7-ma`ruza Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari
Download 225.59 Kb. Pdf ko'rish
|
7-12 Маруза 41-80 lotin
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1-ta`rif
|
41
7-ma`ruza Yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossalari
{ } n x sonlar ketma-ketligi berilgan bo`lsin. 1-ta`rif. Agar { }
n x ketma-ketlik chekli limitga ega bo`lsa, u yaqinlashuvchi ketma- ketlik deyiladi. 1 0 . YAqinlashuvchi ketma-ketlikning chegaralanganligi. Tengsizliklarda limitga o`tish. 1-teorema. { }
n x ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lsa, u chegaralangan bo`ladi. ◄ Aytaylik, ) ( lim R a a x n n ∈ = ∞ →
bo`lsin. Limit ta`rifiga ko`ra ε ε < − > ∀ ∈ ∃ > ∀ | | ; , , 0 0 0 a x n n N n n
bo`ladi. Demak, 0 n n > uchun ε ε +
< −
x a n
bo`ladi. Agar { }
x x x a a n = + − 0 ..., , , , , max
2 1
ε
deyilsa, u holda, N n ∈ ∀ uchun M x n ≤
tengsizlik bajariladi. Bu esa { }
n x ketma-ketlikning chegaralanganligini bildiradi. ► 2-teorema. Agar { }
n x ketma-ketlik yaqinlashuvchi va a x n n = ∞ → lim
bo`lib,
( )
a p a < > bo`lsa, u holda shunday N n ∈ 0 topiladiki, 0
n > ∀ bo`lganda ( ) q x p x n n < >
bo`ladi. ◄ Aytaylik, ) ( , lim
R p p a a x n n ∈ > = ∞ → bo`lsin. ε
0 sonining ixtiyoriyligidan foydalanib, p a −
ε deb qaraymiz. Ketma-ketlik limiti ta`rifiga binoan, 0 > ∀ ε uchun, jumladan, p a −
< ε 0 uchun, shunday N n ∈ 0 topiladiki, 0
n > ∀ bo`lganda ε ε ε < −
− ⇔
− a x a x n n | | bo`ladi. Ravshanki, . ,
n n x a a x a p p a < − ⇒ < −
− −
⇒ −
< ε ε ε ε ε
Bu tengsizliklardan 0 n n > ∀ bo`lganda p x n >
bo`lishi kelib chiqadi. ► (
a < hol uchun ham teorema yuqoridagidek isbot etiladi). 3-teorema. Agar { }
n x va
{ } n y ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lib, 1) ;
, lim
b y a x n n n n = = ∞ → ∞ →
42
2) ) ( учун n n n n y x y x N n ≥ ≤ ∈ ∀
bo`lsa, u holda ) ( b а b a ≥ ≤ bo`ladi. ◄ SHartga ko`ra b y a x n n n n = = →∞ →∞ lim , lim
. Ketma-ketlik limiti ta`rifiga binoan: ε ε ε ε < − > ∀ ∈ ∃ > ∀
− >
∈ ∃ > ∀ b y n n N n a x n n N n n n '' 0 ' ' 0 ' 0 ' 0 , , 0 , : , , 0 bo`ladi. Agar }
max{ '' 0 ' 0 0 n n n = deyilsa, unda 0 n n > ∀ uchun bir yo`la ε ε < −
−
,
tengsizliklar bajariladi. Ravshanki, . ,
ε ε ε ε ε +
< − ⇔ < − + < < − ⇔ < −
y b b y a x а a x n n n n
Bu tengsizliklardan hamda teoremaning 2-shartidan foydalanib topamiz: ε ε +
≤
−
y x а n n . Keyingi tengsizliklardan ε ε ε 2 , < − + < −
a b а
va 0 > ∀ ε bo`lgani uchun 0 ≤
b a , ya`ni
b a ≤ bo`lishi kelib chiqadi. Xuddi shunga o`xshash, b y a x n n n n = = ∞ → ∞ → lim
, lim
hamda N n ∈ ∀ uchun n n y x ≥
bo`lishidan b a ≥ tengsizlik kelib chiqishi ko`rsatiladi. ► 4-teorema. Agar { }
n x va
{ } n z ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lib, 1)
= = ∞ → ∞ → lim
, lim
2) N n ∈ ∀ uchun n n n z y x ≤ ≤ bo`lsa, u holda { }
ketma-ketlik yaqinlashuvchi va а y n n = ∞ → lim
bo`ladi. ◄ SHartga ko`ra . lim , lim
а z a x n n n n = = ∞ → ∞ →
Limit ta`rifiga binoan: ε ε ε ε < − > ∀ ∈ ∃ > ∀
− >
∈ ∃ > ∀ a z n n N n a x n n N n n n '' 0 ' ' 0 ' 0 ' 0 , , 0 , : , , 0 bo`ladi. Agar } ,
'' 0 ' 0 0
n n = deyilsa, unda 0 n n > ∀ uchun ε ε +
< −
z х а n n ,
tengsizliklar bajariladi. Teoremaning 1-shartidan foyda-lanib topamiz: ε ε +
≤ ≤
− a z у х а n n n . Keyingi tengsizliklardan ,
ε +
< −
y а n ya`ni ε < −
y n
bo`lishi kelib chiqadi. Demak, 43
. lim
а y n n = ∞ →
SHuni isbotlash talab qilingan edi. ► 1-misol. Ushbu n n n ∞ → lim
limit topilsin. ◄ Ravshanki, barcha 2 ≥ n bo`lganda 1 2
n n
bo`ladi. Aytaylik, n n n α + = 1 2
bo`lsin. Unda ( ) 2 1
n n α + = (1) va
( ) 2 1 n n α + = bo`ladi. Bernulli tengsizligidan foydalanib topamiz:
⋅ > ⋅ + ≥ + = 1 ) 1 ( . (2) (1) va (2) munosabatlardan
, 1 n a n <
va 2 1 1 1 + < < n n n
tengsizliklar kelib chiqadi. Agar 1 1 1 lim
2 = +
∞ →
n
ekanini e`tiborga olsak, unda 4-teoremaga ko`ra 1 lim
= ∞ → n n n
bo`lishini topamiz. ► 2-misol. Ushbu n n n 1 ... 3 1 2 1 1 lim + + + + ∞ → limit topilsin. ◄Ravshanki, . 1 ... 1 1 1 1 ... 3 1 2 1 1 , 1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 3 1 2 1 1
n n n n n n n n = + + + + < + + + + = ⋅ = + + + + > + + + +
Demak, 44
n n n n < + + + +
1 ...
3 1 2 1 1 1 . 4-teoremadan foydalanib topamiz: . 1
... 3 1 2 1 1 lim = + + + + ∞ →
n n ►
2 0 . YAqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida amallar. Faraz qilaylik, { }
n x hamda
{ } n y ketma-ketliklar berilgan bo`lsin: ... ,
, , , : } { ... , ..., , , , : } { 3 2 1 3 2 1 n n n n y y y y y x x x x x
Quyidagi ... , , ... , , , 3 3 2 2 1 1 n n y x y x y x y x + + + +
... , , ... , , , 3 3 2 2 1 1 n n y x y x y x y x − − − −
... , ..., , , , 3 3 2 2 1 1 n n y x y x y x y x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
...) , 3 , 2 , 1 , 0 ( ...
, , ... , , , 3 3 2 2 1 1 = ≠
y y x y x y x y x n n n
ketma-ketliklar mos ravishda { } n x va
{ } n y ketma-ketlik-larning yig`indisi, ayirmasi, ko`paytmasi hamda nisbati deyiladi va ular ⋅ − + n n n n n n n n y x y x y x y x }, { }, { }, {
kabi belgilanadi. 5-teorema. Aytaylik { }
n x va
{ } n y ketma-ketliklari berilgan bo`lib, ) ,
, lim
, lim
R b R a b y a x n n n n ∈ ∈ = = ∞ → ∞ → bo`lsin. U holda ∞ →
da ( ) a c x c n ⋅ → ⋅ ;
( ) 0 ; ; = → → ⋅ + → + b b a y x ab y x b a y x n n n n n n , ya`ni
a) ; lim ) ( lim да
n n n x c x c R с ∞ → ∞ → ⋅ = ⋅ ∈ ∀
b) ; lim
lim ) ( lim n n n n n n n y x y x ∞ → ∞ → ∞ → + = +
v) ; lim
lim lim
n n n n n n n y x ) y (x ∞ → ∞ → ∞ → ⋅ = ⋅
g) ) 0 ( , lim
lim lim
≠ = ∞ → ∞ → ∞ →
y x y x n n n n n n n
bo`ladi. Teoremaning tasdiqlaridan birini, masalan v)-ning isbotini keltiramiz. ◄ Teoremaning shartiga ko`ra, . lim
, lim
b у a x n n n n = = ∞ → ∞ →
Ravshanki, 45
. n n n n n n n n n x y ab x y a y a y b x a y a y b ⋅ −
= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ≤ − ⋅
+ ⋅ − (3) { }
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lganligi sababli u 1-teoremaga ko`ra chegaralangan bo`ladi: . : , 0
y N n M n ≤ ∈ ∀ > ∃ Ketma-ketlik limiti ta`rifidan foydalanib topamiz: 0 >
ε berilgan hamda М 2
ga ko`ra shunday
∈ ' 0 topiladiki, ' 0
n > ∀ uchun М a x n 2
< −
bo`ladi. SHuningdek, ( )
+ 1 2 ε ga ko`ra shunday N n ∈ ' ' 0 topiladiki, ' ' 0 n n > ∀ uchun ( ) a b y n +
− 1
ε
bo`ladi. Agar } , max{ '' 0 ' 0 0 n n n = deyilsa, unda 0 n n > ∀ uchun bir yo`la М a x n 2
< − , ( )
b y n +
− 1
ε (4) bo`ladi. (3) va (4) munosabatlardan ( )
ε ε < + ⋅ + ⋅
− ⋅
a M М ab y x n n 1 2 2
bo`lishi kelib chiqadi. Bu esa аb у x n n n = ⋅ ∞ → lim bo`lishini bildiradi. ► 3
Download 225.59 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|