1-6-ma'ruzalar

F1

0 1/3 2/3 1
F2
0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1
F₃
0 1
3.1 – chizma
Endi K to‘plamga tegishli sonlarning uchlik sistemadagi
 1 2 _ intervaldagi yoyilmasi haqida fikr yuritamiz. Ravshanki, ^_3, ₃ sonlarning uchlik sistemadagi yoyilmasida a₁ son albatta 1 ga teng

bo‘ladi, ^_91, 2 ₉ _^ _ ^{va }_^_⁷₉, ₉⁸_^_ intervallarga tegishli sonlarning uchlik _ sistemadagi yoyilmasida a₂ son albatta 1 ga teng bo‘ladi. Xuddi



shunga o‘xshash 271 , 272  , 277 , 278 , 1927, 27 20  va 2725, 2726 intervallarga 

tegishli sonlar uchun ularning uchlik sistemadagi yoyilmalarida a₃ son albatta 1 ga teng bo‘ladi va hokazo. Shunday qilib, ixtiyoriy x ∈[0, 1]\K son uchun uning uchlik sistemadagi yoyilmasida qatnashuvchi a₁,a₂,…a_n,… sonlarning kamida bittasi 1 ga teng.
Aytilgan mulohazalardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: K to‘plamga kamida bir usul bilan uchlik kasr ko‘rinishida tasvirlanuvchi shunday x ∈[0, 1] sonlar kiradiki, ularga mos a₁,a₂,…a_n,… ketma-ketlikda 1 raqami biror marta ham uchramaydi. Shunday qilib, har bir x ∈ K uchun
a₁,a₂,…a_n,… (3.4)
ketma-ketlikni mos qo‘yish mumkin, bu yerda a_n raqam 0 yoki 2 ni qabul qiladi. Bunday ketma-ketliklar to‘plami kontinuum quvvatli to‘plamni tashkil qiladi. Bunga ishonch hosil qilish uchun har bir (3.4) ketma-ketlikka
b₁,b₂,…,b_n,… (3.5) ketma-ketlikni shunday mos qo‘yamizki, agar a_n = 0 bo‘lsa, b_n = 0 bo‘ladi, agar a_n = 2 bo‘lsa, b_n = 1 bo‘ladi. Har bir (3.5) ketma-ketlikni, [0, 1] kesmadagi biror y sonning ikkilik kasr yozuvi deb qarash mumkin. Shunday qilib, K to‘plamni [0, 1] ga biyektiv akslantirishni olamiz. Bu yerdan K ning kontinuum quvvatli to‘plam ekanligi kelib chiqadi. (3.3) ketma-ketlikdagi sonlar to‘plami sanoqli bo‘lgani uchun, ular K ni to‘la qoplamaydi.
Biz ko‘rsatdikki, K kontinuum quvvatga ega, ya’ni [0, 1] kesma bilan K to‘plam o‘rtasida biyektiv moslik mavjud. Bundan tashqari «Kantorning mukammal to‘plami» bir qator ajoyib xossalarga ega.
Masalan:

1. 
   Kantor to‘plamining o‘lchovi nolga teng.
   
2. 
   Kantor to‘plamining yakkalangan nuqtalari mavjud emas.
   
3. 
   Kantor to‘plamining ichki nuqtalari mavjud emas.
   
4. 
   Kantor to‘plami [0, 1] kesmaning hech yerida zich emas.
   

Bu xossalarni mustaqil isbotlashni o‘quvchiga havola qilamiz.
Endi to‘plamlar nazariyasidagi asosiy teoremalardan biri Kantor— Bernshteyn teoremasini isbotlaymiz.
3.2-teorema (Kantor—Bernshteyn). Ixtiyoriy A va B cheksiz to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar A to‘plamni B to‘plamning B₁ qism to‘plamiga biyektiv akslantiruvchi f akslantirish va B to‘plamni A to‘plamning A₁ qism to‘plamiga biyektiv akslantiruvchi g akslantirish mavjud bo‘lsa, u holda A va B to‘plamlar ekvivalentdir.
Isbot. Umumiylikni chegaralamasdan, A va B to‘plamlar kesishmaydi deb faraz qilishimiz mumkin. Ixtiyoriy x = x₀ ∈ A elementni olamiz va {x_n} ketma-ketlikni quyidagicha aniqlaymiz. Agar B to‘plamda g(x) = x₀ shartni qanoatlantiruvchi x element mavjud bo‘lsa, uni x₁ deb belgilaymiz. Agar A to‘plamda f(x) = x₁ tenglikni qanoatlantiruvchi x element mavjud bo‘lsa, uni x₂ deb belgilaymiz. Aytaylik x_n element aniqlangan bo‘lsin. Agar n juft bo‘lsa, u holda x_n+1 orqali B dagi shunday elementni tanlaymizki (agar bunday element mavjud bo‘lsa), x_n = g(x_n+1) shart bajarilsin, agar n toq bo‘lsa, x_n+1 −A dagi shunday elementki (agar u mavjud bo‘lsa), f(x_n+1) = x_n
shart bajarilsin. Bu yerda ikki holat sodir bo‘lishi mumkin.

1. 
   Biror n da ko‘rsatilgan shartlarni qanoatlantiruvchi x_n+1 element mavjud bo‘lmaydi. Bu holda n nomer x elementning tartib soni deyiladi.
   
2. 
   Cheksiz {x_n} ketma-ketlikka ega bo‘lamiz. Bu holda x elementning tartibi cheksiz deyiladi.
   

Endi A to‘plamni uchta to‘plamga ajratamiz. Juft tartibli elementlardan tashkil bo‘lgan qism to‘plamni A_E orqali, toq tartibli elementlardan tashkil bo‘lgan qism to‘plamni A_O orqali va cheksiz tartibli elementlardan tashkil bo‘lgan qism to‘plamni A_I orqali belgilaymiz. B to‘plamni ham xuddi shunday B_E, B_O va B_I qismlarga ajratamiz. Tushunish qiyin emaski, f akslantirish A_E ni B_O ga va A_I ni B_I ga akslantiradi, g⁻¹ akslantirish esa A_O ni B_E ga akslantiradi. Shunday qilib, A_E ∪ A_I da f ga teng va A_O da g⁻¹ ga teng ψ akslantirish A to‘plamni B to‘plamga biyektiv akslantiradi. ∆
To‘plam quvvati tushunchasi. Agar ikkita chekli to‘plam ekvivalent bo‘lsa, ularning elementlari soni teng bo‘ladi. Agar A va B to‘plamlar ekvivalent bo‘lsa, u holda ular bir xil quvvatga ega deyiladi. Shunday qilib, quvvat ixtiyoriy ikki ekvivalent to‘plamlar uchun umumiylik xususiyatidir. Chekli to‘plamlar uchun quvvat tushunchasi odatdagi to‘plam elementlari soni tushunchasi bilan ustma-ust tushadi. Natural sonlar to‘plami va unga ekvivalent to‘plam quvvati uchun ℵ₀
(«alef nol» deb o‘qiladi) belgi ishlatiladi. [0, 1] kesmadagi barcha haqiqiy sonlar to‘plamiga ekvivalent to‘plamlar haqida, ular «kontinuum quvvat» ga ega deb gapiradilar. Bu quvvat uchun c yoki ℵ simvol ishlatiladi. ℵ₀ va c orasida quvvat mavjudmi degan savol juda chuqur muammo hisoblanadi. Analizda uchraydigan cheksiz to‘plamlarning deyarli barchasi yoki ℵ₀, yoki c quvvatga ega.
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1. 
   Sonlar o‘qidagi oxirlari ratsional bo‘lgan barcha intervallar to‘plamining sanoqli ekanligini isbotlang.
   
2. 
   Tekislikdagi ratsional koordinatali nuqtalar to‘plamining sanoqli ekanligini isbotlang.
   
3. 
   Ixtiyoriy cheksiz M va sanoqli A to‘plamlar uchun M ∪A ∼ M munosabatni isbotlang.
   
4. 
   Ikkita har xil cheksiz o‘nli kasrli yoyilmalarga ega bo‘lgan sonlar to‘plamining sanoqli ekanligini isbotlang.
   
5. 
   Barcha irratsional sonlar to‘plamining sanoqsiz ekanligini isbotlang.
   
6. 
   Barcha irratsional sonlar to‘plamining kontinuum quvvatga ega ekanligini isbotlang.
   
7. 
   Koordinata boshidan o‘tuvchi barcha to‘g‘ri chiziqlar to‘plami [0, 1] to‘plamga ekvivalentmi?
   
8. 
   [a, b] va (a, b) to‘plamlarning ekvivalentligini ko‘rsating.
   

4-ma’ruza. To‘plamlar halqasi, yarim halqa, algebra (2 soat)
Darsning rejasi:

1. 
   To‘plamlar halqasi.
   
2. 
   Yarim halqa.
   
3. 
   σ-algebra.
   

Adabiyotlar: [1],[2], [3], [6]
Darsning maqsadlari:
Ta’limiy maqsadi: talabalarni to‘plamlar halqasi, algebra, yarim halqa, σ-algebra bilan tanishtirish.
Rivojlantiruvchi maqsadi: talabalarning izlanuvchanlik faoliyatini rag‘batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish ko‘nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish mantiqiy va ijodiy qobiliyatini, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Tarbiyaviy maqsadi: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish faoliyatiga jalb etish, ularda o‘zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish hamda fanga bo‘lgan qiziqishni o‘stirish. Tayanch iboralar: to‘plamlar sistemasi, to‘plamlar halqasi, yarim halqa, σ-algebra.
Darsning jihozlari: auditoriya doskasi, darsliklar, o‘quv va uslubiy qo‘llanmalar, ma’ruzalar kursi, tarixiy ma’lumotlar, izohli lug‘atlar, atamalar, o‘tilgan dars mavzusi bo‘yicha savollar va muammoli toshiriqlar majmuasi, testlar, kartochkalar, shaxsiy kompyuter, lazerli proyektor.
Dars o‘tish usuli: avval o‘tilgan mavzu qay darajada o‘zlashtirilganligini tekshirish, o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javoblar va topshiriqlarni bajarish bo‘yicha munozarali jonli muloqotni amalga oshirish, talabalarni yangi mavzu bo‘yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr-mulohazalarni bayon qilishga o‘rgatish, savol-javob usulidan foydalanib, o‘zlashtirishga erishish; asosiy iboralarga alohida izoh berish; o‘tilgan mavzuni o‘zlashtirish darajasini tekshirish va mustahkamlash.
Darsning borishi. Tashkiliy qism (7 daqiqa): dars xonasining sanitariya holatini kuzatish, davomat va talabalarning darsga tayyorligini tekshirish. Talabalarni o‘tgan ma’ruza boshida bajargan ishlari (o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javoblar va muammoli topshiriqlarni bajarish) natijalarini e’lon qilish.
O‘tilgan mavzular bo‘yicha (8 daqiqa). talabalarning o‘tgan ma’ruzada ko‘rsatilgan o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish natijasida talabalarning bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o‘z varianti bo‘yicha yozma javob berishi ko‘zda tutiladi).
4- ma’ruza bo‘yicha o‘z-o‘zini tekshirish savollari

1. 
   To‘plamlar halqasi.
   
2. 
   Minimal halqa.
   
3. 
   Algebra.
   
4. 
   Yarim halqa.
   
5. 
   σ-algebra.
   

4-ma’ruza bo‘yicha muammoli topshiriqlar

1. 
   Sonlar o‘qidan olingan barcha [a,b] kesmalar va [a,b), (a,b] yarim intervallar va (a,b) intervallar sistemasi yarim halqa bo‘lishini isbotlang. Bu sistemaning halqa bo‘la olmasligini ko‘rsating.
   
2. 
   Tekislikdagi barcha yarim ochiq {(x, y):a<x≤b, c< y≤d} to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi yarim halqa bo‘lishini isbotlang. Bu sistemaning simmetrik ayirma amaliga nisbatan yopiq emasligini ko‘rsating.