1. Eseli integrallardıń qollanılıwları Úsh eseli integral. Úsh eseli integraldı esaplaw. Eki eseli integraldıń bazıbir qollanıwları

Úsh eseli integrallardı esaplaw.Cilindelik hám sferalıq koordinatalar sistemasında úsh eseli integrallardı esaplaw.Úsh eseli integrallardıń qollanıwları
1. Eseli integrallardıń qollanılıwları
2. Úsh eseli integral. Úsh eseli integraldı esaplaw.
Eki eseli integraldıń bazıbir qollanıwları
1. Deneniń kólemi hám onıń eki eseli integral arqalı anıqlanıwı. keńislikte bazıbir shegaralanǵan (V) deneni qarayıq. Bul (V) deneniń ishinde (A) kópjaqlar jaylasqan, óz náwbetinde (V) dene bolsa (B) kópjaqlar ishinde jaylasqan bolsın. (A) kópjaqlar kólemlerin menen, (B) kópjaqlar kólemlerin menen belgileyik. Biz kópjaqlardıń kólemleri túsiniklerin hám onı esaplawdı (dál tegisliktegi kópmúyeshtiń maydanı túsinigi hám esaplaw kibi) bilemiz dep alamız. Nátiyjede (V) deneniń ishinde jaylasqan kópjaqlar kólemlerinen ibarat kóplik, ishine (V) dene jaylasqan kópjaqlar kólemlerinen ibarat kóplikler hasıl boladı. kóplik joqarıdan, kóplik tómenen shegaralanǵanlıǵı sebepli kóplik anıq joqarı shegaraǵa, kóplik bolsa anıq tómengi shegaraǵa iye boladı.

Ayqın,

1-anıqlama. Eger , yaǵnıy teńlik orınlı bolsa, ol jaǵdayda (V) dene kólemge iye dep ataladı hám shama deneniń kólemi delinedi.
Demek,
Endi (V) dene sıpatında joqarıdan z=f(x,y) bet penen, qaptal jaqlarınan jasawshıları kósherine parallel bolǵan cilindrdik bet hámde tómennen tegisliktegi (D) oblast penen shegaralanǵan deneni qarayıq.
(D) tuyıq oblasttıń P bóliniwin alamız. f(x,y) funkciya (D) da úzliksiz bolǵanlıǵı sebepli, bul funkciya P bóliniwdiń hár bir bóleginde de úzliksiz bolıp, onda

lerge iye boladı.
Tómendegi

qosındılardı dúzemiz. Bul qosındılardıń birinshisi (V) dene ishine jaylasqan kópjaqtıń kólemin, ekinshisi bolsa (V) deneni óz ishine alǵan kópjaqtıń kólemin anıqlaydı.
Ayqın, bul kópjaqlar, demek olardıń kólemleride f(x,y) funkciya hámde (D) oblasttıń bóliniwine baylanıslı boladı:

(D) oblasttıń túrli bóliniwleri alınsa, olarǵa qarata (V) deneniń ishine jaylasqan hámde (V) deneni óz ishine alǵan túrli kópjaqlar jasaladı. Nátiyjede bul kópjaqlar kólemlerinen ibarat tómendegi

kóplikler hasıl boladı. Bunda kóplik joqarıdan, kóplik bolsa tómennen shegaralanǵan boladı. Demek, bul kópliklerdiń anıq shegaraları

bar. Shártke muwapıq f(x,y) funkciya (D) tuyıq oblastta úzliksiz. Ol jaǵdayda Kantor teoremasınıń saldarına muwapıq, san alınǵandada, sanǵa muwapıq sonday san tabıladı, (D) oblasttıń diametri bolǵan hár qanday bóliniwi P ushın hár bir de funkciyanıń terbelisi

boladı. Onda

.
Demek, (D) oblasttıń diametri bolǵan hár qanday bóliniwi alınǵanda da bul bóliniwge sáykes (V) deneniń ishine jaylasqan hámde bul (V) nı óz ishine alǵan kópjaqlı kólemleri ushın bárqulla

teńsizlik orınlı boladı. Bunnan bolsa
(18.33)
teńlik kelip shıǵadı. Bul teńlik (V) dene kólemge iye bolıwın bildiredi.
Endi joqarı da úyrenilgen qosındıları Darbu qosındıları menen salıstırıp, hám qosındılar f(x,y) funkciyanıń (D) oblastta sáykes túrde Darbudıń tómengi hámde joqarı qosındıları ekenligin tabamız. Sonıń ushın mına

shamalar f(x,y) funkciyanıń tómengi hámde joqarı eki eseli integralları boladı, yaǵnıy

Joqarıdaǵı (18.33) qatnasqa muwapıq

teńlik orınlı ekenligin kórinedi. Demek,

Sonday qılıp, bir tamannan, qaralıp atırǵan (V) dene kólemge iye ekeni, ekinshi tamannan onıń kólemi f(x,y) funkciyanıń oblast boyınsha eki eseli integralına teń ekeni dáliyillendi. Demek, (V) deneniń kólemi ushın mına
(18.34)
formula orınlı.
Mısal. Mına

ellipsoidtıń kólemi tabılsın. Bul ellipsoid teńlikke qarata simmetriyalı. Joqarı bólegin orap turǵan bet

boladı.
Joqarıdaǵı (18.34) formulaǵa muwapıq ellipsoidtıń kólemi V:

boladı, bunda

Integralda

almastırıwdı orınlaymız. Bul sistemanıń Yakobianı

boladı. (2) sistema oblasttı oblastqa sáwlelendiredi. (18.27) formulaǵa muwapıq

boladı. Demek,

.
Sonday qılıp, ellipsoidtıń kólemi
.
boladı.