1-ma’ruza. Differensial tenglamalar sistemasini normal koʻrinishiga keltirish. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari

1-MA’RUZA. Differensial tenglamalar sistemasini normal koʻrinishiga keltirish. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari. Ostrogradskiy-Liuvill formulasi. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi haqida teorema. Chiziqli bir jinsli boʻlmagan tenglamalar sistemasi. Oʻng tomoni maxsus koʻrinishda boʻlgan chiziqli oʻzgarmas koeffisiyentli differensial tenglamalar sistemasini yechish. Eksponensial matrisani hisoblash

REJA

1. 
   Differensial tenglamalar sistemasini normal koʻrinishiga keltirish.
   
2. 
   Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi yechimlarining xossalari.
   
3. 
   Ostrogradskiy-Liuvill formulasi.
   
4. 
   Chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi haqida teorema.
   
5. 
   Chiziqli bir jinsli boʻlmagan tenglamalar sistemasi.
   
6. 
   Oʻng tomoni maxsus koʻrinishda boʻlgan chiziqli oʻzgarmas koeffisiyentli differensial tenglamalar sistemasini yechish.
   
7. 
   Eksponensial matrisani hisoblash
   

Differensial tenglamalar sistemasini normal koʻrinishiga keltirish.

n>1 chi tartibli differensial tenglamaning umumiy ko’rinishi

(1)

dan iborat.bu tenglamaning tartibi n ga tengdir

Bunda o’z argumentlarining ko’rilayotgan sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyasidir.

Faraz etaylik biror nuqtada

shartlari bajarilsin.

Uholda oshkormas funksiyaning mavjudlik teoremasiga asosan, (1) tenglamanihosilaga nisbatan yechish mumkin.

(2)

(2) tenglamani unga ekvivalent bo’lgan - noma’lumli ta birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi bilan almashtirish mumkin.

Buning uchun dan tashqari ta yangi o’zgaruvchilarni kiritamiz.

yangi o’zgaruvchi funksiya bilan funksiyalar quyidagicha bog;lanishda bo’ladilar:

(3)

dan ko’rinadikim.

shunga asosan

(4)

(3) va (4) birgalikda birinchi tartibli tenglamalar sistemasini tashkil etadi. Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasini simmetrik ko’rinishda yozish uchun larni mos ravishda lar bilan almashtiramiz.

U holda Yuqoridagi differensial tenglamalar sistemasini quyidagicha yozamiz:

(5)

(5) ga differensial tenglamalar sistemasining normal holi deyiladi.

Differensial tenglamalarning normal sistemasi, noma’lum funksiyalarning birinchi tartibli hosilalariga nisbatan yechilgan bo’ladi.

Chiziqli differenstial tenglamalar sistemasi.

TA’RIF. Chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deb, tenglamada qatnashayotgan noma’lum funksiyalar va ularning hosilalari birinchi darajada bo’lgan tenglamalarga aytiladi.

Chiziqli differensial tenglamalar sistema (ch.d.t.s.) ning kanonik ko’rinishi

dan iborat.

Bunda lar ko’rilayotgan oraliqda x–ning uzluksiz funksiyalaridir.

sistemani vektorli ravishda

()

ko’rinishda yozish mumkin. Bunda A(x) matrisa funksiya, f(x) vektor-funksiya.

f(x) koordinatalari, bo’lgan vektor-funksiya.

Agar sistemada, ko’rilayotgan oraliqdagi x ning hamma qiymatlari uchun bo’lsa, sistemaga birjinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.

Agar bo’lsa,

ga, birjinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.