Знание основных элементарных функций

Глава ІІ Логарифмическая функция

1. 
   Основные характеристики
   

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию .

Она определена приa> 0;a ≠ 1; x>0.
Область значений:E(y) = (-∞;+∞).
Эта кривая часто называется логарифмикой. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, большими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.
Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок). Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.
Функция является строго возрастающей при a> 1 и строго убывающей при 0Ось ординат ( ) является левой вертикальной асимптотой, поскольку:



При a > 1,

При 0< a < 1.
Производная логарифмической функции равна:


.

С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения:

2.2 Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание


Область определения функции – это множество всех значений аргумента, на котором задается функция.
Область определения логарифмической функции (или как еще говорят область определения логарифма) – это множество всех положительных действительных чисел, то есть, D(log_a)=(0, +∞), в частности, D(ln)=(0, +∞) и D(lg)=(0, +∞).
Приведем примеры. Рассмотрим логарифмические функции
, , , область определения этих функций есть множество(0, +∞).
Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет.
Область значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел. В самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо равенство

log_a(a^y)=y (1)

т. е. функция y= log_ax принимает значение у₀в точке x₀=a^у_0. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).
Докажем, например, что при а>1 функция возрастает (в случае 0<а<1 проводится аналогичное рассуждение).
Пусть x₁ и x₂ — произвольные положительные числа и x₂>x₁. Надо доказать, что log_ax₂>log_ax₁. Допустим противное, т. е. что

log_ax₂≤log_ax₁ (2)

Так как показательная функция у=а^х при а>1 возрастает, из неравенства (2) следует:

a^log_a^x₂≤a^log_a^x₁ (3)

Но a^log_a ^x₂=x₂, a^log_a ^x₁=x₁ (по определению логарифма), т. е. неравенство (3) означает, что x₂≤ x₁. Это противоречит допущению x₂> x₁. Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке 1; log_a1 =0 при любом а>0, так как а⁰= 1.
Вследствие возрастания функции при а>1 получаем, что при х>1 логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0ax убывает на R₊, поэтому log_ax>0 при 0ax<0 при х>1.
Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y=log_aх при а>1(рис.10) и 0<а<1 (рис.11).

Рис. 10 Рис. 11

Справедливо следующее утверждение: Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х.

3.