Потенциал куч майдони ва куч функцияси хоссалари. Режа

Потенциал куч майдони ва куч функцияси хоссалари .
Режа:

1. 
   Потенциал энергия.
   
2. 
   Механик энергиянинг сақланиш қонуни.
   

Потенциал куч майдони ва куч функцияси
Олдинги параграфларда (ва §89 да ҳам) кўрилган масалаларни кинетик энергиянинг ўзгариш теоремаси орқали ечишимизнинг асосий сабаби шундай иборат эдики, системага таoсир этувчи кучларнинг бажарган ишларини ҳаракат қонунини билмаган ҳолда аниқлаш мумкин эди. Бундай хусусиятга эга бўлган кучларнинг классификациясини аниқлаш муҳим амаллардан бири ҳисобланади.
М нуқтага қўйилган кучнинг М₁М₂ кўчишдаги бажарган иши, §87 даги (44’) формула орқали ҳисобланади:
= (54)
§89 да эслатиб ўтилганидек, ўнг томондаги интегрални, нуқтанинг ҳаракат қонунини (яҳни, x,y, z -ларни t- га қандай боғлиқлигини) билмаган ҳолда ҳисоблаш учун, кучлар ўзгармас ёки фақат нуқтанинг координаталари x, y, z ва t- ларга боғлиқ ҳолда ўзгарувчан кучлардан иборат бўлгандагина ҳисоблаш мумкин холос. Бундай кучлар куч майдонини ташкил этади (§32 га қ.). Кучлар ўзларининг координата ўқларидаги проекциялари орқали аниқланишлари сабабли, куч майдони қуйидаги тенгламалар орқали берилади:
F_x=Ф_х(x, y, z), F_y=Ф_y(x, y, z), F_z=Ф_z(x, y, z). (55)
Лекин, умумий ҳолда ҳам, бундай кучларнинг бажарган ишларини ҳисоблаш учун, (54) формуладаги интеграл остидаги функциялар битта ўзгарувчан орқали ифодаланишлари керак, яҳни масалан y=f₁(x) ва z=f₂(x) малум бўлиши керак. Охирги тенгликлар эса, М нуқтанинг фазодаги траекториясини белгиловчи эгри чизиқни тенгламасидан иборат. Демак, умумий ҳолда, куч майдонини ташкил этувчи кучларнинг бажарган ишлари куч қўйилган нуқтанинг траекториясининг кўринишига ҳам боғлиқ экан.
Аммо, агар кучнинг бажарган элементар ишини ифодаловчи (54) формуладаги интеграл остидаги қиймат, бирорта U(x, y, z) функциянинг тўлиқ дифференциалидан иборат бўлса, яҳни
dA=dU(x, y, z) ёки F_xdx+F_ydy+F_zdz= dU(x, y, z) (56)
у ҳолда, бажаралган ишни М нуқтанинг траекториясини билмаган ҳолда аниқлаш мумкин.
Тўлиқ дифференциали элементар бажарилагн ишни ифодаловчи ва (фақат -тарж) x, y, z координаталарнинг функциясидан иборат бўлган U функция, куч функцияси деб аталади. Куч функцияси мавжуд бўлган куч майдони, потенциал куч майдони деб аталади, шу куч майдонида таoсир этаётган кучлар, потенциал кучлар деб аталади. Бундан кейин, куч функциясини фақат координаталарнинг функциясидан иборат бўлади деб ҳисоблаймиз.
Агар, (54) формулага (56) формуладаги dA ифодани келтириб қўйсак, у ҳолда
= =U₂-U₁, (57)
бу ердаги, U₁=U(x₁, y₁, z₁) ва U₂=U(x₂, y₂, z₂) -майдоннинг тегишлича М₁ ва М₂ нуқталаридаги куч функциясининг қийматлари. Демак, потенциал кучнинг бажарган иши, куч функциясининг йўлнинг бошидаги ва охиридаги қийматларининг айирмасига тенг экан, ва ҳаракатланаётган нуқтанинг траекториясига боғлиқ эмас экан. Нуқтанинг берк (боши билан охири туташган -тарж) траектория бўйлаб қилган ҳаракатида U₁=U₂ бўлади ва потенциал кучнинг бажарган нолга тенг бўлади.
Потенциал куч майдонининг асосий хусусияти шундан иборатки, моддий нуқта ҳаракатланаётган майдон кучининг бажарган иши, фақат шу нуқтанинг майдондаги бошланғич ва охирги ҳолатигагина боғлиқ бўлар экан холос, ва унинг ҳаракат қонунига ҳам, унинг траекториясини кўринишига ҳам боғлиқ бўлмас экан.
Агар, кучнинг бажарган иши, куч қўйилган нуқтанинг ҳаракат қонунига ёки унинг траекториясининг кўринишига боғлиқ ҳолда ўзгарувчан бўлса, бундай кучлар потенциал бўлмаган кучлар деб аталади. Бундай кучлар қаторига, ишқаланиш кучлар ва муҳитнинг қаршилик кучлари киради.
Агарда, (56) ифода ўринли эканлиги аниқланган бўлса, куч функцияси қуйидаги тенглик орқали ҳисобланади,
U= +C ёки U= +C. (58)
Ўзгармас С нинг қиймати ҳар қандай сондан иборат бўлиши мумкин [(57) формуладан кўриниб тургандек, ишнинг қиймати С -га боғлиқ эмас]. Лекин, майдонда «нол нуқта» деб аталувчи шундай бир О нуқта танлаб олинадики, у нуқтада U_О=0 бўлади, ва С нинг қийматини шу нуқтага нисбатан турган ўрнига боғлиқ ҳолда аниқланади.
Бизга малум бўлган потенциал кучларга, оғирлик кучи, эластиклик кучи ва тортилиш кучлари мисол бўлади (§88 га қ.). Қуйида, бу кучлар учун ҳақиқатдан ҳам куч функциялари мавжуд эканлигини кўрсатиб ўтамиз, ва уларнинг ифодасини аниқлаймиз. 88п даги интеграллар остида тегишли кучларнинг бажарган элементар ишлари турганлиги сабабли, интеграллаш натижасида (47), (48) ва (50) формулалар келтирилиб чиқарилганлиги ҳисобга олиб, (58) тенгликдан фойдаланиб, қуйидаги натижаларга келамиз:
1)О ғ и р л и к к у ч и нинг майдони учун, агар z -ўқи вертикал юқорига йўналган бўлса, dA=-Рdz бўлади, бундан z=0 да U=0 (нол нуқта координата бошида) деб ҳисобласак,
U=-Рz; (59)
2)Ох¹ бўйлаб таoсир этувчи эластиклик кучининг майдони учун, dA=-cxdx, бундан x=0 да U=0 деб ҳисобласак,
U=-cx²/2; (59’)
3)т о р т и л и ш к у ч и майдони учун, dA=mgR²d(1/r), бундан r= да U=0 (нол нуқта чексизликда) бўлади, деб ҳисобласак
U= mgR²/r, (59’’)
бу формуладаги r= .
Функция U - нинг аниқланган қийматларидан фойдаланиб, (57) формула орқали тегишли кучларнинг бажарган ишларни аниқлаш учун, §88 даги келтириб чиқарилган (47), (48) ва (50) тенгликлардаги ифодаларни олиш мумкин.
Агар кучнинг функцияси маoлум бўлса, майдоннинг ихтиёрий нуқтасидаги кучни аниқлаш мумкин эканлигини кўрсатиб ўтамиз. (56) тенгликдаги U(x, y, z) функциянинг дифференциалидан,
F_xdx+F_ydy+F_zdz= dx+ dy+ dz.
Тунгламанинг иккала томонидаги dz, dy, dz -ларнинг олдиларидаги коэффициентларни ўзаро тенглаштириб, қуйидаги натижани оламиз:
F_x= , F_y= , F_z= (60)
Демак, потенциал куч майдонидаги кучларнинг координата ўқларидаги проекциялари, куч функциясидан тегишли координаталар бўйича олинган хусусий ҳосилаларга тенг экан. Координата ўқларидаги проекциялари (60) формула орқали аниқланадиган векторни, скаляр U(x, y, z) функциянинг градиенти деб аталади. Шундай қилиб, =gradU. (60) тенгликдан,
= , = , ва ҳ.
Демак, берилган майдон учун куч функцияси мавжуд бўлса, у ҳолда кучларнинг проекциялари қуйидаги тенгликларни қаноатлантиради:
= , = , = . (61)
Бунга тескари хулосани ҳам исбот қилиш мумкин, яҳни агар (61) тенглик ўринли бўлса, бу куч майдонида куч функцияси U мавжуд бўлади. Демак, (61) тенгликлар, куч майдони потенциал майдон эканлигининг зарурий ва етарли шартларидан иборат экан.
Шундай қилиб, агар куч майдони (55) тенгламалар орқали берилган бўлса, у ҳолда (61) шартлар орқали унинг потенциал майдон эканлиги ёки ундай эмаслигини аниқлаш мумкин экан. Агар майдон потенциал бўлса, у ҳолда (58) тенглама унинг куч функциясини ифодалаб беради, (57) формула орқали майдоннинг бажарган иши аниқланади. Аксинча, агар куч функцияси маoлум бўлса, у ҳолда, бу функция орқали қайси куч майдони ифодаланаётганлигини (60) формула ёрдамида аниқланади.


319 шакл.
U(x, y, z)=С деб ҳисоблаб (бу ердаги С ихтиёрий ўзгармас қиймат), фазода шундай бир сирт танлаймизки, унинг унинг барча нуқталарида U-нинг қийматлари бир хил бўлади. Бундай сиртлар, сатҳ сиртлари (поверхности уровня), ёки потенциали тенг сиртлар деб аталади.
Агар, куч функцияси координаталарнинг бир ечимли функцияларидан иборат бўлса, у ҳолда сатҳ сиртлари кесишмайдилар ва майдоннинг ҳар бир нуқтасидан фақат битта сатҳли сирт ўтади. Сатҳи U₁=U₂=C бўлган сирти бўйича ҳар қандай М₁М₂ кўчишда (57) тенгламадан кўриниб турганидек бу майдоннинг бажарган иши нолга тенг бўлади. Ъамда, бундай майдондаги куч нолга тенг бўлмаганлиги сабабли, қуйидаги хулосага келамиз, яҳни: потенциал куч майдонининг ихтиёрий нуқтасидаги куч, сатҳ сиртининг шу нуқтадаги нормали бўйлаб йўналган бўлади.
319, а шаклда, иккита сатҳ U(x, y, z)=С₁, U(x, y, z)=С₂ сиртлари тасвирланган, 319, б шаклда эса, уларнинг Bn нормалидан ўтувчи текислик орқали кесими тасвирланган. Агар куч шаклда кўрсатилган йўналишда бўлса, у ҳолда BB’ кўчишдаги бажарилган ишлари мусбат бўлади. Лекин, (57) формула бўйича бу иш С₂-С₁ га тенг бўлади, Демак, С₂>С₁ экан, яҳни потенциал майдонидаги кучнинг йўналиши, куч функциясининг ортиш томонига йўналган бўлар экан. Ъамда, ВВ’ кўчишда ₁ кучининг ва DD’ кўчишдаги ₂ кучининг бажарган ишлари ўзаро тенг, чунки сатҳларнинг айирмаси С₂-С₁ ўзаро тенг. Лекин, DD’2>F₁. Демак, потенциал майдонадги кучнинг сон қиймати қаерда сатҳлар яқин (гавжум) бўлса, шу ерда катта бўлар экан. Юқоридаги хоссалар, сатҳ сиртлари ёрдамида потенциал куч майдонидаги кучларнинг қандай тарқалишини ойналаштириб беришда хизмат қилади. Ундан ташқари, (57) тенгликдан кўриниб тургандек, агар қисқа қилиб айтсак, потенциал кучнинг иши нуқтанинг фақат қайси сатҳдан ҳаракат бошлаб, қайси сатҳга кўчганлигига боғлиқ экан холос.