1-§. Ikki karrali integral va uni hisoblash

Kurs ishi mavzusining dolzarbligi: ikki karali integrallarning tarifi va eng sodda xossalari bu talabaning matematik analizning muhim tushunchalaridan biri bo'lgan ikki karali integrallarni nazariy va amaliy jihatdan o'rganishi, ularni hisoblash usullarini va qo'llanilish sohalarini bilishi bilan bog'liqdir.
Kurs ishining maqsadi: talabaning matematik analizning asosiy bo’limlarini chuqur o’rganishiga, yuzalar, hajm, massa va boshqa kattaliklarni aniqlashga va fizika, mehanika, geometriya va boshqa fanlarda keng qo’llaniladigan ikki karali integrallarning ilmiy va amaliy ahamiyatini ko’rsatishiga yordam beradi .
Kurs ishining vazifasi: Ikki karali integrallarning ta’rifini, xossalarini va mavjudligi shartlarini o’rganishi va tushuntirishi; Ikki karali integrallarni hisoblash usullarini o’rganishi va misollarda qo’llayishi; Ikki karali integralda o’zgaruvchilarni almashtirish va integralni o’zgartirish usullarini o’rganishi va misollarda qo’llayishi.
1-§.Ikki karrali integral va uni hisoblash.
funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin.
1-teorema. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud va chekli bo‘lsa, u holda

integral ham mavjud bo‘ladi va

bo‘ladi.
Isbot. sohani
bo‘laklarga ajratamiz. Bu bo‘linishni deb belgilaymiz. Uning diametri
.
funksiya sohada integrallanuvchi ekan, u shu sohada chegaralangan bo‘ladi. Binobarin, funksiya har bir da chegaralangan, demak, u shu sohada aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga ega bo‘ladi.

Ravshanki, uchun , xususan uchun ham bo‘ladi. Teoremaning shartidan foydalanib quyidagini topamiz:

ya’ni

Agar keyingi tengsizliklarni ning qiymatlarida yozib, ularni hadlab qo‘shsak, u holda

ya’ni

bo‘ladi.
Endi keyingi tengsizliklarni ga ko‘paytirib, so‘ng hadlab qo‘shamiz. Natijada

bo‘ladi.
Ravshanki,

funksiya uchun Darbuning quyi yig‘indisi,

esa Darbuning yuqori yig‘indisidir. Demak,
. (1)
Shartga ko‘ra funksiya da integrallanuvchi. U holda da

bo‘ladi.

1. 
   munosabatdan esa,
   

yig‘indining limitga ega bo‘lishi va bu limit

ga teng bo‘lishi kelib chiqadi:
.
Agar

va

ekanligini e‘tiborga olsak,unda

bo‘lishini topamiz. Bu esa teoreman isbotlaydi.
2-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu

integral ham mavjud bo‘ladi va

bo‘ladi.
1-natija. Agar funksiya sohada berilgan va uzluksiz bo‘lsa, u holda

integrallarning har biri mavjud va ular bir biriga teng bo‘ldi.
3-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu

integral ham mavjud bo‘ladi va

bo‘ladi.
4-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida

integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu

integral ham mavjud bo‘ladi va

bo‘ladi.