1-§. Тўпламлар назариясининг асосий тушунчалари

9-§. Панжара ҳақида тушунчалар


Панжара. Сигнатура. Дистрибутивлик критерияси. Дедекинд (модуляр) панжара. Дедекиндлик критерияси. Изоморф. Изоморфизм.

Қисман тартибланган тўплам тушунчасидан фойдаланиб, панжара тушунчасини аниқлаймиз.

Таъриф. Тартибланган тўплам нинг исталган иккита , элементлари орасида (энг катта қуйи ёқ) ва (энг кичик юқори ёқ) муносабатлар мавжуд бўлса, бундай тўплам панжара деб аталади.
Равшанки, панжара икки тарафлама бўлган тартибланган тўплам ҳам панжара бўлади. панжарадан кесишма амалини бирлашмага ва бирлашма амалини кесишма амалига ўзгартириш керак. Тартибланган тўпламнинг ҳамма қисм тўпламлари энг катта қуйи ва энг кичик юқори чегарага эга бўлса, у ҳолда бундай тўпламга тўлиқ панжара деб айтилади.
Панжарани сигнатуралари қуйидаги хусусиятларга эга бўлган алгебра сифатида ҳам аниқлаш мумкин:
1. - идемпотентлик;
2. - коммутативлик;
3.
- ассоциативлик;
4. - ютиш.
Панжарага берилган иккала таъриф ҳам эквивалентдир.
Бундан кейин 0 ва 1 ларни панжаранинг структурали нули ва бири деб биламиз.
Агар ҳар бир жуфт элементлар билан биргаликда уларнинг йиғиндиси ва кўпайтмаси ларни ҳам ўз ичига олса, у ҳолда га панжаранинг қисм панжараси деб айтилади. Энг катта элементи ва энг кичик элементлардан иборат қисм панжарага I интервал деб айтилади:
I= .
Агар
,
бўлса, у ҳолда нол ва бир структурали панжарада иккита ва элементлар қўшимча (тўлдирувчи) элементлар бўлади. га қўшимча бўлган элементга панжарадаги элементнинг тўлдирувчиси деб ҳам айтилади.
панжарада умумий тўлдирувчига эга бўлган икки элементга да боғланган элементлар деб айтилади.
Панжаралар синфининг энг муҳими дистрибутив панжаралардир. Қуйидаги айниятларни (ҳамма , , лар учун) қаноатлантирувчи панжарага
,

дистрибутив панжара деб айтилади.