Знание основных элементарных функций

1.4 Степенная функция с дробным показателем

Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами:

1. 
   D(x)=R, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число.
   
2. 
   E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число.
   
3. 
   Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.
   
4. 
   Функция проходит через начало координат в любом случае.
   

1.5 Графики степенной функции

Рассмотрим степенную функцию у=х². Нанесем точки с вычисленными координатами (x;y) на плоскость и соединим их плавной непрерывной кривой. Эта кривая, называющаяся параболой, и есть график исследуемой нами функции. Степенная функция у=х² имеет график функции, изображенный на рисунке(1). Из рисунка видно, что графиком функции у=х² является парабола.

Степенная функция у=х² обладает следующими свойствами:

1. 
   D(x)=R – функция определена на все числовой оси;
   
2. 
   E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения.
   
3. 
   При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).
   
4. 
   Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).
   
5. 
   Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).
   

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х²(рис. 1), функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз. На графике видно, что ось Oy делит параболу на симметричные левую и правую части (ветви параболы), в точке с координатами (0; 0)(вершине параболы) значение функции — наименьшее. Наибольшего значения функция не имеет.
Вершина параболы — это точка пересечения графика с осью симметрии OY. На участке графика при x ∈ (–_∞;0] функция убывает, а при x ∈ [ 0; + _∞) возрастает. Функция y = является частным случаем квадратичной функции. Степенная функция у= - х², представлена на (рис. 2). Графиком функции
y=– также является парабола, но её ветви направлены вниз.

Рис. 1

Рис. 2

Рассмотрим, степенную функцию у = х³. Степенная функция у=х³ имеет график функции, изображенный на рисунке (3). График функции у=х³ называется кубической параболой.

Степенная функция у=х³(рис. 3)обладает следующими свойствами:

1. 
   D(x)=R – функция определена на все числовой оси.
   
2. 
   E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения.
   
3. 
   При х=0, у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).
   
4. 
   Функция возрастает на всей области определения.
   
5. 
   Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).
   
6. 
   График функции неограниченно продолжается вверх справа от оси y и неограниченно продолжается вниз слева от оси y.
   
7. 
   Если x > 0, то y > 0, если x < 0, то y < 0.
   

Рис. 3

Противоположным значениям x соответствует противоположные значения y.

Это следует из того, что (-x)³ = -x³ для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат. В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать. Имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат.[4]
Рассмотрим свойства степенной функции с целым отрицательным показателем. Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:

1. 
   D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n.
   
2. 
   E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число.
   
3. 
   E(y)=(0;∞), если n – четное число.
   
4. 
   Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.
   
5. 
   Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.
   
6. 
   Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число. Рассмотрим случаи, когда показатель степени – целое отрицательное число. , при n=1.
   

График функции (рис. 4).


Рис. 4
Рассмотрим степенную функцию с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, … . Рассмотрим степенную функцию с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, .... Если положить n = –k, где k = 1, 2, 3, ...– натуральное, то ее можно представить в виде (рис 5)



Рис. 5 График степенной функции y = xⁿ с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ....

а) функция задана в виде . Определена только на полуинтервале (0,+∞) рис(6).

б) функция определена на всей числовой оси рис (7);
Рис. 6 Рис. 7

в) функция определена при любом х (рис. 8), т.е. интервал симметричен относительно нуля;

г) функция (рис. 9).

Рис. 8 Рис.9