1-§. Тўпламлар назариясининг асосий тушунчалари

4-§. Тўпламлар алгебраси


Айниятлар. Теоремалар. Де Морган қонуни. Жуфт-жуфт эквивалент.

Тўпламлар алгебрасида – ,  белгилар ўртасидаги ўзаро муносабатлар кўриб чиқилади. Тўпламлар алгебрасида умуман оддий алгебрадагидай айниятлар - тенгликлар кўрилади. Бу айниятлар универсал тўпламнинг ва унинг хос қисм тўпламларининг қандай бўлишидан қатъий назар ўз кучини сақлайдилар.

1-теорема. универсал тўпламнинг исталган қисмлари орасидаги муносабатларни ифодаловчи қуйидаги тенгликлар айниятдир:
1. 1^.
2. 2^.
3. 3^.
4. 4^.
5. 5^
Агар ва бўлса, у вақтда . Ана шу хоссадан фойдаланиб юқорида келтирилган айниятлар исбот этилади, яъни тенгликнинг чап томонидаги ҳар бир элемент унинг ўнг томонида ҳам мавжуд ва аксинча эканлигини кўрсатиш керак. Биз юқоридаги айниятларнинг айримларини исбот этган эдик.
1 ва 1^ - айниятларни мос равишда йиғинди ва кўпайтма амаллари учун ассоциативлик қонунлари дейилади. 2 ва 2^ - айниятлари эса - коммутативлик қонуни ва 3, 3^ -айниятлари бўл-са, шу амаллар учун дистрибутивлик қонуни дейилади.
Ассоциативлик қонунига асосан қисм тўпламлардан маълум тартибда йиғинди амали билан ҳосил этилган икки тўплам тенгдир.
Бу тўпламни шаклда белгилаймиз.
Ассоциатив қонунига кўра қавс белгиси қаерда туриши ҳеч қандай роль ўйнамайди. Математик индукция методига асосан

бу ерда , белгилашлар cонларнинг исталган тартибда олинганидан ҳосил этилган сонларни билдиради.
Шу тариқа қуйидаги тенгликларни ҳам келтириб чиқариш мумкин:



Кўрсатилган 1-5 ва 1^-5^ тенгликлардан қуйидаги хулосани ҳосил қиламиз: