1-§. Ikki karrali integral va uni hisoblash

2-§.Ikki karrali integrallarning ba‘zi bir tatbiqlari
1) Jismning hajmi va uni ikki karrali integral orqali ifodalanishi. fazoda biror chegaralangan jismni qaraylik. Bu jismning ichiga ko‘pyoqlar joylashgan, o‘z navbatida jism esa ko‘pyoqlar ichida joylashgan bo‘lsin. ko‘pyoqlar hajmlarini bilan, ko‘pyoqlar hajmlarini bilan belgilaylik. Biz ko‘pyoqlarning hajmlari tushunchasini va uni hisoblashni (xuddi tekislikdagi ko‘pburchakning yuzi tushunchasi va uni hisoblash kabi) bilamiz deb olamiz. Natijada jismning ichida joylashgan ko‘pyoqlar hajmlaridan iborat to‘plam, ichiga jism joylashgan ko‘pyoqlar hajmlaridan iborat to‘plamlar hosil bo‘ladi to‘plam yuqoridan, to‘plam quyidan chegaralanganligi sababli to‘plam aniq yuqori chegara, to‘plam esa aniq quyi chegaraga ega bo‘ladi:

Ravshanki,

1-ta’rif. Agar ya‘ni tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda jism hajmga ega deb ataladi va miqdor jismning hajmi deyiladi.
Demak,
.
Endi jism sifatida yuqoridan sirt bilan, yon tomonlaridan yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindirik sirt hamda pastdan tekislikdagi soha bilan chegaralangan jismni qaraylik.
yopiq sohaning bo‘linishini olamiz. funlsiya da uzluksiz bo‘lganligi sababli, bu funksiya bo‘linishning har bir bo‘lagida ham uzluksiz bo‘lib, unda

larga ega bo‘ladi.
Quyidagi
,

yig‘indilarni tuzamiz. Bu yig‘indilarning birinchi jism ichiga joylashgan ko‘pyoqning hajmini, ikkinchisi esa jismni o‘z ichiga olgan ko‘pyoqning hajmini ifodalaydi.
Ravshanki, bu ko‘pyoqlar, demak, ularning hajmlari ham funksiyaga hamda sohaning bo‘linishiga bog‘liq bo‘ladi:
.
sohaning turli bo‘linishlari olinsa, ularga nisbatan jismning ichiga olgan turli ko‘pyoqlar yasaladi. Natijada bu ko‘pyoqlar hajmlaridan iborat quyidagi

to‘plamlar hosil bo‘ladi. Bunda to‘plam yuqoridan, to‘plam quyidan chegaralangan bo‘ladi. Demak, bu to‘plamlarning aniq chegaralari

mavjud. Shartga ko‘ra funksiya yopiq sohada uzluksiz. U holda Kantor teoremasining natijasiga asosan, son olingandaham, songa ko‘ra shunday son topiladiki, sohaning diametri bo‘lgan har qanday bo‘linishi uchun har bir da funksiyaning tebranishi bo‘lgan

bo‘ladi.Unda

.
Demak, sohaning diametri bo‘lgan har qanday bo‘linishi olinganda ham bu bo‘linishga mos jismning ichiga joylashgan hamda bu ni o‘z ichiga olgan ko‘pyoq hajmlari uchun har doim

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa
(2)
tenglik kelib chiqadi.Bu tenglik jism hajmga ega bo‘lishini bildiradi.
Endi yuqorida o‘rganilgan yig‘indilarni Darbu yig‘indilari bilan taqqoslab, ham yig‘indilar funksiyaning sohada mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig‘indilari ekanini topamiz. Shuning uchun ushbu

miqdorlar funksiyaning quyi hamda yuqori ikki karrali integrallari bo‘ladi,ya‘ni
.
Yuqoridagi (2) munosabatga ko‘ra

tenglik o‘rinli ekani ko‘rinadi. Demak,
.
Shunday qilib, bir tomondan, qaralayotgan jism hajmga ega ekani, ikkinchi tomondan, uning hajmi funksiyaning soha bo‘yicha ikki karrali integraliga teng ekani isbot etildi. Demak, jismning hajmi uchun ushbu
(3)
formula o‘rinli.