1-§. Ikki karrali integral va uni hisoblash

2) Yassi shaklning yuzi.
sohaning yuzi quyidagi

integralga teng bo‘lishini ko‘rdik. Demak, ikki karrali integral yordamida yassi shaklning yuzini hisoblash mumkin ekan.

Xususan, soha

egri chiziqli trapetsiyadan iborat bo‘lsa ( funksiya da uzluksiz), u holda
bo‘ladi.
3-§. Sirtning yuzi va uning ikki karrali integral orqali ifodalanishi.
Ikki karrali integral yordamida sirt yuzini hisoblash mumkin. Avvalo sirtning yuzi tushunchasini keltiramiz.
Faraz qilaylik, funksiya sohada berilgan va uzluksiz bo‘lsin. sohaning bo‘linishini olaylik. Uning bo‘laklari bo‘lsin. Bu bo‘linishning bo‘luvchi chiziqlarini yo‘naltiruvchilar sifatida qarab, ular orqali yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindirik sirtlar o‘tkazamiz. Ravshanki, bu silindirik sirtlar sirtni bo‘laklarga ajratadi. Har bir da ixtiyoriy nuqta olib, sirtda unga mos nuqta ni topamiz. So‘ng sirtga shu nuqtada urinma tekislik o‘tkazamiz.Bu urinma tekislik bilan yuqorida aytilgan silindirik sirtning kesishmasidan hosil bo‘lgan urinma tekislik qismini bilan, uning yuzini esa bilan belgilaymiz.
Geometriyadan ma‘lumki, soha ning ortogonal proyeksiyasi bo‘lib,
(4)
bo‘ladi, bunda sirtga nuqtada o‘tkazilgan urinma tekislik normalining o‘qi bilan tashkil etgan burchak.
Ravshanki, da ning diametri ham nolga intiladi.
Agar da

yig‘indi chekli limitga bo‘lsa, bu limit sirtning limiti deb ataladi.
(5)
bo‘ladi.
Yuqorida qaralayotgan funksiya sohada xususiy hosilalarga ega bo‘lib, bu xususiy hosilalar sohada uzluksiz bo‘lsin.U holda

bo‘ladi.
(4) munosabatdan

bo‘lishini topamiz. Demak,
. (6)
Tenglikning o‘ng tomonidagi yig‘indi

funksiyaning integral yig‘indisidir. Bu funksiya sohada uzluksiz, demak, integrallanuvchi. Shuning uchun

bo‘ladi.
Shunday qilib, (5) va (6) munosabatlardan
(7)
bo‘lishi kelib chiqadi.