1-6-ma'ruzalar

A∈X to‘plam A = ∪ A_k, A_i ∈ S chekli yoyilmaga ega va M(S) chekli
k=1
yig‘indiga nisbatan yopiq bo‘lgani uchun A∈M(S) bo‘ladi, ya’ni
X ⊂ M(S) . Demak, X = M(S). ∆
σ− algebralar. Har xil masalalarda, xususan o‘lchovlar nazari-
yasida, sanoqlita to‘plamlar kesishmasi va yig‘indisini qarashga to‘g‘ri keladi. Shuning uchun, to‘plamlar halqasi tushunchasidan tashqari, quyidagi tushunchalarni ham qarash maqsadga muvofiqdir.
4.4-ta’rif. Agar S to‘plamlar halqasi undan olingan ixtiyoriyA₁,A₂, …,A_n,… to‘plamlar ketma-ketligi bilan birgalikda ularning yig‘indisi

1. 
   A_n ni ham o‘zida saqlasa, u holda S sistemaga «σ− halqa»
   

n=1
deyiladi.

4. 
   5-ta’rif. Agar S to‘plamlar halqasi undan olingan ixtiyoriyA₁,A₂, …,A_n,… to‘plamlar ketma-ketligi bilan birgalikda ularning kesishmasi
   
1. 
   A_n ni ham o‘zida saqlasa, u holda S sistemaga «δ− halqa»
   

n=1
deyiladi.

4. 
   6-ta’rif. Birlik elementli σ− halqa «σ− algebra» deyiladi. Birlik elementli δ− halqa esa «δ− algebra» deyiladi.
   

Shuni ta’kidlash lozimki,
∪A_n = E \ ∩(E \A_n), ∩A_n = E \ ∪(E \A_n)
n n n n
ikkilik munosobatlaridan σ− algebra va δ− algebra tushunchalarining ustma-ust tushishi kelib chiqadi.
A cheksiz to‘plamning barcha qism to‘plamlari sistemasi A(A), σ− algebra bo‘ladi. Agar biror S sistema berilgan bo‘lsa, doim uni saqlovchi σ− algebra mavjud. Haqiqatan ham, agar X = ∪ A
A∈S desak, X ning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan A(X) sistema S ni o‘zida saqlovchi σ− algebra bo‘ladi. Agar B−S ni o‘zida saqlovchi
∼ biror σ− algebra va X uning biri bo‘lsa, u holda ixtiyoriy A ∈ S
∼ to‘plam A ⊂ X munosabatga bo‘ysunadi, va shunday ekan,
∼
X X . Agar S ni saqlovchi B −σ− algebraning biri X uchun
A∈S
X = X^ɶ munosabat bajarilsa, bu σ− algebra (S ga nisbatan) keltirilmaydigan σ− algebra deb ataladi.
4.4-teorema. Ixtiyoriy bo‘shmas S to‘plamlar sistemasi uchun (bu sistemaga nisbatan) keltirilmaydigan shunday B(S), σ− algebra mavjudki, bu σ− algebra S ni saqlaydi va S ni saqlovchi barcha σ− algebralarda saqlanadi.
Bu teorema isboti ham birinchi bandda keltirilgan 4.2teoremaning isbotiga o‘xshash olib boriladi. 4.4-teoremada keltirilgan σ− algebra S sistema ustiga qurilgan minimal σ− algebra deyiladi.
Misol sifatida sonlar o‘qidagi barcha [a, b] kesmalar va
[a, b), (a, b] yarim intervallar va (a, b) intervallardan tashkil bo‘lgan S yarim halqani qarasak, u holda S ustida qurilgan minimal B(S), σ− algebra element-lari «Borel to‘plamlari» yoki «Borel tipidagi» to‘plamlar deyiladi.
Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1. 
   Tekislikdagi barcha kvadratlar to‘plami yarim halqa bo‘ladimi?
   
2. 
   To‘plamlar halqasi yarim halqa bo‘ladimi?
   
3. 
   σ va δ− halqalarga misollar keltiring.
   
4. 
   Halqaning birlik elementi (biri) ga ta’rif bering.
   
5. 
   Sonlar o‘qidagi barcha ochiq va yopiq to‘plamlar sistemasi yarim halqa (halqa) tashkil qiladimi?
   
6. 
   Sonlar o‘qidagi barcha chegaralangan to‘plamlar sistemasi halqa (yarim halqa) tashkil qiladimi?
   
7. 
   Sonlar o‘qidagi barcha chekli to‘plamlar sistemasi halqa (yarim halqa) tashkil qiladimi?
   
8. 
   Sonlar o‘qidan olingan barcha [a, b] kesmalar va [a, b), (a, b] yarim intervallar va (a, b) intervallar sistemasi yarim halqa bo‘lishini isbotlang. Bu sistemaning halqa bo‘la olmasligini ko‘rsating.
   
9. 
   Tekislikdagi barcha yarim ochiq {(x,y):a < x ≤b,c < y ≤d} to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi yarim halqa bo‘lishini isbotlang. Bu sistemaning simmetrik ayirma amaliga nisbatan yopiq emasligini ko‘rsating.
   

5-ma’ruza. Elementar to‘plam o‘lchovi va uning xossalari (2 soat)
Darsning rejasi:

1. 
   Tekislikdagi elementar to‘plamlar.
   
2. 
   Elementar to‘plam o‘lchovi 3. Elementar to‘plam xossalari.
   

Adabiyotlar: [1],[2], [3], [6]
Darsning maqsadlari:
Ta’limiy maqsadi: talabalarni tekislikdagi elementar to‘plamlar, elementar to‘plam o‘lchovi, elementar to‘plam xossalari, bilan tanishtirish.
Rivojlantiruvchi maqsadi: talabalarning izlanuvchanlik faoliyatini rag‘batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish ko‘nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish mantiqiy va ijodiy qobiliyatini, muloqot madaniyatini rivojlantirish.
Tarbiyaviy maqsadi: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish faoliyatiga jalb etish, ularda o‘zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish hamda fanga bo‘lgan qiziqishni o‘stirish.
Tayanch iboralar: to‘g‘ri to‘rt burchak, elementar to‘plamlar, elementar to‘plam o‘lchovi.
Darsning jihozlari: Auditoriya doskasi, darsliklar, o‘quv va uslubiy qo‘llanmalar, ma’ruzalar kursi, tarixiy ma’lumotlar, izohli lug‘atlar, atamalar, o‘tilgan dars mavzusi bo‘yicha savollar va muammoli toshiriqlar majmuasi, testlar, kartochkalar, shaxsiy kompyuter, lazerli proyektor.
Dars o‘tish usuli: Avval o‘tilgan mavzu qay darajada o‘zlashtirilganligini tekshirish, o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javoblar va topshiriqlarni bajarish bo‘yicha munozarali jonli muloqotni amalga oshirish, talabalarni yangi mavzu bo‘yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr-mulohazalarni bayon qilishga o‘rgatish, savol-javob usulidan foydalanib, o‘zlashtirishga erishish; asosiy iboralarga alohida izoh berish; o‘tilgan mavzuni o‘zlashtirish darajasini tekshirish va mustahkamlash.
Darsning borishi. Tashkiliy qism (7 daqiqa): dars xonasining sanitariya holatini kuzatish, davomat va talabalarning darsga tayyorligini tekshirish. Talabalarni o‘tgan ma’ruza boshida bajargan ishlari (o‘z–o‘zini tekshirish savollariga javoblar va muammoli topshiriqlarni bajarish) natijalarini e’lon qilish.
O‘tilgan mavzular bo‘yicha (8 daqiqa): Talabalarning o‘tgan ma’ruzada ko‘rsatilgan o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish natijasida talabalarning bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o‘z varianti bo‘yicha yozma javob berishi ko‘zda tutiladi).
5- ma’ruza bo‘yicha o‘z-o‘zini tekshirish savollari

1. 
   Tekislikdagi elementar to‘plamlar.
   
2. 
   To‘g‘ri to‘rt burchak
   
3. 
   To‘g‘ri to‘rt burchak o‘lchovi
   
4. 
   Elementar to‘plam o‘lchovi
   
5. 
   Elementar to‘plam xossalari.
   

5- ma’ruza bo‘yicha muammoli topshiriqlar

1. 
   Kamida bitta ichki nuqtaga ega bo‘lgan, to‘g‘ri chiziqda yotuvchi to‘plamning o‘lchovi nol bo‘lishi mumkinmi?
   
2. 
   [0;1] kesmada µ(A₁)+µ(A₂)>1 shartni qanoatlantiruvchi 2 ta o‘lchovli A₁,A₂ to‘plamlar berilgan. A₁ A₂ kesishma to‘plamni musbat o‘lchovli ekanligini isbotlang.
   
3. 
   E to‘plam [0,1] kesmaga qarashli o‘lchovi nolga teng to‘plam
   

bo‘lsin. Uning yopig‘i E ham o‘lchovi nolga teng to‘plam bo‘ladimi?
Yangi dars mavzusining bayoni (55 daqiqa):