Zahiriddin muhammad bobur nomidagi andijon davlat universiteti fizika matematika fakulteti

Bir tasodifiy argument funktsiyasining matematik kutilishi.
X tasodifiy argumentning taqsimot Uqφ(X) funktsiyasi berilgan bo’lsin. X argumentning taqsimot qonunini bilgan holda bu funktsiyaning matematik kutilishini topish masalasi bilan shug’ullanamiz.
1. X diskret tasodifiy miqdor bo’lib, uning taqsimot qonun berilgan bo’lsa
formula bilan topiladi.
1-misol. X diskret tasodifiy miqdor

X	2	4	6
R	0,3	0,5	0,2

Taqsimot orqali berilgan Uq3X²Q1 funktsiyaning matematik kutilishi topilsin.
Echish.

2. X argument f(x) differentsial funktsiya orqali berilgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsin Uqφ(X) funktsiyaning matematik kutilishini topish uchun avvalo U ning differentsial funktsiyasi d(u) ni topib, sungra matematik kutilishini

formula bilan topish mumkin. Agar d(u) ni topish qiyin bo’lsa, u holda φ(X) ning matematik kutilishi
formula orqali topish mumkin. Agar X ning qiymatlari (a,v) intervalga tegishli bo’lsa
formula bilan topiladi.
2-misol. 2. dagi 3-misol shartida
bo’lganidan


Ikkita tasodifiy argument funktsiyasi. Erkli qo’shiluvchilar yig’indisining taqsimoti. parametrli normal taqsimotning turg’unligi.
Agar X va U tasodifiy miqdorlarning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarning har bir juftiga z tasodifiy miqdorning bitta qabul qilishi mumkin bulgan qiymati mos keladi, u holda z ni ikkita tasodifiy argument X va U ning funktsiyasi deyiladi:

Misol orqali ZqXQU funktsiyaning taqsimotini qo’shiluvchilarning ma’lum taqsimotlari bo’yicha topishni o’rganaylik.

1. 
   X va U diskret erkli tasodifiy miqdorlar bo’lsin.
   

ZqXQU funktsiyaning taqsimot qonunini topish uchun z ning mumkin bo’lgan barcha qiymatlarini va ularning ehtimollarini topamiz.
1-misol. X va U erkli tasodifiy miqdorlar ushbu taqsimotlar bilan berilgan bo’lsin.

X	1	2	3		U	3	4
R	0,2	0,5	0,3		Q	0,6	0,4

ZqXQU tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini tuzing.

Echish. Z ning har bir qiymati X ning qabul qiladigan qiymatining har biri bilan U ning mumkin bo’lgan barcha qiymatlari yig’indisidan iborat bo’lganidan


Z₁q4 bo’lishi uchun X miqdor x₁q1 qiymat va U miqdor u₁q3 qiymat qabul qilishi lozim. Mumkin bo’lgan bu qiymatlarning ehtimollari 0,2 va 0,6 ga teng. X va U argumentlar erkli bo’lganligidan z ning 1Q3 qiymatini qabul qilish ehtimoli 0,2*0,6q0,12 ga teng.
Xuddi shuningdek
P(Zq1Q4)q0,2*0,4q0,08; P(Zq2Q3)q0,5*0,6q0,3
P(Zq2Q4)q0,5*0,4q0,2; P(Zq3Q3)q0,3*0,6q0,18;
P(Zq3Q4)q0,3*0,4q0,12
Z₂qZ₃ bo’lganidan P(Zq5)qP(ZqZ₁)QP(ZqZ₃)q0,08Q0,3q0,38
Z₄qZ₅ bo’lganidan P(Zq6)qP(ZqZ₄)QP(ZqZ₅)q0,02Q0,18q0,38
Izlanayotgan taqsimot quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

Z	4	5	6	7
R	0,12	0,38	0,38	0,12

Tekshirish: 0,12Q0,38Q0,38Q0,12q1

2. 
   X va U uzluksiz tasodifiy miqdorlar bo’lsin.
   

Bu holda ZqXQU yig’indisining differentsial funktsiyasi (argumentlardan kamida bittasining differentsial funktsiyasi (-∞ ∞) intervalda bitta formula orqali berilgan degan shartda)

tenglikdan yoki unga teng kuchli bo’lgan

tenglik bilan topilishi isbotlangan, bu erda Z₁, Z₂ mos argumentlarning qiymatlari manfiy bo’lmasa, u holda d(z) ni

yoki unga teng kuchli

Formula bo’yicha topish mumkin.
Erkli tasodifiy miqdorlar yig’indisining differentsial funktsiyasi kompozitsiya deyiladi.
Agar ehtimollar taqsimoti qonunining kompozitsiyasi yana o’sha qonunning o’zi bo’lsa, u holda bu qonun turg’un deyiladi. parametrli normal qonun turg’unlik xossasiga ega, chunki kompozitsiyaning matematik kutilishi va dispertsiyasi mos ravishda qo’shiluvchilar matematik kutilishlari va dispersiyalari yig’indisiga teng.
Misol. X va U parametrli normal taqsimlangan erkli tasodifiy miqdorlar bo’lib, ularning a₁q5, a₂q1, D₁q2, D₂q0,25 sonli xarakteristikalari bo’lsa ZqXQU ning sonli xarakteristikalari,
aqa₁Qa₂q5Q1q6 va DqD₁QDq2Q0,25q2,25 ga teng bo’ladi.
2-misol. X va U erkli parametrli normal taqsimlangan tasodifiy miqdorlar
,
Differentsial funktsiyalari bilan berilgan ZqXQU miqdorning differentsial funktsiyasi topilsin va parametrli normal qonundan iborat ekanligi ko’rsatilsin.
Echish. Quyidagi
formuladan foydalanamiz.
Bu holda
bo’lganidan

Bu erda (Puasson integrali).
Demak, ZqXQU miqdorning differentsial funktsiyasi ham parametrli normal qonunga bo’ysinar ekan.