1-6-ma'ruzalar

Yangi dars mavzusining bayoni (55 daqiqa):
To‘plamlar halqasi. Elementlari to‘plamlardan iborat to‘plam to‘plamlar sistemasi deyiladi. Biz asosan oldindan berilgan X to‘plamning qism to‘plamlaridan iborat sistemalarni qaraymiz. To‘plamlar sistemalarini belgilash uchun biz gotik alifbosining bosh harflaridan foydalanamiz. Bizni asosan to‘plamlar ustidagi ba’zi amallarga nisbatan yopiq bo‘lgan sistemalar qiziqtiradi.
4.1-ta’rif. Agar S to‘plamlar sistemasi simmetrik ayirma va kesishma amallariga nisbatan yopiq, ya’ni ixtiyoriy A, B ∈ S to‘plamlar uchun A∆B ∈ S va A ∩ B ∈ S bo‘lsa, u holda S to‘plamlar sistemasiga halqa deyiladi.
To‘plamlar halqasi quyidagi xossalarga ega.
4.1-xossa. Agar S to‘plamlar sistemasi halqa bo‘lsa, u holda S birlashma va ayirma amallariga nisbatan ham yopiq bo‘ladi.
Isbot. Ixtiyoriy A,B to‘plamlar uchun A ∪ B = (A∆B)∆(A ∩ B) va
A\B = A∆(A ∩ B) tengliklar o‘rinli. Bu tengliklardan hamda S sistema halqa ekanligidan A ∪ B ∈ S va A\B ∈ S munosabatlar kelib chiqadi. Demak, halqa birlashma, ayirma amallariga nisbatan ham yopiq sistema bo‘lar ekan. ∆
4.2-xossa. Agar S to‘plamlar sistemasi halqa bo‘lsa, u holda S chekli sondagi birlashma va kesishma amallariga nisbatan ham yopiq bo‘ladi.
Isbot. Agar S to‘plamlar sistemasi halqa bo‘lsa, u holda, 4.1xossaga ko‘ra S sistema o‘zining A₁ va A₂ to‘plamlari bilan birgalikda ularning birlashmasi va kesishmasini ham saqlaydi. Chekli induktiv qadamdan keyin S sistema
n m
C = ∪ A_k, D = ∩ B_k, A_k,B_k ∈ S k=1 k=1
ko‘rinishdagi ixtiyoriy chekli yig‘indi va kesishmani ham o‘zida saqlashi kelib chiqadi. ∆
Ushbu A\A = ∅ tenglik ko‘rsatadiki, har qanday halqa o‘zida bo‘sh to‘plamni saqlaydi. Faqat bo‘sh to‘plamdan iborat sistema mumkin bo‘lgan halqalar ichida eng minimali bo‘ladi.
Agar S to‘plamlar sistemasida shunday E ∈ S to‘plam mavjud bo‘lib, ixtiyoriy A ∈ S uchun A ∩ E = A bo‘lsa, E to‘plam S sistemaning «birlik elementi» yoki «biri» deyiladi. Sistemaning «biri» deganda shu sistemadagi maksimal to‘plam tushuniladi. Hamma sistemalar ham maksimal to‘plamga ega bo‘lavermaydi. Masalan, natural sonlar to‘plamining barcha chekli qism to‘plamlaridan iborat sistemasida maksimal to‘plam mavjud emas.
4.2-ta’rif. Birlik elementga ega bo‘lgan to‘plamlar halqasi algebra deyiladi.
4.1-misol. Ixtiyoriy A to‘plam uchun uning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan A(A) − sistema, biri E = A bo‘lgan algebra bo‘ladi.

2. 
   Ixtiyoriy A to‘plam uchun uning barcha chekli qism to‘plamlaridan tuzilgan sistema halqa bo‘ladi. Bu halqa algebra bo‘lishi uchun A chekli to‘plam bo‘lishi zarur va yetarli.
   
3. 
   Ixtiyoriy bo‘shmas A to‘plam uchun A va ∅ to‘plamlardan tuzilgan {A,∅} sistema, biri E = A bo‘lgan algebra bo‘ladi.
   
4. 
   Sonlar o‘qidagi barcha chegaralangan to‘plamlar sistemasi halqa bo‘ladi, ammo algebra bo‘lmaydi.
   

4.1-teorema. Ixtiyoriy {ℜ_α} halqalar sistemasi uchun ularning kesishmasi yana halqa bo‘ladi.
Isbot. AB, = bo‘lsin, u holda ixtiyoriy α da A,B ∈ ℜ_α bo‘la-di. ℜ_α halqa bo‘lganligi uchun A∆B ∈ ℜ_α, A ∩ B ∈ ℜ_α. U holda A∆B ∈ ℜ va A∩B ∈ℜ. ∆
4.2-teorema. Ixtiyoriy bo‘shmas S to‘plamlar sistemasi uchun S ni o‘zida saqlovchi va S ni saqlovchi barcha ℜ halqalarda saqlanuvchi yagona M(S) minimal halqa mavjud.
Isbot. Dastlab X = ∪ A to‘plamni tuzamiz. Ma’lumki, X
A∈S
to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan A(X ) sistema algebra bo‘ladi, ya’ni xususiy holda halqa bo‘ladi va S ni o‘zida saqlaydi. Demak, S ni saqlovchi kamida bitta halqa mavjud ekan. Endi S ni o‘zida saqlovchi hamma ℜ halqalar sistemasini Σ simvol bilan belgilaymiz. Isbotlangan 5.1-teoremaga ko‘ra B sistema
halqa bo‘ladi va S ni o‘zida saqlaydi. Ravshanki, izlanayotgan sistema B ga teng. Haqiqatan ham, S ni o‘zida saqlovchi ixtiyoriy ℜ^* halqani qarasak, kesishma ℜ^* A(X ) ham Σ sistemadagi halqa bo‘ladi, demak
B ⊂ℜ^*. Shunday ekan, B haqiqatan ham, minimallik talabini qanoatlantiradi. Bu halqa S sistema ustidagi minimal halqa deyiladi yoki S dan hosil qilingan minimal halqa deyiladi va M(S) simvol bilan belgilanadi.
To‘plamlar yarim halqasi. Ko‘pgina masalalarda, masalan, o‘lchovlar nazariyasida halqa tushunchasi bilan birgalikda unga nisbatan umumiyroq bo‘lgan to‘plamlar yarim halqasi tushunchasi ham muhim ahamiyatga ega.
4.3-ta’rif. Agar S to‘plamlar sistemasi quyidagi shartlarni qanoatlantirsa, unga yarim halqa deyiladi:

1. 
   S bo‘sh to‘plamni saqlaydi;
   
2. 
   S to‘plamlar kesishmasi amaliga nisbatan yopiq, ya’ni A,B ∈ S munosabatdan A ∩ B ∈ S munosabat kelib chiqadi;
   
3.