1-§. Тўпламлар назариясининг асосий тушунчалари

3-§. Асосий тенгликлар (тенгкучлиликлар)


Асосий тенгкучлиликлар. Коммутативлик, ассоциативлик, дистрибутивлик қонунлари.

универсал тўпламнинг қисмлари орасидаги муносабатларни ифодаловчи асосий тенгликлар қуйидагилардан иборат:

1.
Тўпламлар назариясида тенгликларни исботлашнинг умумий методи тенгликнинг бир томонидаги тўпламга тегишли ҳар бир элемент иккинчи томонидаги тўпламда ҳам мавжуд ва, аксинча, эканлигини кўрсатишдан иборатдир.
Исбот. тўплам нинг тўлдирувчиси. Шунинг учун нинг ҳар бир элементи , демак, . Аксинча, нинг ҳар бир элементи бўлгани учун . Демак, .
2. - кўпайтмага нисбатан коммутативлик қонуни.
Исбот. нинг ҳар бир элементи ва да мавжуд, чунки тўплам ва ларнинг умумий элемертларидан тузилган. Демак, нинг элементлари да ҳам мавжуд. Худди шундай нинг ҳар бир элементи ва да мавжуд, чунки тўплам ва ларнинг умумий элементларидан тузилган. Шунинг учун тўпламнинг ҳар бир элементи тўпламнинг ҳам элементи бўлади. Демак, = .
3. - кўпайтмага нисбатан ассоциативлик қонуни.
Исбот. бўлсин. Демак, ва . Бу ердан ва эканлиги келиб чиқади. Шунинг учун ва дир. Бу ердан ўз навбатида эканлиги келиб чиқади. Исботнинг иккинчи қисмини ўқувчига ҳавола этамиз.
4. - йиғиндига нисбатан коммутативлик қонуни.
5. -йиғиндига нисбатан ассоциативлик қонуни.
4 ва 5 -тенгликларнинг исботлари худди 2 ва 3 - тенгликларни исботлашга ўхшаш амалга оширилади.
6. - кўпайтмага нисбатан дистрибутивлик қонуни.
7. - йиғиндига нисбатан дистрибутивлик қонуни.
6-тенгликнинг исботи: бўлсин, у вақтда ва бўлади. Бу ердан ва ёки ва келиб чиқади. Демак, ёки . Шунинг учун . Энди бўлсин, у ҳолда ёки бўлади. Бу ердан ва ёки ва келиб чиқади. Демак, .
8. 9. 10.
11. 12. 13.