Sirt integrallarining tadbiqlari ostrogradskiy teoremasining tadbiqlari

SIRT INTEGRALLARINING TADBIQLARI OSTROGRADSKIY TEOREMASINING TADBIQLARI


1. I tur sirt intеgrali va uning tatbiqlari
Fazoda boʻlakli silliq L yopiq chiziq bilan chegaralangan S silliq sirtni qaraymiz. Bu sirtni boʻlaklarga boʻlamiz va bu boʻlaklarning yuzalarini ham deb belgilaymiz. S sirtning har bir nuqtasida uzluksiz funksiya berilgan boʻlsin. Sirtning har bir boʻlagidan nuqtalarni tanlaymiz(1-shakl) va yigʻindi tuzamiz


1-shakl
Bu yigʻindi birinchi tur sirt integralining integral yigʻindisi deb ataladi. boʻlaklarning diametrini bilan belgilaymiz. Agar integral yigʻindining dagi chekli limiti, S sirtni boʻlaklarga boʻlinish usuliga va har bir boʻlakdan nuqtalarni tanlash usuliga bogʻliq boʻlmagan holda, mavjud boʻlsa, bu limit funksiyadan S sirt yuzi boʻyicha olingan integral yoki birinchi tur sirt integrali deyiladi.
(11.1)
Agar S sirt oshkor koʻrinishda tenglama bilan berilgan boʻlib, bu funksiya oʻzining xususiy hosilalari bilan sohada uzluksiz boʻlsa, u holda I tur sirt integralni hisoblash uni ikki karrali integralga keltirish bilan amalga oshiriladi:

Bu yerda soha S sirtning tekislikdagi proyeksiyasidir(2-shakl).
Agar S sirt tenglamasi yoki tenglamalar bilan berilgan boʻlsa, I tur sirt integralini hisoblash mos ravishda quyidagi formulalar bilan amalga oshiriladi:





2-shakl

Agar integral ostidagi funksiya boʻlsa, I tur sirt integrali

sirt yuzini aniqlaydi(oʻng tarafdagi integral ikki karrali integral yordamida sirt yuzini hisoblash).
Agar integral ostidagi funksiya S moddiy sirt boʻyicha massa taqsimlanishining har bir nuqtasidagi zichligini bildirsa, u holda I tur sirt integrali S sirtning massasini aniqlaydi



Moddiy sirtning koordinata tekisliklariga nisbatan statik momentlari quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
(11.6)
Moddiy sirtning ogʻirlik markazi quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:
(11.7)
Moddiy sirtning Ox, Oy, Oz koordinata oʻqlariga va koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari



(11.8)


Хоssаlаri:

1. , k – oʻzgаrmаs sоn.

2. .
3. , bu yеrdа
4. Agar berilgan sirt ustida tengsizlik oʻrinli boʻlsa, quyidagi tengsizlik oʻrinli boʻladi:
.
5. .
6. Oʻrta qiymat haqidagi teorema. Agar funksiya S sirtda uzluksiz boʻlsa, u holda bu sirtda shunday nuqta topiladiki, quyidagi tenglik oʻrinli

bu yerda -sirtning yuzi.
1-misol. I tur sirt integralini hisoblang: , bu yerda S - tekislikning birinchi oktantdagi qismi(3-shakl).
Yechish. Avval S sirtning oshkor tenglamasini tuzib olamiz
,
bu yerda berilgan S sirtning tekislikdagi proyeksiyasini aniqlaydi, ya’ni, , va chiziqlar bilan chegaralangan uchburchak sohasi(4-shakl).
I tur sirt integralini (28.2) formula yordamida ikki karrali integralga keltirib hisoblaymiz. boʻlgani uchun

boʻladi. Bundan,

Oxirgi integral uchburchak soha yuzini beradi va u 3 ga teng.
Demak,




3-shakl 4-shakl
2-misol. I tur sirt integralini hisoblang: , bu yerda S - paraboloid sirtining tekislik bilan kesilgan qismi, (5-shakl).
Yechish. Avval S sirtning oshkor tenglamasini tuzib olamiz. Bu yerda x ni y va z oʻzgaruvchilar orqali ifodalash qulay
.
Shuning uchun sirt integralini hisoblashda (28.3) formuladan foydalanamiz. S sirtning Oyz tekislikdagi proyeksiyasini topamiz, buning uchun quyidagi sistemani yechamiz;

Paraboloid tekislik bilan aylanada kesishadi. Demak, S paraboloid sirtining Oyz tekislikdagi proyeksiyasi doira sohasi boʻladi. va ekanini va (28.3) formulani e’tiborga olgan holda,


ikki karrali integralga ega boʻlamiz. Bu integralda
va
qutb koordinatalar sistemasiga oʻtish qulay. Qutb koordinatalar sistemasida soha tengsizliklar bilan aniqlanadi(6-shakl). Natijada quyidagiga ega boʻlamiz:

.

5-shakl 6-shakl


2. II tur sirt intеgra