1-§. Тўпламлар назариясининг асосий тушунчалари

2-хоссанинг исботи: бўлсин, яъни га эквивалент бўлсин, у вақтда . Ҳақиқатан ҳам, ( ни билдиради) дан ва бўлганлиги учун муносабатининг транзитив хусусиятига асосан келиб чиқади, яъни . Эквивалентлик муносабатининг симметриклик хоссасидан фойдаланиб, ни исбот этиш мумкин. Демак, .
7-§. Функция тушунчаси. Функциялар суперпозицияси


Функция. Тартибланган жуфтлик. Функциялар тенглиги. Бир қийматли функция. Суперпозиция. Функцияларнинг функцияси. Тескари функция.

Функция тушунчасини олдинги параграфларда ўрганилган терминларда аниқлаймиз. Функциянинг графиги тартибланган жуфтликлар тўпламидан иборат. Функция билан унинг графиги ўртасида ҳеч қандай фарқ йўқ. Функция шундай муносабатки, унинг икки хил элементининг биринчи координаталари ҳеч қачон тенг бўлмайди.

Шундай қилиб, муносабати қуйидаги талабларни қаноатлантиргандагина функция бўла олади:
1. нинг элементлари фақатгина тартибланган жуфтликлардан иборат.
2. Агар ва элементлари бўлса, у вақтда .
Мисол: 1. , , фунцкциядир. .
2. , , муносабати функция бўла олмайди, чунки ва элементларининг биринчи координаталари тенг.
3. функциядир, чунки агар бўлса, у вақтда .
4. функция бўла олмайди, чунки унинг элементлари мавжуд.
Агар - функция ва бўлса, яъни бўлса, у вақтда функциянинг аргументи деб айтилади ва ни функциянинг даги қиймати ёки элементининг образи дейилади.
ни белгилаш учун , , ёки символларни ишлатадилар. cимволни деб, яъни элементининг -образлари тўплами деб қараш мумкин.
Икки ва функциялар бир хил элементлардан тузилган бўлса, бундай функциялар тенг бўлади , яъни бошқача қилиб айтганда, ва бўлсагина, бўлади.
Шундай қилиб, функция берилган бўлиши учун аниқланиш соҳаси ва шу соҳанинг ҳар бир элементи учун унинг қиймати берилиши керак.
дан келиб чиқади.
Агар f функциянинг аниқланиш соҳаси бўлса, у вақтда функциянинг ўзгариш соҳаси тўплами ичида бўлади деб айтилади ва қуйидагича белгиланади:
ёки .
Юқорида кўрсатилган ҳамма тўплами тўпламнинг қисм тўплами бўлади ва уни деб белгилаймиз.
Агар бўлса, у вақтда фақатгина бир элементдан иборат бўлади ва у тўпламнинг бўш қисм тўпламидир.
Агар ва бўлса, у вақтда .
Агар дан келиб чиқса, у вақтда f бир қийматли функция дейилади.
Иккита ва функциялар берилган бўлсин. ва функцияларнинг суперпозицияси деб қуйидаги шундай мавжудки, ва тўпламга айтилади ва символи билан белгиланади. Бу тўплам ҳам функция бўлади.
Шундай қилиб, функцияларнинг суперпозицияси қуйидагича бўлади:

Функцияларнинг суперпозицияси функцияларнинг функцияси деб ҳам айтилади.

ва бўлсин, у вақтда функция ва функцияларнинг суперпозициясидир.
Суперпозиция амали ассоциативлик қонунига бўйсунади, яъни
.

Агар ва бўлса, у ҳолда ва бўлади.

Агар бир қийматли функция бўлса, у вақтда дан координаталарини ўрнини алмаштириш натижасида ҳосил бўладиган функцияга функциясига тескари бўлган функция деб айтилади ва cимволи билан белгиланади.
Фақатгина бир қийматли функциялар учун бажариладиган бу амалга қайтариш амали дейилади.
нинг аниқланиш соҳаси