Matematik induksiya usulini qo’llab ba’zi tengsizliklarni yechish

Matematik induksiya usulini qo’llab ba’zi tengsizliklarni yechish.

Matematik induksiya – matematik induksiya prinsipiga asoslangan matematik tasdiqni isbotlovchi metod: Agar isbotlangan bo’lsa, natural parametrga bo’g’liq tasdiq isbotlangan deb hisoblanadi va ixtiyoriy n natural son uchun to’g’ri deb faraz qilinsa, uchun to’g’ri hisoblanadi.

Matematik induksiya metodining mohiyati quyidagicha:

Agar tasdiqlash ketma-ketligi mavjud bo’lsa, birinchi tasdiq to’g’ri va har bir to’g’ri tasdidan so’ng to’g’ri tasdiq mavjud bo’lsa, ketma-ketlikdagi barcha tasdiq to’g’ri hisoblanadi. Shunday qilib, matematik induksiya metodi yordamida isbotlash ikkita teoremadan iborat.

1-teorema . uchun tasdiq to’g’ri.

2-teorema. Ixtiyoriy uchun tasdiq to’g’ri deb faraz qilinsa, u holda, navbatdagi natural son uchun tasdiq to’g’ri deb hisoblanadi.

Agar ikkala ushbu teoremalar isbotlangan bo’lsa, matematik induksiya tamoyiliga asoslangan holda, tasdiq ixtiyoriy natural son uchun to’g’ri deb xulosa qilinadi.

Eslatma. Barcha natural sonlar uchun emas, balki n dan katta yoki teng m natural sonlar uchun induksiya bo’yicha tasdiqni isbotlash zarur bo’ladi. Bunday holda isbotlash quyidagicha bajariladi.

1-teorema. da tasdiq to’g’ri.

2-teorema. da tasdiq to’g’ri berilgan, da tasdiq o’rinli ekanligini isbotlash lozim.

Matematik induksiya metodiga doir misolni tahlil qilamiz.

Quyidagi tenglikni isbotlang.

Yechilishi. orqali belgilaymiz.

1-teorema. da tenglikning chap qismi: ga teng. ni tenglikning o’ng qismiga qo’yamiz:

Natijada qiymatda tenglikning o’ng va chap qismlari teng. 1-teorema isbotlandi.

2-teorema. da bajariladi deb faraz qilaylik:

Quyidagi tenglikning o’rinli ekanligini berilgan tenglik uchun

da isbotlash lozim:



2-teorema isbotlandi. 1 va 2 teoremalardan

tenglikning ixtiyoriy natural son uchun bajarilishi kelib chiqadi.

Matematik induksiya prinsipini qo’llab bir qancha misollarni hisoblashimiz mumkin. Masalan quyidagi misollarni tahlil qilib ko’raylik.

1.