1-§. Ikki karrali integral va uni hisoblash


-§. Ikki karrali integralning tadbiqlariga doir misollar


Download 1.03 Mb.
bet5/8
Sana06.05.2023
Hajmi1.03 Mb.
#1433405
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
Mavzu Ikki karrali integral va uning tadbiqlari. Kurs ishi mavz

4-§. Ikki karrali integralning tadbiqlariga doir misollar.
1-misol. lemniskata bilan chegaralangan sohaning yuzini toping.
Bu misolni yechishga kirishishdan oldin ma‘ruzadan ikki karrali itegrallarni hisoblashda qutb koordinatalarini qo‘llanilishi mavzusini takrorlang. Sizga ma‘lumki, agar soha konturining qutb koordinatalaridagi tenglamasi bo‘lsa, ( qutb o‘qi, qutb burchagi), bu yerda o‘zgaruvchi oraliqda qiymatlar qabul qilsa, u holda sohaning yuzi quydagicha aniqlanadi:





Yechish:
Endi 1-misolni yechishga o‘tamiz. Oldin lemniskata grafigini chizamiz:

Lemniskataning qutb koordinatalardagi tenglamasiga o‘tish uchun uning tenglamasidagi x,y lar o‘rniga larni qo‘yamiz.



Shaklda ko‘rsatilgan soha uchun oraliqda qiymatlar qabul qiladi.


ekanini hisobga olib, quyidagini topamiz:



(kv birlik).


2-misol. Egri chiziqli koordinatalar kiritish yordamida quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini hisoblang:


.

Bu yerda .




Yechish: Bu misolni yechishga kirishishdan oldin ma‘ruzadan “ikki karrali integrallarda o‘zgaruvchilarni almashtirish” mavzusini takrorlang. Bu yerda yangi egri chiziqli koordinatalarni quyidagicha kiritamiz:

Bu tenglamalardagi x,y larni lar orqali ifodalaymiz:




Endi va larning lar bo‘yicha xususiy hosilalarini hisoblaymiz:




Bularni yakobianda o‘rniga qo‘yamiz va determinantning xossasiga ko‘ra uning yo‘llaridagi umumiy ko‘paytuvchilarni determinant ishorasidan tashqariga chiqaramiz:






Bu yerda shuni esda tutish kerakki, yangi o‘zgaruvchilar bo‘yicha integrallash sohasi to‘g‘ri to‘rtburchagi bo‘ladi.
Demak,


.

Yuqorida yechilgan misollarda shunday xulosaga kelamiz: D sohaning konturi (chegarasi) silliq yopiq egri chiziq bo‘lgan hollarda qutb koordinatalari kiritish, egri chiziqli to‘rtburchak bo‘lgan hollarda esa egri chiziqli koordinatalar yordamida o‘zgaruvchilarni almashtirish maqsadga muvofiqdir.



Download 1.03 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling