Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта маҳсус таълим вазирлиги қарши муҳандислик иқтисодиёт институти нефть ва газ факультети

5-маъруза. АРСларни математик моделлаштириш усуллари
Маъруза режаси:

1. 
   АРСларнинг дифференциал тенгламасини тузуш усуллари.
   
2. 
   Статик характеристикаларни чизиқлантириш.
   
3. 
   Релели элементларнинг статик характеристикалари.
   

Кўпчилик ҳолларда АРСларни чуқур таҳлил қилиш зарурияти юзага келганда тажрибавий тадқиқотлар жуда катта ва қийин кечиши, баъзи ҳолларда эса ишлаб турган саноат ускуналарида тажриба ўтқазишнинг имкони бўлмай ҳам қолиши мумкин. Бундан ташқари бир неча ўзаро боғлиқ параметрли мураккаб объектларни ростлашнинг турли вариантларини ўрганиш ёки янги лойиҳаланаётган ростлаш объектлари учун АРСни танлаш ва тадқиқ этиш масалалари ҳам юзага келиши мумкин.

Кўплаб шундай ҳолларни ҳисобга олган ҳолда тажрибаларни объктнинг ўзида ёки унинг АРСида эмас, балки уларнинг моделида ўтказиш мақсадга муофиқ бўлади. Яъни ростлаш объектлари дифференциал тенглама кўринишида характеристикаланади ва бу тенгламалар текширилаётган жараённи энг мақбул кўринишда характеристикалаб беради.
Ҳар қандай АРС ва унинг элементлари чизиқли ва ночизиқ бўлиши мумкин. Уларнинг қандай кўринишда бўлиши системанинг кириш ва чиқиш параметрларини ўзаро боғловчи дифференциал ва алгебраик тенгламалар системаси, яъни системанинг математик модели белгилаб беради.
Одатда барча реал системалар ночизиқ системалар туркумига киради. Бунга сабаб АРС элементларининг реал статик характеристикалари ночизиқ эканлигидир. Бундай системани характеристикаловчи дифференциал тенгламалар системасининг умумий кўринишда ечишимини топиш мумкин эмас. Шунинг учун агар мумкин бўлса математик моделнинг ночизиқ тенгламалари системасини чизиқлантириш зарурияти юзага келади. Бунда математик модел оддийроқ ва чизиқлига яқин система билан алмаштирилади.
Агар АРС модели тенгламаси унинг элементларининг статик характеристикалари ночизиқ бўлганлиги сабабли ночизиқ бўлса, у ҳолда тенгламани чизиқлантириш масаласи элементнинг ночизиқ статик характеристикаси ни чизиқли функция билан алмаштириш масаласига келтирилади (12-расм, а,б.). бу ерда -чиқиш параметири, - эса кириш парамерири.
Математик жиҳатдан бу алмаштириш функциясини барқарорлашган ҳолатга мос келувчи нуқта атрофида Тэйлор қаторига ёйиш йўли билан амалга оширилади. Геометрик жиҳатдан эса нинг ночизиқ статик характеристикасини эгриликка математик текширилаётган объект ишининг барқарорлашган ҳолатига мос келувчи , координатали нуқталарда ўтқазилган урунма билан алмаштириш тшунилади.
Бошқа ҳолатларда чизиқлантириш объектнинг чиқиш катталиги ўзгаришининг талаб этилган диапазонида функциядан кам фарқланувчи кесувчи (кесма) ўтказиш орқали амалга оширилади (12-расм, в.)


12-расм. Статик характеристикаларни чизиқлантириш
Юқорида келтирилган усуллар орқали чизиқлантирилган характеристикалар сезиларсиз ночизиқ характеристикалар дейилади. Шу билан чизиқлантириш мумкин бўлмайдиган характеристикалар ҳам мавжуд ва уларни сезиларли ночизиқ характеристикалар дейилади (13-расм)

13-расм. Реле элементларининг статик характеристикалари.
а) идеал; б) носезгир зонали.

Тадқиқот объекти умумий кўринишдаги ночизиқ дифференциал тенглама орқали характеристикаланаётган бўлсин:

, (1)


Бу ерда ва - объект барқарорлашган ҳолатига мос келувчи координата қийматлари, ва эса ва координаталарнинг барқарор ҳолатдан оғиши. У ҳолда (1) тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:
(2)
Бу тенгламанинг чап тамонини барқарор ҳолат нуқтаси га нисбатан Тейлор қаторига ёямиз.
(3)

Функция барқарорлашган ҳолатга мос келувчи нуқта атрофида силлиқ деб қабул қилиб, (3) ни қуйидаги кўринишда ёзамиз:

(4)
Бу тенглама чизиқли дифференциал тенглама бўлиб, унинг доимий коэффициентлари , , , . (4) тенглама (1) нингчизиқлштирилган кўринишидир. Бу чизиқли тенгламадан фойдаланиб кириш ва чиқиш координаталари барқарорлашган ҳолатга нисбатан жуда кам ўзгарган ҳолатдагина объектни тадқиқ этиш мумкин.
Одатда чизиқлаштирилган тенгламани ёзишда чап тарафда чиқиш координатасининг оғишини ўз ичига олган аъзолар қолдирилади, бошқа барча аъзолар эса ўнг тамонга олиб ўтилади. У ҳолда (4) тенглама қуйидаги кўринишга келади:
:
, (5)
бу ерда .
белгилаш киритамиз. Бу ерда у_б ва х_б –параметрларнинг базавий қийматлари. Бу қийматлар сифатида параметрнинг ҳар қандай қиймати олиниши мумкин. Одатда параметрнинг танланган барқарор ҳолатга мос келувчи максимал ёки минимал қиймат танланади. У ҳолда (5) тенглама қуйидаги кўринишга келади:
(6)
; ; ; белгилаш киритиб қуйидагини оламиз;
(7)
Бу ерда ; ; шунинг учун (7) тенглама қуйидаги кўринишга келади:
(8)
Бундай кўринишдаги тенгламалар бирлиги динамик система кечишини характеристикалайди ва бу тенгламаларни ечиб системанинг ўтиш характеристикасининг характеристикаини олиш мумкин.
Тенгламанинг доимий коэффициентлари ёки аналетик (масалан иссиқлик объектлари учун объектнинг иссиқлик ҳисоби маълумотлари орқали), ёки статик характеристика графиги орқали аиқланиши мумкин.

Синов саволлари:

1. 
   Қандай ҳолларда объект учун тажриба орқали ўтиш характеристикасини олиш мумкин бўлмайди?
   
2. 
   Математик ва геометрик чизиқлантириш йўлларини тшунтиринг.
   
3. 
   Статик характеристикаларни чизиқлантириш усулларин тшунтиринг.
   
4. 
   Релели элементларнинг статик характеристикаларини изоҳланг.