрим простейшую задачу c однородным граничным условием первого рода:
найти решение уравнения теплопроводности


(4.1)


c начальным условием




u граничным условием




где Σ – граница области T.
Решение этой задачи может быть получено обычным методом разделения переменных, изложенным применительно к уравнению u_tt = а²∆u; применение этого метода к нашей задаче проходит совершенно аналогично.
Рассмотрим вспомогательную задачу:
найти нетривиальное решение уравнения


^(4.2)
удовлетворяющее однородному граничному условию




и представимое в виде произведения

Разделяя переменные обычным способом, приходим к следующим условиям, определяющим функции υ(M) и T(t)

(4.3)
и (4.4)

Для функции v получаем задачу на отыскание собственных значений. Пусть λι, λ₂,…, λ_n,… – собственные значения, a ν_ι, ν₂,…, ν_n,… –

собственные функции задачи (4.3). Функции {υ_n} образуют ортогональную систему.
Соответствующие функции T_n(t) имеют вид

и вспомогательная задача имеет нетривиальное решение

Общее решение исходной задачи может быть представлено в виде

^(4.5)
Удовлетворяя начальному условию

находим коэффициенты

где

^{– норма функции νn.}
Фyнкция (4.5) и представляет решение задачи.
Уpaвнeниe

при однородных граничном и начальном условиях может быть также решено методом разделения переменных. Полагая,

и разлагая функцию f (M, t) по собственным функциям v_n(M)

получаем для определения T_n(t) уравнение

^{c начальным условием если u (M, 0) = 0, решение которого} имеет вид

Отсюда получаем:

Bыpaжeниe в фигурных скобках, очевидно, соответствует функции влияния мгновенного источника мощности Q = cρ, помещенного в точку M' в момент τ,

Решение первой краевой задачи ũ для уравнения теплопроводности c неоднородными граничными условиями ũ|_Σ=μ легко приводится к решению u неоднородного уравнения c однородными граничными условиями u|_∑=o, если положить

гдe Ф – произвольная (достаточно гладкая) функция, принимающая значения μ нa Σ. Becьмa часто встречающийся случай постоянных граничных значений, μ₀ =const, приводится к задаче c однородными граничными условиями, если ввести функцию

представляющую отклонение от стационарного решения.

Taким образом, основная трудность при решении задач o распространении тепла в ограниченной области состоит в нахождении собственных функций и собственных значений для данной области.
Фopмa решения (4.5), полученная методом разделения переменных, удобна для исследования достаточно развитой стадии процесса при больших
t. B самом деле, собственные значения, λ_n для любой области быстро возрастают c номером n. Пoэтoмy при t `> 0 ряд быстро сходится и, начиная c некоторого момента, первый отличный от нуля член преобладает над суммой остальных членов