Знание основных элементарных функций

Свойства логарифмической функции

Свойства логарифмической функции:

1.Область определения:D(y) = (0; ∞);
2.Множество значений: E(y) = (- ∞; + ∞);
3.Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности.
4.Периодичность функции: непериодическая.
5.Нули: функция обращается в нуль при x = 1.
6.Промежутки знакопостоянства: Еслиa> 1, то функция положительна для x∊(1; +∞) отрицательна для x∊(0; 1) если 0 7.Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
8.Промежутки возрастания и убывания: если 0 1, возрастает для x∊ (0; + ∞).
9.Асимптоты: прямая X= 0 (ось Oy) – вертикальная асимптота.
10.График функции для a> 1 изображен на (рис.12), а для 0

Рис. 12 Рис. 13

Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда

или

Функция если a> 1, является обратной для функции , при a> 1. Функция если 0

3. 
   Графики логарифмической функции
   

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. На графике представлены значения логарифма y(x)=log_ax (рис. 14) для четырех значений основания логарифма: a =2, a =8, a =1/2 и a = 1/8.

На графике видно, что при a >1логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 1логарифм монотонно убывает.

Рис. 14

1. 
   y=log2x, основание 2>1 (рис.15).
   

x	14	12	1	2	4	8
y=log2x	−2	−1	0	1	2	3

Рис. 15

2. 
   y=log x, основание 0< <1, (рис.16).
   

x	9	3	1	13	19
y=logx	−2	−1	0	1	2

Рис. 16

3. 
   Логарифмическая функция (рис.17)и функция , (рис.18)где (a>0,a≠1), взаимно обратны.
   

Рис. 17 Рис. 18

Глава ІІІ


Показательная функция
Показательная функция это функция y(x) = a ^x, зависящая от показателя степени x, при некотором фиксированном значении основании степени a. Показательной функцией называется функция вида , где a> 0, a ≠ 0 и является числом(рис. 19, 20).

Рис. 19

Рис. 20

1. 
   Область определения показательной функции, множество значений
   

Рассмотрим показательную функцию y(x)= a ^x. В дальнейшем будем считать, что основание степени a является положительным числом: a>0. Тогда функция y(x)= a ^x определена для всех x. Ее область определения:–∞. При a≠1 она имеет множество значений 0 При a =1 показательная функция является постоянной y = 1.[1]

2. 
   Основные свойства показательной функции
   

Свойства функции:

1)Областью определения функции является множество всех действительных чисел R.
2)Множеством значений функции являются все положительные числа, т.е. промежуток .
3)Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.
4)Функция не является ни нечетной, ни четной. Имеет общий вид.
5)Функция непериодическая.
6)График функции пересекает координатную ось Oy в точке (0;1).
7)Функция не имеет нулей.
8)При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает на множестве R.
9) Функция принимает положительные значения на всей области определения.

3.