13- mavzu karrali integrallar

13- mavzu KARRALI INTEGRALLAR


2.1.1. Ikki karrali integral
tekislikning silliq (yoki bo’lakli silliq) yopiq chiziq bilan chegaralangan
sohasida yoki funksiya berilgan bo’lsin.
Quyidagi ishlarni bajaramiz.
1. sohani ixtiyoriy ravishda umumiy ichki nuqtalarga ega bo’lmagan va yuzalari bo’lgan ta bo’lakka bo’lamiz. bunda sohaning yuzasi (1-shakl).
2. yuzalarning har birida nuqtani tanlab, bu nuqtada funksiyaning qiymatini hisoblaymiz va uni ga ko’paytiramiz:

3. Barcha shunday ko’paytmalarning yig’indisini tuzamiz:
. (2.1)
Bu yig’indiga funksiya uchun sohadagi integral yig’indi deyiladi.
yuza chegaraviy nuqtalari orasidagi masofalarning (vatarlarning) eng kattasiga shu yuzaning diametri deyiladi va bilan belgilanadi, bunda da .
1-ta’rif. Agar (2.1) integral yig’indining gi chekli limiti sohani bo’laklarga bo’lish usuliga va bu bo’laklarda nuqtani tanlash usuliga bog’liq bo’lmagan holda mavjud bo’lsa, u holda bu limitga funksiyadan soha
bo’yicha olingan ikki karrali integral deyiladi va bilan belgilanadi.
Demak,
, (2.2)
bu yerda, integrallash sohasi, integral ostidagi funksiya, integral ostidagi ifoda, integrallash o’zgaruvchilari, yuza elementi deb ataladi.
Ikki karrali integralning mavjudlik teoremasi deb ataluvchi teoremani isbotsiz qabul qilamiz.
1-teorema. Chegaralangan yopiq sohada uzluksiz har qanday funksiya uchun ikki karrali integral mavjud bo’ladi.
Mavjudlik teoremasidan sohani istalgan ravishda bo’laklarga, masalan,
k oordinata o’qlariga parallel chiziqlar bilan tomonlari va ga teng bo’lgan to’g’ri to’rtburchaklarga bo’lish mumkinligi kelib chiqadi.
Bunday bo’lishda ekanidan
.