1-6-ma'ruzalar

Qratsional sonlar to‘plami R= (−∞,+∞) ning hamma yerida zich ekanligini isbotlang.

Kantor to‘plami [0,1] kesmada zichmi?

Kantor to‘plamining barcha yakkalangan nuqtalari to‘plamini toping.

Kantor to‘plami [0,1] kesmaning hech yerida zichmas ekanligini ko‘rsating.

Kontinium quvvatli to‘plamdan katta quvvatli to‘plam mavjudmi?

Mavjud bo‘lsa misol keltiring
Yangi dars mavzusining bayoni (55 daqiqa):
Haqiqiy sonlar to‘plamining sanoqsizligi. Oldingi paragraflarda sanoqli to‘plamlarga misollar qaradik va cheksiz to‘plamlarning ayrim xossalari bilan tanishdik. Quyidagi savol paydo bo‘lishi tabiiydir:
umuman olganda sanoqli bo‘lmagan cheksiz to‘plamlar mavjudmi? Bu savolga ijobiy javob quyidagi teoremada keltirilgan.
3.1-teorema. [0, 1] kesmadagi haqiqiy sonlar to‘plami sanoqsizdir.
Isbot. Faraz qilaylik, [0, 1] kesmada yotuvchi (barcha yoki ba’zi bir) haqiqiy sonlardan tuzilgan A ={a₁,a₂,...,a_n,...} sanoqli to‘plam berilgan bo‘lsin. U holda
a1 = 0,a11a12a13…a1n …,
a2 = 0,a21a22a23…a2n …,
a3 = 0,a31a32a33…a3n …,
.....................................
a_n = 0,a_n1a_n2a_n3…a_nn …, (3.1)
Bu yerda a_ik −a_i sonning k −chi o‘nli raqami. Endi 0 va 9 raqamlarga teng bo‘lmagan b₁,b₂,…,b_n,… raqamlar ketma-ketligini quyidagi usulda tanlaymiz: b₁raqam a₁₁ ga teng emas, b₂ raqam a₂₂ ga teng emas, b₃ raqam ^a₃₃ ga teng emas va b_n raqam a_nn ga teng emas va hokazo. Tanlangan b₁,b₂,…,b_n,… raqamlar yordamida [0, 1] ga tegishli bo‘lgan β = 0,b₁,b₂,b₃…,b_n,… kasrni aniqlaymiz. Aniqlanishiga ko‘ra, β son a₁,a₂,…,a_n,… kasrlarning birortasiga ham teng emas, chunki β kasr a₁ dan birinchi raqami bilan, a₂ dan ikkinchi raqami bilan va hokazo a_n dan n raqami bilan farq qiladi. Shunday qilib, [0, 1] kesma element-laridan tashkil topgan hech bir sanoqli to‘plam
[0, 1] ni to‘liq qoplay olmaydi. ∆
3.1-ta’rif. [0,1] kesma va unga ekvivalent bo‘lgan to‘plamlar kontinuum quvvatli to‘plamlar deyiladi.
Shunday qilib, [0, 1] kesma sanoqsiz bo‘lgan to‘plamga misol bo‘ladi. Endi [0, 1] kesmaga ekvivalent bo‘lgan, ya’ni kontinuum quvvatli to‘plamlarga misollar keltiramiz.

3. 
   1-misol. [0, 1] kesma va (0, 1) intervalning ekvivalent
   

to‘plamlar ekanligini isbotlang.
Isbot. Buning uchun (0, 1) dan A ={a₁,a₂,...,a_n,...} sanoqli qism to‘plamni ajratamiz va undan foydalanib, ^A₁ ={0, 1,^a₁,^a₂,…,a_n,^…} ^{⊂ }_0, 1^_ to‘plamni quramiz. Ushbu ϕ : 0, 1 → (0, 1), ϕ(x) = x, x ∈ 0, 1 \A1 ϕ(0) =a₁, ϕ(1) =a₂, ϕ(a_n) =a_n+2, n ≥1
akslantirish [0, 1] va (0, 1) to‘plamlar o‘rtasida biyektiv moslik o‘rnatadi.

2. 
   3.4-misolga asosan [0, 1] kesma ixtiyoriy [a, b] kesmaga va
   

(a, b) intervalga ekvivalent bo‘ladi, ya’ni [a, b] va (a, b) to‘plamlar
ham sanoqsizdir.

2. 
   2.5 va 3.1-misollardan sonlar o‘qidagi barcha nuqtalar to‘plami [0,1] kesmaga ekvivalent ekanligi kelib chiqadi.
   
3. 
   Tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plami, sfera sirtidagi nuqtalar to‘plami, uch o‘lchamli fazodagi nuqtalar to‘plami, sfera ichidagi nuqtalar to‘plami va hokazo to‘plamlarga misol keltirish mumkinki, ularning har biri [0, 1] ga ekvivalentdir.
   
4. 
   Tekislikdagi hamma to‘g‘ri chiziqlar to‘plami [0, 1] kesmaga ekvivalent.
   
5. 
   Bir yoki bir nechta o‘zgaruvchining uzluksiz funksiyalari to‘plami ham [0, 1] ga ekvivalentdir.
   

Sonlar o‘qida murakkabroq kontinuum quvvatli to‘plamga misol qaraymiz. Qaralayotgan bu to‘plam «Kantor to‘plami», yoki «Kantor mukammal to‘plami» nomi bilan taniqli.
 1 2 _ = K₁ intervalni chiqarib 3.7. E = [0, 1] bo‘lsin. Undan _3, _{3 } tashlaymiz, qolgan yopiq to‘plamni F₁ bilan belgilaymiz. Keyin F₁ dan

^ ¹, ²_^_ ^{va }_^_⁷₉, ⁸₉^_ intervallarni chiqarib tashlaymiz, ularning



_{9 9}
birlashmasini K₂ orqali, qolgan yopiq to‘plamni, ya’ni

 1 2 1 2 7 8 
F₁ \K₂ = 0,  ^∪  ,  ^∪  ,  ^∪  , 1
 9 9 3 3 9 9 
to‘plamni F₂ bilan (4.1-chizma) belgilaymiz. Bu to‘rtta kesmaning har biri teng 3 qismga bo‘linib, o‘rtadagi uzunligi 3⁻³ teng bo‘lgan interval chiqarib tashlanadi. Chiqarib tashlangan
 1 2   7 8  19 20   25 26 
 ,  ,  ,  ,  (3.2)  27 27   27 27   27 27   27 27 

to‘plamni K₃ bilan F₂ \K₃ ni esa F₃ bilan (4.1-chizma) belgilaymiz. Bu jarayonni cheksiz davom ettirib, yopiq to‘plamlarning kamayuvchi F_n ketma-ketligini hosil qilamiz. Agar
K F_n
n=1
deb belgilasak, K yopiq to‘plam bo‘ladi. U [0, 1] kesmadan sanoqli sondagi K₁,K₂,…K_n,…, intervallarni chiqarib tashlash natijasida hosil bo‘ladi. Hosil bo‘lgan K to‘plam Kantor to‘plami deyiladi.
Endi K to‘plamning strukturasini o‘rganamiz. Ravshanki, K ga chiqarib tashlangan intervallarning oxirlari bo‘lgan
(3.3)
nuqtalar tegishli. Biroq K to‘plam faqat shu nuqtalardan iborat emas. [0, 1] kesmadagi K ga tegishli bo‘lgan nuqtalarni quyidagicha xarakterlash mumkin. Buning uchun [0, 1] kesmadagi har bir x ni uchlik sistemada yozamiz:
a1 + a22 + a33 + … + a nn + … x =
3 3 3 3
bu yerda a_n sonlar 0, 1 va 2 raqamlarni qabul qilishi mumkin. O‘nli kasrlar holidagidek bu yerda ham ba’zi sonlarni ikki xil ko‘rinishda yozish mumkin. Masalan,

1 3

1 = + 3

0 0 0 2 2 ++ n += + 2 ++ n +. 3 3 3 3