1-§. Тўпламлар назариясининг асосий тушунчалари

1-§. Тўпламлар назариясининг асосий тушунчалари


Тўплам. Тўплам элементлари. Тенгкучли тўпламлар. Қисм тўплам. Хос ва хосмас қисм тўпламлар. Бўш тўплам.

Тўпламлар назариясига математик фан сифатида немис математиги Г.Кантор (1845-1918) томонидан асос солинган.

Математикада доимо турли тўпламлар билан учрашишга тўғри келади. Масалан, тўғри бурчакли учбурчаклар тўплами, натурал сонлар тўплами, тўғри чизиқда ётувчи нуқталар тўплами ва ҳоказо. Умуман тўплам тушунчаси айрим-айрим нарсалар, буюмлар, объектларни биргаликда, яъни бир бутун деб қараш натижасида вужудга келади.
1-таъриф. Тўпламни ташкил этувчи нарсалар, буюмлар, объектлар бу тўпламнинг элементлари деб айтилади. Тўпламлар, одатда, лотин ёки грек алфавитининг катта ҳарфлари билан белгиланади.
тўплам элементлардан тузилганлиги

кўринишда ёзилади. Тўпламни ташкил этувчи элементлар сони чекли ёки чексиз бўлиши мумкин. Биринчи ҳолда чекли тўпламга, иккинчи ҳолда эса чексиз тўпламга эга бўламиз.
Масалан:
1) , , ;
2) - чекли тўпламлар;
3) ;
4) ;
5) - чексиз тўпламлар.
нарса тўпламнинг элементи эканлиги ёки кўринишда белгиланади. Бирорта нарса тўпламнинг элементи эмаслиги ёки кўринишда ёзилади.
Масалан:
да , .
ва тўпламлар берилган бўлсин. Агар тўпламнинг элементи тўпламнинг элементига тенг деб олсак, яъни , бундан битта элемент иккала тўпламда ҳам мавжудлиги келиб чиқади.
Масалан, ва тўпламларда элементлар иккала тўпламда ҳам мавжуддир.
2-таъриф. тўпламнинг ҳар бир элементи тўпламда мавжуд, аксинча, тўпламнинг ҳар бир элементи тўпламда ҳам мавжуд бўлса, ва тўпламларни тенг (тенгкучли) деб атаб, буни ёки белги билан ифодалаймиз.
Демак, иккала ва тўпламлар аслида бир тўпламдир.
3-таъриф. Агар тўпламнинг ҳар бир элементи тўпламда ҳам мавжуд бўлса, у вақтда нинг қисм тўплами деб айтилади ва қуйидагича белгиланади.
ёки (1)
Масалан: 1) бутун сонлар ҳақиқий сонлар тўпламининг қисм тўпламини ташкил этади;
2) вилоятлар республика тўпламининг қисм тўпламини ташкил этади;
3) тоқ сонлар бутун сонлар тўпламининг қисм тўпламидир ва ҳоказо.
4-таъриф. тўпламнинг ҳамма элементлари тўпламда мавжуд бўлиб, шу билан бирга тўпламда га кирмаган элементлар ҳам бор бўлса, у вақтда - нинг хос қисм тўплами дейилади ва
ёки (2)
каби белгиланади.
Демак, ва бўлса, у вақтда
. (3)
(3) тенглик нинг ўзи ўзининг қисм тўплами бўлишини кўрсатади ва бу ҳолатни ифодалаш учун “ўзининг хосмас қисми” деган иборадан фойдаланамиз.
Масалан: тўплам учун , , тўпламларнинг ҳар қайси хос қисмдир.
Одатда, тўпламлар назариясида битта ҳам элементи бўлмаган тўпламлар билан иш кўришга тўғри келади.