8-мавзу. Тўлиқлик ҳақидаги Геодел теоремаси. (2-соат) Режа

8-мавзу. Тўлиқлик ҳақидаги Геодел теоремаси. (2-соат)
Режа:

1. 
   Назария тушунчаси
   
2. 
   Назариянинг тўлиқлги.
   
3. 
   Зидсизлик ва зиддияцизлик
   

чекли формулалар мажмуаси (тўплами) берилган бўлсин. Бу формулалар мажмуасидан формулани келтириб чиқариш тушунчасини берамиз.
1-таъриф. 1) Ҳар қандай формулалар мажмуаси дан келтириб чиқариладиган формуладир.
2) Ҳар қандай исботланувчи формула дан келтириб чиқарилади.
3) ва лар формулалар мажмуасидан келтириб чиқарилган формулалар бўлса, у ҳолда формула ҳам дан келтириб чиқарилади.
Бирор формула формулалар мажмуасидан келтириб чиқариладиган бўлса, уни символик равишда шаклда ёзамиз.
Агар бўш тўплам ёки элементлари фақат исботланувчи формулалардан иборат бўлса, у вақтда дан келтириб чиқариладиган формулалар синфи исботланувчи форму-лалар синфи билан мос келади. Агар формулалар мажмуаси нинг ҳеч бўлмаганда битта элементи исботланмайдиган формуладан иборат бўлса, у ҳолда дан келтириб чиқари-ладиган формулалар синфи исботланувчи формулалар синфига нисбатан кенгроқ бўлади.
Мисол. формула формулалар мажмуасидан келтириб чиқарилишини исбот этинг.
Исбот. ва бўлганлиги учун формулани келтириб чиқариш қоидасига асосан
(1)
(2)
II₃ ва I₁ аксиомаларга нисбатан ва ўрнига қўйишларни бажарамиз. Натижада исботланувчи формулалар ҳосил бўлади. Улар формулани келтириб чиқариш қоидасига асосан дан келтирилиб чиқарилади, яъни
(3)
(4)
каби бўлади.
исботланувчи формула эканлиги учун
(5)
(5) ва (3) формулалардан хулоса қоидасига асосан
(6)
ни ҳосил қиламиз. Худди шундай (2) ва (4) формулалардан
(7)
муносабатга келамиз.
(7) ва (6) формулалардан хулоса қоидасига асосан
(8)
келиб чиқади. У вақтда (1) ва (8) формулалардан
(9)
ни ҳосил қиламиз, яъни формула формулалар мажмуасидан келиб чиқишини кўрсатдик.
формулалар мажмуасидан бирорта ихтиёрий формулани келтириб чиқаришда мураккаб хулоса қоидасидан ҳам фойдаланса бўлади.
Бу ҳолда (9) муносабатга (5), (7), (1) ва (3) мулоҳазалар орқали келиш мумкин.