Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус вазирлиги мирзо улуғбек номидаги ўзбекистон миллий университетининг жиззах филиали

h –идиш тубидан суюқлик сатҳигача бўлган масофа;
L –идишнинг цилиндрик қисми узунлиги;
r₁,r₂, –цилиндр кўндаланг кесимининг горизонтал ва вертикал ўқлари узунликлари (агар кўнлаланг кесим доира шаклида бўлса r₁=r₂=r):
l –идишнинг қавариқ қисми учидан идишнинг цилиндрик қисмигача бўлган масофа, қавариқлик баландлиги (-расм).

1-расм
Қуйида исботига тўхталмасдан, бошланғич маълумотлар асосида идишдаги суюқликлар ҳажмини ҳисоблаш формулалари келтирилган. Бунда қуйидаги белгилашлардан фойдаланилган. []
, .
1.Четлари қавариқ бўлмаган, эллипс асосли цилиндрдаги суюқликнинг ҳажмини ҳисоблаш формулалари.
1.1. идиш горизонтал ҳолатда жойлашганда:

1.2. идиш вертикал ҳолатда жойлашганда:

2.Қавариқ четлари шар сегменти шаклида бўлган цилиндрик идишдаги суюқлик ҳажмини ҳисоблаш формулалари:
2.1. идиш горизонтал ҳолатда жойлашганда:


2.2.Агарюқорида қаралаётган шар сегменти ҳажми қуйидаги

формула орқали ҳисобланиши эътиборга олинса, вертикал жойлашган идишдаги суюқлик ҳажмини

формуласи ёрдамида топиш мумкин.[1]
3. Қавариқ четлари эллипс асосли конус кўринишида бўлган цилиндрик идишдаги суюқлик ҳажмини ҳисоблаш формулалари:
3.1 идиш горизонтал ҳолатда жойлашганда:

3.2. идиш вертикал ҳолатда жойлашганда:

4. Четлари эллипсоид сегменти шаклида бўлган цилиндрли идишдаги суюқлик ҳажмини ҳисоблаш формуласини топиш.
4.1.Идиш горизонтал ҳолатда жойлашганда:


4.2. Идиш вертикал ҳолатда жойлашганда:
Агар эллипсоид сегментлари ҳажми учун қуйидаги

формулалар ўринли эканлигини ҳисобга олинса, уларнинг тегишли комбинациялари ёрдамида вертикал жойлашган идишдаги суюқлик ҳажмини қуйидаги

формула ёрдамида ҳисоблаш мумкин. []
Бўлажак муҳандисларга математик моделлаштиришни ўргатишнинг самарали воситаси сюжетли масалалардир, уларни математиканинг турли бўлимларида математик тилга ўтказиб қўллаш мумкин. “Кетма – кетлик. Қаторлар” мавзуларини ўргатишдабўлажак муҳандисларга ўқ отиш хонасидаги икки мерган (уста ва шогирд) ҳақидаги масала таклиф этилади. Хар бир мерганнинг отган ўқининг нишонга тегишини сонлар қатори сифатида тақдим этиш мумкин, лекин мусобақа чексиз вақт давом этиш шарти таъкидланади (чунки кетма – кетлик бу элеметлари номерланган чексиз тўплам). Устани кузатганимизда доирани қанчалик кичик олмайлик бирор бир отишдан бошлаб барча уринишлар шу доира ичида жойлашишини кўрамиз. Демак, нишонга тегишлар кетма – кетлиги нишон марказига интилади (яқинлашади), шундай қилиб, нишон ўртаси отилган ўқнинг нишонга тегишлари кетма – кетлигининг лимити. Шогирдни кузатганимизда, нишон маркази атрофида бирор бир радиусли шундай доира чизиш мумкинки, биз қайси номерни олмайлик шу доира чегарасидан чиқиб кетган ундан катта номерли тегиш топилади. Бу ҳолат тегишлар кетма–кетлиги доира марказига интилмаслигини (яқинлашмаслигини) билдиради. Сўнг, ушбу мисолда Коши аломатини (кетма – кетликнинг яқинлашиш аломати) қараб чиқамиз. (Ихтиёрий масофани ўйланг. Сўнг шундай номерни топингки, иккити катта номерли ихтиёрий тегишлар орасидаги масофа ўйланган масофадан кичик бўлсин. Агар биз қанчалик кичик масофани ўйламайлик бу нарсанинг уддасидан чиқишимиз мумкин, демак, кетма – кетлик Коши аломатини қониқтиради, бундан унинг яқинлашиши келиб чиқади).
Мисол тариқасида яна бир теоремани келтирамиз: “Агар қаторнинг қисм йиғиндилари кетма – кетлиги лимитга эга бўлса, у холда қатор яқинлашувчи дейилади; ушбу қоида қатор йиғиндиси деб аталади. Агар қисм йиғиндилар кетма – кетлиги лимитга эга бўлмаса, у ҳолда қатор узоқлашувчи деб номланади.” Бўлажак муҳандисларга оила хаёти билан боғлиқ сюжетли масала таклиф этилади: “Бир оилада хар йили қизининг туғилган кунида эшик қутисига қизнинг бўйига мос белги қўйилади. Йиллар ўтиб эшик қутисида белгилар зинаси падо бўлади. Ушбу мисолда иккита кетма – кетликни кузатиш мумкин: биринчиси – йилдан йилга ўтиб бўйнинг ўсиши белгилари кетма –кетлиги, иккинчиси – бўй ўлчовлари кетма - кетлиги”. Бу икки кетма – кетлик бир бири билан боғлиқ. Иккинчи кетма – кетлик биринчисидан қўшиш орқали ҳосил бўлади. Бўй ўлчовлари – барча аввалги йиллардаги ўсишлар йиғиндиси. Иккинчи кетма – кетлик ҳадларини қўшиш назарда тутилади, уларни қатор ҳадлари деб аташади. Қаторниг биринчи n та ҳадининг йиғингдиси қаторнинг n чи йиғиндиси (қисм йиғиндиси) деб аталади. Вақт ўтиб эшикдаги бир бирига уринган белгилар, яъни бўй ўлчамлари кетма - кетлиги лимитга эга (яқинлашади). Келтирилган мисоллар “Кетма – кетликлар, Қаторлар” мавзусини ўрганиш жараёнини тасвирлайди. Шунга ўхшаш усулда математика курсининг барча мавзуларини ўрганиш, шунингдек “Функция”, “Дифференциал ва интеграл ҳисоб”, “Кўп ўзгарувчи функциялар”, “Функционал қаторлар” ва бошқа мавзуларнинг тушунчалари ва теоремаларини қараб чиқиш мумкин.
Кўриб чиқилаётган фаоллаштириш усулларидан фойдаланган ҳолда биз бўлажак муҳандисларнинг математика, ундаги ижодкорлик ҳақидаги тасаввурини ўзгартирамиз, уни ўрганишга қизиқишни кучайтирамиз, математика соҳасидаги янги билимларнинг аҳамиятини оширамиз, тажриба иш охирида ўтказилган сўров натижаларига кўра бу ҳолат бўлажак муҳандисларнинг математика фанини мукаммал ўрганишга бўлган қизиқишларини ривожлантиришга ёрдам беради.
Ижодий лойиха топшириқларни бажариш жараёнида талабаларни мустақил билиш фаолиятига жалб этиш - иккинчи педагогик шартни амалга оширишни лойихали, шу билан бирга тизимли ва фаолиятли ёндошув тамойилларига асосланган ҳолда қурамиз. Ушбу шароитни амалга ошириш методикасини қараб чиқамиз. Биринчи бобда таъкидланганидек, бўлажак муҳандисларнинг мустақил билиш фаолияти (мустақил иши) – бўлажак муҳандислар фаолиятини ташкил этишнинг масус шакли, унда берилган мавзу (муаммо) бўйичамустақил иши профессор-ўқитувчининг бевосита иштирокисиз, лекин методик бошқаруви остида режалаштирилади ва бажарилади. Ихтиёрий лойиха устида иш бўлажак муҳандислар учун мустақил билиш фаолияти, чунки лойиха топшириғини бажаришда бўлажак муҳандис мустақил лойиха олди тадқиқотни олиб боради: олдига қўйилган муаммони (масалани) таҳлил қилади, бўлажак лойихага қўйилган асосий талабларни аниқлайди, турли лойиха ғояларини қараб чиқади, ўзининг бўлажак лойихасини баҳолаш мезонини танлайди.Булар эса ўз навбатидабўлажак муҳандисларда таҳлилий ва бахолашкўникмаларининг шакллантиришга ёрдам беради. Бунда бўлажак муҳандис математиканинг ҳар бир бўлими бўйича назарий билимларига таянади ва математика бўйича дастурдоирасидан ташқарига чиқувчи етишмаётган маълумотларни топишни ўрганади.
Лойиха устида муваффақиятли мустақил омиллари қуйидагилардан иборат:
а) бўлажак муҳандисларнинг ўз лойиха фаолиятини амалга оширишга мотивасицнинг(яъни, лойиха фаолияти уларга нима учун зарурлигини англаш);
б) билиш масалаларининг қўйилиши (лойиха фаолиятини амлга ошириш учун нима зарур - деган саволга жавобни қидириш);
в) бўлажак муҳандисларнинг лойихани ишлаш босқичларини, лойихалаш методларини билиши;
г) олий математика бўйича зарурий - назарий материаллар;
д) зарурий етишмаётган маълумотни турли манбаалардан (маъруза, китоблар, журналлар, Интернет) излаб топа олиши.
Математика бўйича лойиха топшириқларининг юқори шакли очиқ турдаги муаммонинг мавжудлигини (масала бир нечта ечимга эга бўлган ҳолда берилган лойиха учун энг яхшисини танлаш) назарда тутадиган ижодий лойиха топшириқларидир. Бўлажак муҳандислар томонидан бажариладиган барча лойиха топшириқлари қуйидаги талабларга жавоб беради:

1. 
   очиқ турдаги муаммонинг мавжудлиги;
   
2. 
   топшириқни бажариш жараёнида бўлажак муҳандислар лойиха устида ишлашнинг барча босқичларини босиб ўтади;
   
3. 
   ижодий лойиха топшириғи шахсий ва ижтимоий ахамиятли натижага эришишга йўналтирилган;
   
4. 
   топшириқ математиканинг амалий ахамиятини акс эттиради
   

Бўлажак муҳандислар тадқиқотнинг биринчи мавзусини эълон қилишдан аввал лойихалашнинг назарий асоси тушинтириладиган, турли мавзулар бўйича тугалланган лойихалар намойиш этиладиган, шу лойихаларнинг ижобий ва манфий томонлари мухокама қилинадиган методик семинар ўтказилади. Профессор-ўқитувчи ва талабаларнинг хамкорлиги тамойили асосида биринчи лойиха ишларини бажаришда ишнинг асосий йўналишлари қаралади, бўлажак лойихаларнинг мухим характеристикалари белгиланади. Кейинчалик лойихалар устида ишлаш жараёнида аста - секин бўлажак муҳандисларнинг мустақиллик даражаси ошиб боради, профессор-ўқитувчига эса фақат мавзуни эълон қилиш етарли бўлади. Тадқиқотнинг хар бир эълон қилинган муаммосидан сўнг лойихани ишлаб чиқиш учун бўлажак муҳандисларга уч хафтадан кам бўлмаган вақт ажратилади.
Бўлажак муҳандислар томонидан бажрилган математика амалий функцияни бажарган, касбий масалаларни ечиш билан боғлиқ лойихалардан мисоллар келтирамиз. Масалан “Иккинчи тартибли эгри чизиқлар ва фазовий жисмлар” мавзусини ўрганишдатажриба гуруҳи талабаларига “Оламда ғайриоддий шаклларнинг мавжудлиги” мавзуси таклиф этилди, уни ишлаб чиқиш эса фигуралар макетларини, геометрик жисмларнинг моделларини, мультимдиали тақдимотларни ёки рефератларни тайёрлашни талаб этади. Энг қизиқ лойихалар “Мебиус япроғи” бўлажак муҳандислар томонидан ижодий ёндошув, фантазиянинг катта улуши ва уларнинг касбий йўналиши билан боғлиқлиги алохида таъкидланди.
Фанлараро лойиҳалар катта имкониятларга эга, уларни бажаришда бўлажак муҳандислар математиканинг кундалик ҳаёт билан боғлиқлигини аниқлайдилар. Шуни таъкидлаш керакки, фанлараро лойихаларда математика билан техника йўналиши олий таълим муассасаларида ўқитиладиган умумий таълим фанлари, масалан, физика ёки таълим йўналиши соҳасидаги фанларда ўрганилиши керак бўлган яна иккита ёки учта фан бирлаштирилади.
Масалан (муҳандис комуникациялари қурилиши ва мантажи (турлар бўйича) иқтисослик йўналиши) талабаларига мутахассислик фанлари билан боғлиқ “Архитектура ва қурилишда математика” мавзуси таклиф этилади. Мазмунни аниқлаштириш, лойиха воситалари ва шаклини танлаш бўлажак муҳандисларнинг мустақил ижодий фаолияти соҳасидир, унга кўра бажарилган лойихалар турли хиллиги ва ўзига ҳослиги билан ажралиб туради. Бундай лойиҳаларқуйидагилар ҳисобланади: архитектура қурилишларининг макетлари ва уларга тегишли рефератлар, “Архитектурадаги математика”, “Қурилишда гометрия олами”, “Архитектурадаги олтин кесим”, “Қурилиш конструкциялари”, “Она шахрим архитектураси”, “Биноларни лойихалаштиришда антропометрия” мавзулар бўйича мультимедиали тақдимотлар. Бўлажак муҳандисларда математикани кундалик хаёт билан боҳланишини акс эттрувчи лойихалар катта қизиқиш уйғотади. Масалан математик статистикани ўрганишда бўлажак муҳандислар “Математика ва спорт” мавзусида гурухли лойихаларни бажаришади. Уларни ишлаб чиқиш натижасида илмий – амалий конференция ўтказилади, унда бўлажак муҳандислар ўз лойихаларини ҳимоя қилишади ва ўзлари томондан яратиган тақдимотларни тақдим этишади. Лойихаларни ишлаб чиқиш жараёнида бўлажак муҳандислар математиканинг тенисда, футболда, волейболда, шахматда қўлланиши хақида билиб оладилар. “Математика ва иқтисод” мавзу бўича лойихалар эса мазмун ва расмийлаштирилиши бўича турли, уларда кўча лойҳасини, шахсий уй, шахсий дала ховли ва хаказоларни яратиш бўича қизиқарли лойихалар таклиф этилган.
Бўлажак муҳандислар лойихалар устидаги ишлар натижалари бўича ўқув машғулотлардан бўш вақти бир нечта ёки битта гурух учун ташкил этилган семинарлар ўтказилади. Семинар иштирокчиларининг сони эса ишлаб чиқилаётган лойихадаги муаммо хусусиятидан келиб чиқган холда белгиланади. Масалан, “Архитектура ва қурилишда математика” мавзу фақат муҳандис комуникациялари қурилиши ва мантажи (турлар бўйича) иқтисослик йўналиши талабалари учун долзарб, “Математика ва хаёт” мавзуси бўйича барча мутахассисликлар ва йўналишлар бўйича тайёрланаётган муҳандислар учун қизиқ.Бундай семинарда тақдим этилган лойихалар мавзулари турлича: «Математика ва санъат», «Олтин кесим», «Математика ва табиат қонунлари», «Асал ари уяси геметрияси », «Фракталлар оламига саёҳат», «Амалий математика ва космик чиқинди муаммоси», «Қадимги Египет математикаси» ва бошқалар.
Агар берилган мавзу бўйича лойиҳа устидаишлаш мустақил шахсан хар бир бўлажак муҳандис томонидан иш олиб борилса, у холда бўлажак муҳандис ўз лойихасининг мультимедиали тақдимоти ёки маърузаси билан чиқиш қилади, ўз лойихаси макетини (бажарган бўлса) намойиш этади. Сўнг тақдим этилган иш бўлажак муҳандислар ва профессор-ўқитувчи орасидаги диалог кўринишида мухокама қилинади. Агар лойиха гурухда бажарилган бўлса (гурухли лойихада икки – уч киши қатнашади), у холда гурухдан битта одам нотиқ, қолганлари саволларга жавоб берувчи маслахатчи бўлади. Агар битта мавзу бўйича иккита талаба мустақил лойихаларини ишлаб чиқган бўлса, у холда тақдим этиш семинарида битта талаба нотиқ сифатида қатнашади, иккинчиси оппонент ролида нотқга лойиха юзасидан саволлар беради ва муаммо бўйича ўз фикрини қисқача баён этади. Лойиха сифати қуйидаги мезонлар бўйича бахоланади: мавзунинг тўлалиги, лойиханинг мураккаблиги (айниқса, у макет бўлса) ва эстетиклиги, лойиха ҳимоясида лойиха муаллифининг фаоллиги, саводхонлиги ва нутқининг ифодалилиги, саволларга жавобларнинг тўлиқлиги, лойихани ишлаб чиқишда шахсий хиссасининг хажми, энг аввало, лойихага шахсий муносабатни очиш даражаси, олиб борилган тадқиқот ишининг мослаштирилганлиги, шу билан бирга лойиханинг амалий қўлланиш имконияти ҳисобга олинади. Бундан ташқари, бўлажак муҳандисни тингловчи сифатида фаоллиги қўшимча бахоланади: мазмунли саволларни бериш ва бошқа талабалар томонидан тақдим этилган лойихаларнинг сифати хақида фикр юритиш омили.
Семинарларда ўз лойихаларини ҳимоя қилиш бўлажак муҳандисларнинг коммуникатив ва рефлексив кўникмаларини шакллантиришга ёрдам бради, чунки улар нафақат ўз лойихасини ҳимоя қилишда ўз курсдошлари билан мунозарали диалогга киришади, балки шу билан бир қаторда ўз фаолиятини таҳлил қиладилар. Шуни таъкидлаш жоизки, лойихали фаолият бўлажак муҳандисларнинг мустақил билишини рағбатлантириш ва билиш фаолиятида қадриятни мўлжал ошишига катта имкониятга эга.
Учинчи педагогик шарт – бўлажак муҳандисларни ўқитишнинг сухбат шаклига, мустақил тузилган алгоритм бўйича асосий ва машқ қилдирувчи масалаларни ечиш бўйича янги йўлларни топиш усуллари намунасини узатиш бўйича фаолиятига жалб этиш орқали улар томонидан олий математика фанини касбий ахамиятли қадрият сифатида англаш шартини амалга ошириш методикасини кўриб чиқамиз. Ушбу педагогик шартни амалга оширишда компетентли ёндашув етарли хисобланади, уни қўллаш бўлажак муҳандислар онгида математиканинг аҳамиятини фаоллаштиришга ва уларнинг этиборини кейинчалик турдош ва махсус фанларни ўзлаштиришда, шу билан бирга касбий фаолиятида олий математика курсида ўқитилаётган ҳар бир мавзунинг тутган ўрнига қаратиш имконини беради. Бунинг учун ҳар бир янги мавзуни ўрганаётган бўлажак муҳандислар махсус дафтарда мунтазам равишда, намуналари9-жадвалда келтирилган жадвални тўлдирадилар