Знание основных элементарных функций

Глава І


Степенная функция
Степенная функция - функция , где a (показатель степени) — некоторое вещественное число. Число n может принимать различные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид.
К степенным функциям часто относят и функцию вида , где k — некоторый коэффициент. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.[2]
Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке:

• 
  степенная функция у=х²(функция с четным показателем степени –парабола);
  
• 
  степенная функция у=х³(функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола);
  
• 
  функция (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени);
  
• 
  функция с отрицательным целым показателем (гипербола).
  

1.1 Область определения

Если показатель степени - целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при x> 0. Если a > 0, то функция определена также и при x = 0, иначе ноль является её особой точкой.[3]

1.2 Показатель степени

Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n.

При а=1 получается функция у=kx, называемая прямой пропорциональной зависимостью.
Графики функций вида , где n- натуральное число, называются гиперболами порядка n. При a=-1 получается функция , называемая обратной пропорциональной зависимостью.
Если , то функция есть арифметический корень степени n.


1.3 Свойства

Свойства функции:

1. 
   Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Нуль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция определена в нуле и его правой окрестности, но её производная в нуле не определена.
   
2. 
   В интервале (0;∞) функция монотонно возрастает при а>0 и монотонно убывает при a < 0. Значения функции в этом интервале положительны.
   
3. 
   Производная функции:
   
4. 
   Неопределённый интеграл:
   

если , то:
,
если а = 1, то получаем: