1-§. Ikki karrali integral va uni hisoblash

4-§. Ikki karrali integralning tadbiqlariga doir misollar.
1-misol. lemniskata bilan chegaralangan sohaning yuzini toping.
Bu misolni yechishga kirishishdan oldin ma‘ruzadan ikki karrali itegrallarni hisoblashda qutb koordinatalarini qo‘llanilishi mavzusini takrorlang. Sizga ma‘lumki, agar soha konturining qutb koordinatalaridagi tenglamasi bo‘lsa, ( qutb o‘qi, qutb burchagi), bu yerda o‘zgaruvchi oraliqda qiymatlar qabul qilsa, u holda sohaning yuzi quydagicha aniqlanadi:





Yechish:
Endi 1-misolni yechishga o‘tamiz. Oldin lemniskata grafigini chizamiz:

Lemniskataning qutb koordinatalardagi tenglamasiga o‘tish uchun uning tenglamasidagi x,y lar o‘rniga larni qo‘yamiz.

Shaklda ko‘rsatilgan soha uchun oraliqda qiymatlar qabul qiladi.

ekanini hisobga olib, quyidagini topamiz:



(kv birlik).


2-misol. Egri chiziqli koordinatalar kiritish yordamida quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini hisoblang:


.

Bu yerda .

Yechish: Bu misolni yechishga kirishishdan oldin ma‘ruzadan “ikki karrali integrallarda o‘zgaruvchilarni almashtirish” mavzusini takrorlang. Bu yerda yangi egri chiziqli koordinatalarni quyidagicha kiritamiz:

Bu tenglamalardagi x,y larni lar orqali ifodalaymiz:

Endi va larning lar bo‘yicha xususiy hosilalarini hisoblaymiz:




Bularni yakobianda o‘rniga qo‘yamiz va determinantning xossasiga ko‘ra uning yo‘llaridagi umumiy ko‘paytuvchilarni determinant ishorasidan tashqariga chiqaramiz:






Bu yerda shuni esda tutish kerakki, yangi o‘zgaruvchilar bo‘yicha integrallash sohasi to‘g‘ri to‘rtburchagi bo‘ladi.
Demak,


.

Yuqorida yechilgan misollarda shunday xulosaga kelamiz: D sohaning konturi (chegarasi) silliq yopiq egri chiziq bo‘lgan hollarda qutb koordinatalari kiritish, egri chiziqli to‘rtburchak bo‘lgan hollarda esa egri chiziqli koordinatalar yordamida o‘zgaruvchilarni almashtirish maqsadga muvofiqdir.