Siziqli shegaraliq maseleler ushin Grin funkciyasi

Siziqli shegaraliq maseleler ushin Grin funkciyasi

Meyli uliwma alg’anda ozgeriwshi koefficientli bolg’an siziqli

(1)

differencialliq ten´leme ushin siziqli birtekli

(2)

shegaraliq maseleni qaracirayiq, bul jerde lar ushin uzliksiz funkciyalar, lar siziqli g’a´rezsiz formalar.

Meyli (1),(2) birtekli shegaraliq ma´sele tek nollik sheshimge iye bolsin, yag’niy (1),(2) birtekli shegaraliq ma´seleni tek funkciyasi qanaatlandirsin.

Aniqlama. (1),(2) birtekli shegaraliq ma´selenin´ Grin funkciyasi dep erikli ushin duzilgen ham to´mendegi qa´siyetlerge iye eki o´zgeriwshili funkciyasina aytamiz:

1) Grin funkciyasi ushin u´zliksiz ha´m x boyinsha ta´rtipke shekemgi u´zliksiz tuwindilarg’a iye:

2) Grin funkciyasinin´ x boyinsha ta´rtipli tuwindisi toshkada birinshi tur u´ziliske iye bolip, sekirmege iye boladi:

3) bolg’anda Grin funkciyasi (1) ten´lemeni qanaatlandiradi:

4) Grin funkciyasi birtekli (2) shegaraliq sha´rtlerdi qanaatlandiradi:

Teorema. Eger (1),(2) birtekli shegaraliq ma´sele tek nollik sheshimge iye bolsa, yag’niy (1),(2) birtekli shegaraliq ma´seleni tek funkciyasi qanaatlandirsa, onda (1),(2) birtekli shegaraliq ma´sele ushin Grin funkciyasi bar boladi ha´m ol birden-bir boladi.

Da’lillew. Meyli funkciyalari birtekli (1) ten´lemenin´ siziqli g’a’rezsiz sheshimleri bolsin. Onda joqaridag’i u´shinshi qa’siyetke muwapiq Grin funkciyasi

ko’rinislerge iye boladi. Bul jag’dayda Grin funkciyasinin’ ha’m koefficientleri joqaridag’i aniqlamanin’ birinshi qa’siyetine muwapiq

sistemasin, al ekinshi qa’siyetke muwapiq

ten’ligin qanaatlandiradi.

Bul sistemalarde a’piwayilastirip, bir jerge ja’mlestiriw maqsetinde belgilewlerin kiritemiz ha’m na’tiyjede









Tu´rindegi lerge qarata aniqlawshisi Vronskiy aniqqlawshisina ten’ bolg’an siziqli birtekli emes algebraliq ten’lemeler sistemasena iye bolamiz. Al funkciyalari siziqli g’a’rezsiz bolg’anliqtan bul Vronskiy aniqlawishi nolden o’zgeshe bolip, bul son’g’i sistemanin’ lerge qarata bir ma’nisli sheshimge iye bolatug’inlig’in ta’miynleydi. Meyli son’g’i sistemanin’ sheshimi bolsin. Onda ten’liginen bolip ushin Grin funkciyasinin’ ko’rinisi

tu’rine iye boladi, bul jerde

belgili funkciya. Solay etip Grin funkciyasinin’ uliwma ko’rinisi

tu’rine iye boladi. Endigi ma’sele koefficientlerdi aniqlaw bolip, bunin’ ushin Grin funkciyasinin’ aniqlamasindag’i son’g’i qa’siyetti paydalanamiz, yag’niy Grin funkciyasinin’ (2) shegaraliq sha’rtlerdi qanaatlandiratug’in qa’siyetlerin paydalanamiz. Bunin’ ushin Grin funkciyasinin’ son’g’i ko’rinisin (2) shegaraliq sha’rtlerge alip barip qoyamiz

bul jerde

Son’g’i sistemani a’piwaylastirip

yamasa

bolip, lerdin’ siziqli g’a’rezsizliginen

sha’rti orinlanip, bunnan son’g’i sistemanin’ belgisiz koefficientlerge qarata bir ma’nisli sheshiletug’inlig’i kelip shig’adi.

Al bolg’anliqtan aniqlang’an koefficientlerdin’ ma’nislerin paydalana otirip belgisiz koefficientlerdin’ ma’nislerin aniqlaymiz. Solay etip teoremanin’ sha’rtleri orinlang’an waqitta (1),(2) birtekli shegaraliq ma’sele ushin Grin funkciyasi bar boladi ha’m ol birden-bir boladi eken. Biz bul teoremanin’ da’lilleniwi menen birgelikte shegaraliq ma’sele ushin Grin funkciyasin duziw usilin ha’m keltirgen boldiq.

Eger qarastirilip atirg’an shegaraliq ma’sele o’z-ara tuyinles bolsa, onda Grin funkciyasi simmetriyali boladi, yag’niy ten’ligi orinlanadi.

Misal ushin meyli joqarida qarastirilg’an usil ja’rdeminde birtekli

(3)

(4)

shegaraliq ma’selenin’ Grin funkciyasin duziw ma’selesin qarastirayiq.

Da’slep Grin funkciyasinin’ bar bolatug’inlig’in ha’m onin’ birden-bir ekenligin ko’rsetemiz. Onin’ ushin (3),(4) birtekli shegaraliq ma’selenin’ tek nollik sheshimge iye bolatug’inlig’in ko’rsetemiz. (3) ten’lemenin’ fundamentalliq sheshimi

bolg’anliqtan, onin’ uliwma sheshimi

boladi, bul jerde lar erikli turaqlilar. Uliwma sheshimdi (4)

shegaraliq sha’rtlerge alip barip qoysaq

bolip, bunnan kelip shig’adi. Solay etip (3),(4) shegaraliq ma’sele tek nollik sheshimge iye boladi, demek teoremanin’ sha’rti boyinsha (3),(4) birtekli shegaraliq ma’sele ushin birden bir Grin funkciyasin du’ziwge boladi.

Endi Grin funkciyasin du´zemiz. Fundamentalliq sheshimdi yamasa uliwma sheshimdi paydalanip Grin funkciyasin





ko’riniste izleymiz. Bul jerde ha’m ler ha’zirshe belgisiz koefficientler. belgilewlerin kiritemiz ha’m na’tiyjede

sistemasena iye bolamiz. Bul sistemani sheship

ma’nislerine iye bolamiz.

Grin funkciyasinin’ birtekli shegaraliq sha’rtlerdi qanaatlandiratug’in qa’siyetin paydalansaq, yag’niy

ten’liginin’ orinlanatug’inlig’in paydalansaq

boladi. Endi qatnasin paydalansaq

boladi. Tabilg’an ha’m koefficientlerdin’ ma’nislerin joqaridag’i orinlarina alip barip qoyip, ayirim turlendiriwler jasasaq

boladi. Bul biz misalda qarastirip atirg’an (3),(4) birtekli shegaraliq ma’sele ushin Grin funkciyasi bolip tabiladi.

Grin funkciyasinin’ bul ko’rinisinen ten’liginin’ orinlanip turg’anlig’in, yag’niy Grin funkciyasinin’ simmetriyalilig’in ko’riwge boladi. Bul qarastirilip atirg’an shegaraliq ma’selenin’ o’z-ara tuyinles boliwinan kelip shig’adi.