Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги жиззах политехника институти

4. Бог`ланишлар аксиомаси.

Юқорида айтганимиздек статика қисмида эркинмас қаттиқ жисмларнинг мувозанатлик шартларини о`рганишда қуйидаги аксиома қо`лланилади:

Ҳарқандай эркинмас қаттиқ жисмга қо`йилган бог`ланишларни ташлаб юбориб, уларни о`рнига шу бог`ланишларнинг реактсия кучлари қо`йилса, уларни эркин жисм деб қабул қилиш мумкин.



1.11-шакл.

Ог`ирлиги Р -га тенг бо`лган АБ брус, о`зининг А ва Д нуқталари билан ДОЕ бог`ланишга суянган ҳолда мувозанат ҳолатини сақлаб турибди. Энди шу бог`ланишни ташлаб юбориб, уни о`рнига Н_Д ва Н_А реактсия кучларини қо`йиб, ДОЕ бог`ланишни ташлаб юборсак, АВ брус унга қо`йилган то`ртта Н_Д , Н_А , Т ва Р - кучлар тасирида эркин ҳолатда мувозанатини сақлаб тураверади деб ҳисобланади, ва статиканинг барча масалалари шу асосда эчилади.

Назорат саволлари:

1. 
   Куч деб нимага айтилади?
   
2. 
   Статиканинг асосий аксиомаларини айтиб беринг?
   
3. 
   Бог`ланиш деб нимага айтилади?
   
4. 
   Силлиқ горизонтал текисликдан иборат бог`ланишнинг реактсияси қандай ё`налади?
   
5. 
   Егилувчан бог`ланишларнинг (арқон, трос, ип кабилар) реактсиялари қандай ё`налади?
   
6. 
   Тсилиндрик шарнирдан иборат қо`зг`алмас ва қо`зг`алувчан бог`ланишларнинг реактсиялари қандай ё`налади?
   
7. 
   Сферик шарнирдан иборат бог`ланишларнинг реактсиялари қандай ё`налади?
   
8. 
   Ингичка вазнсиз стерженлардан иборат бог`ланишларнинг реактсиялари қандай ё`налади?
   

2- маруза (2 соат).

Мавзу: Кешувчи кучлар системаси. Кучнинг о`ққа ва текисликка проектсияси.

Режа:

1. 
   Бир нуқтада кешувчи кучлар системасини қо`шиш
   
2. 
   Кучнинг о`ққа ва текисликка проектсияси.
   
3. 
   Кешувчи кучлар системасининг тенг тасир этувчисини аналитик усулда аниқлаш.
   

Таянч со`злар ва иборалар: Кешувчи кучлар системасининг мувозанат шартлари, тенг тасир этувчи куч, кучларни геометрик усулда қо`шиш, куч ко`пбурчаги, кучларни аналитик усулда қо`шиш, кучнинг о`ққа проектсияси, кучнинг текисликка проектсияси, кучни ташкил этувчиларга ажратиш.
Статика қисмида жисмларга тасир этувчи кучлар ҳам ё`налиши, ҳам сон қиймати жиҳатидан о`згармас деб қабул қилинади. Аслида ҳар бир куч вектор қиймат бо`лганлиги учун уларни геометрик ва аналитик равишда қо`шиш усуллари векторлар алгебрасида ко`риб о`тилган. Агар куч векторларининг тасир чизиқлари бир нуқтада кесишса бундай кучлар системасини кешувчи кучлар системаси дейилади.

Бир текисликда жойлашган иикита кучни қо`шиш.

Агар бирор жисмнинг А ва Б нуқталарига қо`йилган иккита  кучларни қо`шиш зарур бо`лса, уларни учинчи аксиомага асосан параллелограмм усулида қо`шилади.



2.1- шакл.

Фараз филайлик бирор А нуқтада иккита  ва  кучлар қо`йилган бо`лсин. Учинчи аксиомага асосан шу куч векторларга параллелограмм қурамиз, шу параллелограмнинг А нуқтасидан о`тувчи диагонали бо`лган  вектор (2.1а- шакл), шу  ва  векторларнинг тенг тасир этувчиси ҳисобланади.

Бошқача қилиб айтганда шу  ва кучлари жисмга қандай тасир ко`рсатса,  кучи ҳам худди шундай тасир ко`рсатаолади.

Ко`п ҳолларда  ва  кучларни параллелограм усулида эмас, балки куч ко`пбурчаги усулида қо`шилади (2.1б- шакл). Бунинг учун шу А нуқтага аввал  кучини со`нгра унинг охирига  кучини келтириб қо`ямиз, со`нгра А нуқтани иккинчи кучнинг охири билан бог`ловчи вектор  тенг тасир этувчи вектор ҳисобланади.

Иккала усул ҳам бир ҳил натижа беради, лекин иккинчи усул қулайроқ, чунки озроқ чизма чизилади, шунинг учун уни куч ко`пбурчаги усули дейилади ва у кенг тарқалган.

2.Учрашувчи кучлар системасини қо`шиш.
Тасир чизиқлари бир А нуқтада кесишувчи текисликда ёки фазода жойлашган бир неча кучлар системаси берилган бо`лсин.



2.2 шакл.

Уларни ҳам юқоридаги усул билан, яни куч ко`пбурчаги усули билан бирин кетин қо`шиб, охирги кучнинг охири билан биринчи кучнинг боши жойлашган О нуқтани туташтирувчи кесма, тенг тасир этувчи куч  вектори ҳисобланади, яни
 (2.1)
2.2 б шаклда ко`рсатилган фигура куч ко`пбурчаги дейилади, агар берилган кучлар бир текисликда жойлашган бо`лса тенг тасир этувчи куч  вектори ҳам шу текисликда ётади, агар берилган кучлар системаси фазода жойлашган бо`лса тенг тасир этувчи куч  вектори ҳам фазода жойлашади.
3.Кучни берилган ё`налиш бо`йича иккита ташкил этувчиларга ажратиш.
Бизга бирорта  кучи берилган бо`лсин, ушбу кучни, АБ ва АД ё`налишлар бо`йича иккита тташкил этувчи кучларга ажратиш керак бо`лсин (2.3 шакл),


2.3 шакл.

У ҳолда берилган  куч векторининг охиридан, яни C нуқтадан АБ ва АД чизиқларга параллел чизиқлар о`тказамиз, уларнинг АБ ва АД чизиқлар билан кесишган

нуқталари  кучни ташкил этувчи иккита кучнинг ҳам ё`налишини ҳам модулини белгиловчи иккита  ва куч векторларини беради, яни  га тенг бо`лади.

Лекин  ва  куч векторларининг модулларининг йиг`индиси  кучининг модулидан аллбата катта бо`лади, яни Р Ҳ Ф > Қ эканлигини унутмаслик керак.

Бошқача қилиб айтганда, ҳосил бо`лган  ва  кучлари биргаликда  кучининг тасирини беради. Шундай қилиб, ҳарқандай иккита кучни параллелограмм усулида қо`шиб, битта тенг тасир этувчи кучни аниқлаш мумкин, ёки битта куч берилса уни ихтиёрий ё`налган иккита ташкил этувчиларга ажратиш мумкин экан.

Айрим ҳолларда берилган кучни фазода жойлашган учта ташкил этувчиларга ажратиш талаб этилса, худди шу усулга о`хшаш ё`л билан уларни аниқлаш мумкин.

4.Бир текисликда жойлашган параллел ёки тасир чизиқлари чизмадан ташқарида кесишувчи иккита кучни қо`шиш.
Фараз қилайлик бир текисликда жойлашган лекин тасир чизиқлари мутлоқ кесишмайдиган, ёки чизмадан ташқарида кесишадиган иккита кучларни қо`шиш зарур бо`лсин (2.4 шакл.),



2.4 шакл.
Бунинг учун,  ва  кучлар қо`йилган нуқталардан о`тувчи АВ - о`қ о`тказамиз, со`нгра биринчи кучни охирига иккинчи кучни о`з ё`налиши ва қиймати билан ко`чириб қо`ямиз.



2.5 шакл.

Юқорида айтганимиздек куч ко`пбурчаги усулидаги каби, А нуқтани, иккинчи кучни ко`чирилгандан кейинги ҳолатини охири билан бирлаштирувчи кесма тенг тасир этувчи куч ҳисобланади, лекин унинг тасир чизиг`и қаердан о`тиши номалум, буни қуйидагича аниқланади.

Бунинг учун шу ко`чирилган ҳолатдаги иккинчи кучни охирини В нуқта билан туташтирамиз, ҳамда  кучни охиридан АВ о`ққа параллел чизиқ о`тказамиз, шу охирги иккита чизиқларнинг кесишган нуқтаси (уни О деб белгилайлик) тенг тасир этувчи кучнинг тасир чизиг`и кесиб о`тадиган нуқтани белгилайди.

Ушбу қоида албатта исбот талаб қилади, шунинг учун уни қуйидагича исботлаймиз (2.6 шаклга қаранг). А нуқтани аниқланган О нуқта билан бирлаштирамиз, ва  кучини шаклда ко`рсатилгандек иккита  ташкил этувчиларга ажратамиз. Худди шундай қилиб  кучини ҳам иккита  ташкил этувчи кучларга ажратамиз.



2.6 шакл.

2.6 - шаклдан ко`риниб турибдики  кучлари о`заро мувозанатлашувчи кучлар системасини ташкил этади, шунинг учун иккинчи аксиомага асосан уларни системадан олиб ташласак, ушбу системада О нуқтада кесишувчи  кучлар қолади холос. У ҳолда уларнинг тенг тасир этувчиси  вектори ҳам шу О нуқтадан о`тишлиги исботланди, яни унинг ё`налиши ҳам, сон қиймати ҳам аниқланди.

Ушбу қоида орқали параллел кучларнинг тенг тасир этувчисини тасир чизиг`и қаердан о`тишини осонгина аниқлаш мумкин.

5.Кучнинг о`ққа ва текисликка проектсияси.

Юқоридаги усуллар геометрик ёки график усул ҳисобланади, кучлар сони оз бо`лган ҳолларда ва катта аниқлик талаб қилинмаган ҳолларда, ушбу усул о`зининг соддалиги сабабли кенг қо`лланилади. Лекин кучлар сони ко`п бо`лганда ва катта аниқлик талаб қилган ҳолларда аналитик усул қо`лланилади, айниқса хозирги замонавий компютерлар ёрдамида масалалар албатта аналитик усул билан эчилади.

Бунинг учун, ҳарқандай куч текисликда жойлашган бо`лса иккита ташкил этувчиларга, фазода жойлашган бо`лса учта ташкил этувчиларга ажратилиб, масалалар эчилади. Агар шу ташкил этувчилар Ох, Оу ва Оз о`қларига параллел бо`лса, улар шу кучнинг координата о`қларидаги проектсиялари ҳисобланадилар.



2.7 шакл.

Шунга ко`ра кучнинг бирор о`ққа (масалан Ох о`қига) проектсияси деб, шу кучнинг бошидан ва охиридан о`ққа туширилган перпендикуляр кесмаларнинг орасидаги энг қисқа масофага айтилади.

Масалан  кучининг Ох о`қидаги проектсияси  га тенг экан, ёки математик ифодаси қуйидагича ёзилади, .



2.8 шакл.

Енди шу кучни бирор текисликка проектсиялайлик (2.8 шакл), масалан хОу текислигига. У ҳолда, шу  куч векторининг бошидан ва охиридан шу хОу текислигига перпендикуляр чизиқлар о`тказамиз, уларнинг орасидаги энг қисқа масофа, шу  кучнинг хОу текислигидаги проектсияси деб аталади, ва .

Агар этибор берган бо`лсангиз, кучнинг текисликка проектсияси вектор қийматдир, чунки уни яна бир марта шу текисликда ётувчи о`қларга проектсиялаш мумкин.

6.Учрашувчи кучлар системасини аналитик усулда қо`шиш.


2.9 шакл.

Фараз қилайлик бирорта жисмга бир нуқтада кесишувчи Н - та кучлар системаси тасир этсин, у ҳолда бу кучларнинг тенг тасир этувчисини аниқлаш учун уларни вектор усулда (2.1) формулага асосан қо`шсак қуйидагини аниқлаймиз (2.9 шакл), яни
 (2.1)
Енди ушбу вектор тенгламанинг иккала томонини, Декарт координата о`қларига проектсияласак, қуйидаги 3 - та скаляр тенгламани ҳосил қиламиз, яни
 (2.2а)

 (2.2в)

 (2.2с)
Агар тенг тасир этувчи  кучининг модулини (сон қийлатини) аниқлас` зарур бо`лса, қуйидаги формтлад`н топамиз,

; (2.3)

Т%нг тасир этувчи куч вектнрининг координата о`қлари билан ҳосил қилган бурчак косинуслари қуйидаги формулалардан аниқланади,

 (2.4)